Group theory 101: How to play a Rubik’s Cube like a piano - Michael Staff

Μετάφραση: Christos Selemeles Επιμέλεια: Lucas Kaimaras

How can you play a Rubik's Cube?

Πώς μπορείτε να παίξετε έναν κύβο του Ρούμπικ;

Not play with it, but play it like a piano?

Όχι να παίξετε μαζί του, αλλά να τον παίξετε όπως το πιάνο;

That question doesn't make a lot of sense at first,

Η ερώτηση δεν βγάζει και πολύ νόημα εκ πρώτης όψεως,

but an abstract mathematical field called group theory holds the answer,

αλλά ένα αφηρημένο πεδίο των Μαθηματικών, η Θεωρία Ομάδων δίνει την απάντηση,

if you'll bear with me.

αν με παρακολουθήσετε.

In math, a group is a particular collection of elements.

Στα Μαθηματικά, ομάδα είναι μια συγκεκριμένη συλλογή στοιχείων.

That might be a set of integers,

Μπορεί να είναι ένα σύνολο ακεραίων,

the face of a Rubik's Cube,

μία πλευρά του κύβου του Ρούμπικ,

or anything,

ή οτιδήποτε,

so long as they follow four specific rules, or axioms.

αρκεί να τηρεί τέσσερις συγκεκριμένους κανόνες ή αξιώματα.

Axiom one:

Αξίωμα 1:

Η ομάδα είναι κλειστή

all group operations must be closed or restricted to only group elements.

και οι λειτουργίες της περιορίζονται μόνο στα στοιχεία της.

So in our square, for any operation you do,

Άρα στο τετράγωνό μας, όποια πράξη κι αν κάνετε,

like turn it one way or the other,

όπως να το γυρίσετε έτσι ή αλλιώς,

you'll still wind up with an element of the group.

θα καταλήξετε πάλι σε κάποιο στοιχείο της ομάδας.

Axiom two:

Αξίωμα 2:

no matter where we put parentheses when we're doing a single group operation,

Ανεξάρτητα από το πού βάζουμε παρενθέσεις όταν εκτελούμε μία πράξη της ομάδας,

we still get the same result.

πάντα θα παίρνουμε το ίδιο αποτέλεσμα.

In other words, if we turn our square right two times, then right once,

Δηλαδή, αν περιστρέψουμε το τετράγωνο δύο φορές στα δεξιά και μετά άλλη μία φορά,

that's the same as once, then twice,

είναι το ίδιο με το να το περιστρέψουμε μία φορά και μετά δύο -

or for numbers, one plus two is the same as two plus one.

ή με αριθμούς, 1+2 είναι το ίδιο με το 2+1.

Axiom three:

Αξίωμα 3:

for every operation, there's an element of our group called the identity.

Για κάθε πράξη, υπάρχει ένα στοιχείο στην ομάδα, που ονομάζεται ουδέτερο.

When we apply it to any other element in our group,

Όταν το εφαρμόζουμε σε οποιοδήποτε άλλο στοιχείο της ομάδας,

we still get that element.

παίρνουμε πάλι το ίδιο στοιχείο.

So for both turning the square and adding integers,

Άρα, τόσο στην περιστροφή του τετραγώνου, όσο και στην πρόσθεση ακεραίων

our identity here is zero,

το ουδέτερο στοιχείο είναι το 0, κάτι όχι ιδιαίτερα συναρπαστικό.

not very exciting.

Axiom four:

Αξίωμα 4:

every group element has an element called its inverse also in the group.

Για κάθε στοιχείο της ομάδας υπάρχει στην ομάδα το συμμετρικό του στοιχείο.

When the two are brought together using the group's addition operation,

Όταν αυτά τα δύο συνδυάζονται μέσα από την πράξη της πρόσθεσης της ομάδας,

they result in the identity element, zero,

δίνουν ως αποτέλεσμα το ουδέτερο στοιχείο, το 0,

so they can be thought of as cancelling each other out.

άρα μπορεί να θεωρήσει κανείς ότι αλληλοεξουδετερώνονται.

So that's all well and good, but what's the point of any of it?

Ωραία και καλά όλα αυτά, αλλά ποιος είναι ο σκοπός;

Well, when we get beyond these basic rules,

Όταν ξεπεράσουμε αυτούς τους βασικούς κανόνες,

some interesting properties emerge.

αναδύονται μερικές ενδιαφέρουσες ιδιότητες.

For example, let's expand our square back into a full-fledged Rubik's Cube.

Π.χ. ας επεκτείνουμε το τετράγωνό μας σε έναν ολόκληρο κύβο του Ρούμπικ.

This is still a group that satisfies all of our axioms,

Παραμένει ομάδα που ικανοποιεί όλα τα αξιώματα,

though now with considerably more elements

αν και τώρα με πολύ περισσότερα στοιχεία

and more operations.

και πολύ περισσότερες πράξεις.

We can turn each row and column of each face.

Μπορούμε να περιστρέψουμε κάθε γραμμή και στήλη κάθε πλευράς.

Each position is called a permutation,

Κάθε θέση ονομάζεται μετάθεση,

and the more elements a group has, the more possible permutations there are.

και όσο περισσότερα στοιχεία έχει η ομάδα, τόσο περισσότερες οι δυνατές μεταθέσεις.

A Rubik's Cube has more than 43 quintillion permutations,

Ένας κύβος του Ρούμπικ έχει περισσότερες από 43 πεντάκις εκατομμύρια μεταθέσεις,

so trying to solve it randomly isn't going to work so well.

άρα το να προσπαθήσουμε να τον λύσουμε στην τύχη, δεν θα πάει και τόσο καλά.

However, using group theory we can analyze the cube

Ωστόσο, με τη χρήση της Θεωρίας Ομάδων μπορούμε να αναλύσουμε τον κύβο

and determine a sequence of permutations that will result in a solution.

και να προσδιορίσουμε μια σειρά μεταθέσεων που θα καταλήξει σε λύση.

And, in fact, that's exactly what most solvers do,

Για την ακρίβεια, αυτό κάνουν οι περισσότεροι λύτες,

even using a group theory notation indicating turns.

χρησιμοποιούν ακόμα και συμβολισμούς της Θεωρίας Ομάδων για τις περιστροφές.

And it's not just good for puzzle solving.

Και δεν βοηθά μόνο στο να λύνουμε γρίφους.

Group theory is deeply embedded in music, as well.

Η Θεωρία Ομάδων είναι βαθιά ενσωματωμένη και στη μουσική.

One way to visualize a chord is to write out all twelve musical notes

Ένας τρόπος οπτικοποίησης μιας συγχορδίας είναι να γράψουμε και τις δώδεκα νότες

and draw a square within them.

και να ζωγραφίσουμε ένα τετράγωνο ανάμεσά τους.

We can start on any note, but let's use C since it's at the top.

Μπορούμε να ξεκινήσουμε με οποιαδήποτε νότα,

αλλά ας πάρουμε την ντο (C), μιας και είναι στην κορυφή.

The resulting chord is called a diminished seventh chord.

Η συγχορδία που προκύπτει ονομάζεται ελαττωμένη εβδόμη.

Now this chord is a group whose elements are these four notes.

Αυτή η συγχορδία είναι ομάδα με στοιχεία αυτές τις τέσσερις νότες.

The operation we can perform on it is to shift the bottom note to the top.

Η πράξη που μπορούμε να κάνουμε είναι να μετατοπίσουμε την κάτω νότα στην κορυφή.

In music that's called an inversion,

Στη μουσική αυτό ονομάζεται αναστροφή

and it's the equivalent of addition from earlier.

και είναι το ισοδύναμο της πρόσθεσης από προηγουμένως.

Each inversion changes the sound of the chord,

Κάθε αναστροφή αλλάζει τον ήχο της συγχορδίας

but it never stops being a C diminished seventh.

αλλά δεν σταματά ποτέ να είναι μία ελαττωμένη εβδόμη στο ντο.

In other words, it satisfies axiom one.

Με άλλα λόγια, ικανοποιεί το Αξίωμα 1.

Composers use inversions to manipulate a sequence of chords

Οι συνθέτες χρησιμοποιούν αναστροφές για να χειριστούν ακολουθίες συγχορδιών

and avoid a blocky, awkward sounding progression.

και να αποφύγουν χοντροκομμένες ακολουθίες που ακούγονται περίεργα.

On a musical staff, an inversion looks like this.

Στο πεντάγραμμο μια αναστροφή φαίνεται έτσι,

But we can also overlay it onto our square and get this.

αλλά μπορούμε επίσης να την υπερθέσουμε στο τετράγωνό μας και να πάρουμε αυτό.

So, if you were to cover your entire Rubik's Cube with notes

Έτσι, αν θέλατε να καλύψετε ολόκληρο τον κύβο σας του Ρούμπικ με νότες,

such that every face of the solved cube is a harmonious chord,

ώστε κάθε πλευρά του λυμένου κύβου να είναι μία αρμονική συγχορδία,

you could express the solution as a chord progression

τότε θα μπορούσατε να εκφράσετε τη λύση ως μία διαδοχή συγχορδιών

that gradually moves from discordance to harmony

που προχωρά βαθμιαία από τη δυσαρμονία προς στην αρμονία,

and play the Rubik's Cube, if that's your thing.

και να παίξετε τον κύβο του Ρούμπικ, αν τη βρίσκετε με κάτι τέτοιο.