Group theory 101: How to play a Rubik’s Cube like a piano - Michael Staff

Übersetzung: Niklas Fiekas Lektorat: Jo Pi

How can you play a Rubik's Cube?

Wie kann man einen Zauberwürfel spielen?

Not play with it, but play it like a piano?

Also nicht wie ein Spielzeug, sondern wie ein Klavier?

That question doesn't make a lot of sense at first,

Auf den ersten Blick ergibt diese Frage nicht viel Sinn,

but an abstract mathematical field called group theory holds the answer,

aber im abstrakten mathematischen Gebiet der Gruppentheorie liegt die Lösung.

if you'll bear with me.

Schauen wir uns das an.

In math, a group is a particular collection of elements.

Eine mathematische Gruppe ist eine besondere Sammlung von Elementen.

That might be a set of integers,

Das kann eine Menge von Zahlen,

the face of a Rubik's Cube,

die Seite eines Zauberwürfels

or anything,

oder alles mögliche sein,

so long as they follow four specific rules, or axioms.

solange vier Regeln oder Axiome eingehalten werden.

Axiom one:

Axiom 1:

all group operations must be closed or restricted to only group elements.

Operationen müssen abgeschlossen sein, also immer wieder Gruppenelemente ergeben.

So in our square, for any operation you do,

Das heißt bei unserem Viereck:

Egal, ob man es nach links oder rechts dreht,

like turn it one way or the other,

you'll still wind up with an element of the group.

erhält man wieder ein Element der Gruppe.

Axiom two:

Axiom 2:

no matter where we put parentheses when we're doing a single group operation,

Egal, wo wir Klammern setzen, wenn wir eine Gruppenoperation anwenden,

we still get the same result.

erhalten wir das gleiche Ergebnis.

In other words, if we turn our square right two times, then right once,

Wenn wir zum Beispiel das Quadrat zweimal nach rechts drehen, dann einmal,

that's the same as once, then twice,

ist das das Gleiche wie einmal, dann zweimal.

or for numbers, one plus two is the same as two plus one.

Oder mit Zahlen: 1 + 2 ist das Gleiche wie 2 + 1.

Axiom three:

Axiom 3:

for every operation, there's an element of our group called the identity.

Für jede Operation gibt es ein neutrales Element.

When we apply it to any other element in our group,

Wenn wir es auf andere Elemente der Gruppe anwenden,

we still get that element.

erhalten wir wieder das gleiche Element.

So for both turning the square and adding integers,

Für das Drehen der Vierecke und das Addieren von Zahlen

our identity here is zero,

ist das neutrale Element hier 0.

not very exciting.

Nicht sehr spannend.

Axiom four:

Axiom 4:

every group element has an element called its inverse also in the group.

Jedes Element hat ein entgegengesetztes Element in der Gruppe, sein Inverses.

When the two are brought together using the group's addition operation,

Wenn die beiden mit der Addtionsoperation kombiniert werden,

they result in the identity element, zero,

ergeben sie das neutrale Element, 0.

so they can be thought of as cancelling each other out.

Man kann sagen, sie heben sich gegenseitig auf.

So that's all well and good, but what's the point of any of it?

Soweit so gut, aber was nützt das?

Well, when we get beyond these basic rules,

Wenn wir mehr als diese einfachen Regeln ansehen,

some interesting properties emerge.

zeigen sich interessante Eigenschaften.

For example, let's expand our square back into a full-fledged Rubik's Cube.

Erweitern wir zum Beispiel unser Viereck wieder auf den gesamten Zauberwürfel.

This is still a group that satisfies all of our axioms,

Das ist immer noch eine Gruppe, die alle Axiome erfüllt,

though now with considerably more elements

obwohl wir jetzt deutlich mehr Elemente

and more operations.

und auch mehr Operationen haben.

We can turn each row and column of each face.

Wir können jede Reihe und Spalte drehen.

Each position is called a permutation,

Jede Stellung wird Permutation genannt

and the more elements a group has, the more possible permutations there are.

und je mehr Elemente eine Gruppe hat, desto mehr mögliche Permutationen gibt es.

A Rubik's Cube has more than 43 quintillion permutations,

Ein Zauberwürfel hat mehr als 43 Trillionen Permutationen,

so trying to solve it randomly isn't going to work so well.

also werden wir ihn eher nicht zufällig lösen können.

However, using group theory we can analyze the cube

Stattdessen können wir den Würfel mit Gruppentheorie untersuchen

and determine a sequence of permutations that will result in a solution.

und eine Folge von Permutationen finden, die zu einer Lösung führen.

And, in fact, that's exactly what most solvers do,

Tatsächlich machen die meisten Löser genau das,

even using a group theory notation indicating turns.

sogar mit gruppentheoretischen Bezeichnungen für die einzelnen Schritte.

And it's not just good for puzzle solving.

Aber Gruppentheorie ist nicht nur praktisch zum Rätsellösen.

Group theory is deeply embedded in music, as well.

Gruppentheorie ist auch ein fester Bestandteil von Musik.

One way to visualize a chord is to write out all twelve musical notes

Man kann einen Akkord darstellen, indem man alle 12 Töne aufschreibt

and draw a square within them.

und ein Quadrat in der Mitte zeichnet.

We can start on any note, but let's use C since it's at the top.

Wir könnten mit jedem Ton anfangen, aber nehmen wir C ganz oben.

The resulting chord is called a diminished seventh chord.

Der Akkord heißt "verminderter Septakkord".

Now this chord is a group whose elements are these four notes.

Der Akkord ist eine Gruppe mit diesen vier Tönen als Elemente.

The operation we can perform on it is to shift the bottom note to the top.

Als Gruppenoperation können wir den untersten Ton an die Spitze heben.

In music that's called an inversion,

In der Musik heißt das Umkehrung

and it's the equivalent of addition from earlier.

und entspricht der Addition von vorhin.

Each inversion changes the sound of the chord,

Jede Umkehrung verändert den Klang des Akkords,

but it never stops being a C diminished seventh.

aber es ist und bleibt ein verminderter C-Septakkord.

In other words, it satisfies axiom one.

Mit anderen Worten: Axiom 1 ist erfüllt.

Composers use inversions to manipulate a sequence of chords

Komponisten nutzen Umkehrungen, um mit Akkordfolgen zu spielen,

and avoid a blocky, awkward sounding progression.

damit sich die Harmoniefolge nicht gestückelt oder plump anhört.

On a musical staff, an inversion looks like this.

Die Noten einer Umkehrung sehen so aus.

But we can also overlay it onto our square and get this.

Aber wir können sie auch auf unserem Viereck abbilden.

So, if you were to cover your entire Rubik's Cube with notes

Wenn du den ganzen Würfel mit Tönen bedeckst,

such that every face of the solved cube is a harmonious chord,

sodass jede Seite des gelösten Würfels ein harmonischer Akkord ist,

you could express the solution as a chord progression

kannst du die Lösung als Akkordfolge angeben,

that gradually moves from discordance to harmony

die dissonant beginnt und immer harmonischer wird,

and play the Rubik's Cube, if that's your thing.

und du kannst den Zauberwürfel wie ein Klavier spielen, wenn du magst.