Group theory 101: How to play a Rubik’s Cube like a piano - Michael Staff

Teoría de grupos elemental: ¿Cómo tocar un cubo de Rubik como si fuera un piano? - Michael Staff

Traductor: Sebastian Betti Revisor: Lidia Cámara de la Fuente

How can you play a Rubik's Cube?

¿Cómo se puede tocar un cubo de Rubik?

Not play with it, but play it like a piano?

No jugar, sino tocar, como se toca un piano.

That question doesn't make a lot of sense at first,

La pregunta no tiene mucho sentido al principio,

but an abstract mathematical field called group theory holds the answer,

pero un campo matemático abstracto, la teoría de grupos, tiene la respuesta

if you'll bear with me.

si me siguen.

In math, a group is a particular collection of elements.

En matemática, un grupo es una colección particular de elementos.

That might be a set of integers,

Podría ser un conjunto de números enteros,

the face of a Rubik's Cube,

la cara de un cubo de Rubik,

or anything,

u otra cosa,

so long as they follow four specific rules, or axioms.

siempre y cuando se sigan cuatro reglas específicas, o axiomas.

Axiom one:

Axioma uno:

all group operations must be closed or restricted to only group elements.

las operaciones de grupo son cerradas, o restringidas a elementos del grupo.

So in our square, for any operation you do,

Por eso en nuestro cuadrado, para cualquier operación que hagas

like turn it one way or the other,

como girar hacia un lado o el otro,

you'll still wind up with an element of the group.

terminarás en un elemento del grupo.

Axiom two:

Axioma dos:

no matter where we put parentheses when we're doing a single group operation,

no importa dónde pongamos los paréntesis al hacer operaciones en un grupo simple,

we still get the same result.

siempre obtenemos el mismo resultado.

In other words, if we turn our square right two times, then right once,

En otras palabras, si giramos el cuadrado a la derecha 2 veces, luego derecha 1 vez,

that's the same as once, then twice,

es lo mismo que 1 vez, luego 2 veces,

or for numbers, one plus two is the same as two plus one.

o para números, uno más dos es lo mismo que dos más uno.

Axiom three:

Axioma tres:

for every operation, there's an element of our group called the identity.

para cada operación, existe un elemento del grupo llamado identidad.

When we apply it to any other element in our group,

Al aplicarlo a cualquier elemento del grupo,

we still get that element.

seguimos teniendo ese elemento.

So for both turning the square and adding integers,

Tanto para girar el cuadrado como para la suma de enteros,

our identity here is zero,

nuestra identidad aquí es cero,

not very exciting.

no es muy emocionante.

Axiom four:

Axioma cuatro:

every group element has an element called its inverse also in the group.

cada elemento del grupo tiene un elemento llamado su inverso también en el grupo.

When the two are brought together using the group's addition operation,

Cuando los dos se juntan mediante la operación de adición del grupo,

they result in the identity element, zero,

dan como resultado el elemento identidad, cero,

so they can be thought of as cancelling each other out.

puede pensarse como que se cancelan mutuamente.

So that's all well and good, but what's the point of any of it?

Todo muy bien, pero ¿cuál es la idea tras todo esto?

Well, when we get beyond these basic rules,

Bueno, cuando vamos más allá de estas reglas básicas,

some interesting properties emerge.

surgen propiedades interesantes.

For example, let's expand our square back into a full-fledged Rubik's Cube.

Por ejemplo, expandamos el cuadrado nuevamente a un cubo de Rubik.

This is still a group that satisfies all of our axioms,

Sigue siendo un grupo que satisface todos los axiomas,

though now with considerably more elements

aunque ahora tiene considerablemente más elementos

and more operations.

y más operaciones.

We can turn each row and column of each face.

Podemos girar cada fila y columna de cada cara.

Each position is called a permutation,

Cada posición se llama permutación,

and the more elements a group has, the more possible permutations there are.

y cuantos más elementos tiene un grupo, más posibles permutaciones existen.

A Rubik's Cube has more than 43 quintillion permutations,

Un cubo de Rubik tiene más de 43 trillones de permutaciones,

so trying to solve it randomly isn't going to work so well.

por eso tratar de resolverlo al azar no dará buenos resultados.

However, using group theory we can analyze the cube

Pero usando teoría de grupos podemos analizar el cubo

and determine a sequence of permutations that will result in a solution.

y determinar una secuencia de permutaciones que darán la solución.

And, in fact, that's exactly what most solvers do,

De hecho, es lo que hacen la mayoría de quienes lo resuelven,

even using a group theory notation indicating turns.

incluso usan notación de teoría de grupos para indicar los giros.

And it's not just good for puzzle solving.

Y no solo es bueno para resolver acertijos.

Group theory is deeply embedded in music, as well.

La teoría de grupos está muy arraigada a la música, también.

One way to visualize a chord is to write out all twelve musical notes

Una forma de visualizar un acorde es escribir las 12 notas musicales

and draw a square within them.

y dibujar un cuadrado dentro de ellas.

We can start on any note, but let's use C since it's at the top.

Podemos empezar con cualquier nota, pero usemos do dado que está arriba.

The resulting chord is called a diminished seventh chord.

El acorde resultante se llama acorde de séptima disminuida.

Now this chord is a group whose elements are these four notes.

Ahora bien, este acorde es un grupo cuyos elementos son estas cuatro notas.

The operation we can perform on it is to shift the bottom note to the top.

La operación que podemos hacer en él es desplazar la nota de abajo arriba.

In music that's called an inversion,

En música eso se llama inversión,

and it's the equivalent of addition from earlier.

y equivale a la adición de antes.

Each inversion changes the sound of the chord,

Cada inversión cambia el sonido de la cuerda,

but it never stops being a C diminished seventh.

pero nunca deja de ser DoDim7, do de séptima disminuida.

In other words, it satisfies axiom one.

En otras palabras, satisface el axioma uno.

Composers use inversions to manipulate a sequence of chords

Los compositores usan inversiones para manipular una secuencia de acordes

and avoid a blocky, awkward sounding progression.

y evitar un bloque, una progresión que suena sin gracia.

On a musical staff, an inversion looks like this.

En un pentagrama musical, una inversión tiene este aspecto.

But we can also overlay it onto our square and get this.

Pero también podemos solaparla en el cuadrado y tenemos esto.

So, if you were to cover your entire Rubik's Cube with notes

Si cubrieras el cubo de Rubik con notas

such that every face of the solved cube is a harmonious chord,

de modo que cada cara del cubo resuelto fuera un acorde armonioso,

you could express the solution as a chord progression

podrías expresar la solución como una progresión de acordes

that gradually moves from discordance to harmony

que pasa gradualmente de discordancia a armonía

and play the Rubik's Cube, if that's your thing.

y tocar el cubo de Rubik, si eso es lo tuyo.