Group theory 101: How to play a Rubik’s Cube like a piano - Michael Staff

群論の基礎: ルービック・キューブをピアノの様に演奏する方法－マイケル・スタッフ

翻訳: Misaki Sato 校正: Tomoyuki Suzuki

How can you play a Rubik's Cube?

ルービック・キューブを プレイできますか？

Not play with it, but play it like a piano?

それで遊ぶのではなく ピアノにように演奏できるでしょうか？

That question doesn't make a lot of sense at first,

最初は この質問が ピンとこないかもしれませんが

but an abstract mathematical field called group theory holds the answer,

抽象代数学の分野である 群論でその答えが分かります

if you'll bear with me.

では お付き合いください

In math, a group is a particular collection of elements.

数学では 群とはある条件に従う 要素(元)の集まりです

That might be a set of integers,

それは 整数の集合だったり

the face of a Rubik's Cube,

ルービック・キューブの面だったり

or anything,

その他 何であれ

so long as they follow four specific rules, or axioms.

ある４つの規則 あるいは公理に 従うなら何でも構いません

Axiom one:

公理１

all group operations must be closed or restricted to only group elements.

全ての群の演算について閉じていること つまり 演算結果もその群に属すること

So in our square, for any operation you do,

ですから この四角に どのような演算を行ったとしても―

like turn it one way or the other,

ある方向に回転したり 逆方向に回転しても

you'll still wind up with an element of the group.

同じ群の要素になります

Axiom two:

公理２

no matter where we put parentheses when we're doing a single group operation,

一連の演算を行う時 括弧の位置により演算の順序を変えても

we still get the same result.

結果が同じになることです

In other words, if we turn our square right two times, then right once,

たとえば四角を 右に２回 次に右に１回 回転した時と

that's the same as once, then twice,

１回転の後 ２回転した場合でも 同じ結果が得られ

or for numbers, one plus two is the same as two plus one.

数字の場合なら１+２と ２+１が 同じ結果になるといったことです

Axiom three:

公理３

for every operation, there's an element of our group called the identity.

どの演算に於いても 群には単位元と呼ばれる要素があります

When we apply it to any other element in our group,

これを群のどの要素に作用させても

we still get that element.

もとの要素と変わりません

So for both turning the square and adding integers,

四角を回転させる場合も 整数の加法においても

our identity here is zero,

単位元はゼロというわけです

not very exciting.

さして 面白くはありませんね

Axiom four:

公理４

every group element has an element called its inverse also in the group.

群の各要素に対して 逆元と呼ばれるものが存在します

When the two are brought together using the group's addition operation,

ある要素とその逆元について 群の演算を行うと

they result in the identity element, zero,

単位元 つまり ゼロになることで

so they can be thought of as cancelling each other out.

お互いに打ち消し合うということです

So that's all well and good, but what's the point of any of it?

これで全てですが 何の役立つのでしょう？

Well, when we get beyond these basic rules,

これらの基本的な規則を応用してみると

some interesting properties emerge.

興味深い特性が現れてきます

For example, let's expand our square back into a full-fledged Rubik's Cube.

例えば 先程の四角を ルービック・キューブ全体に拡張してみましょう

This is still a group that satisfies all of our axioms,

これも同様に 公理をすべて満たす群ですが

though now with considerably more elements

今度は 要素の数が格段に増え

and more operations.

演算も増えています

We can turn each row and column of each face.

各面の行や列を 回転させることができます

Each position is called a permutation,

各配置への操作は置換と呼ばれます

and the more elements a group has, the more possible permutations there are.

群の要素が増えるほど 考えられる置換は増えます

A Rubik's Cube has more than 43 quintillion permutations,

ルービック・キューブは 4300京以上の置換がありますので

so trying to solve it randomly isn't going to work so well.

やみくもに解いたところで うまくはいきません

However, using group theory we can analyze the cube

しかし 群論を用いてキューブを解析し

and determine a sequence of permutations that will result in a solution.

一連の置換を決定することができれば それが解法となります

And, in fact, that's exactly what most solvers do,

実際 そうやって解くソフトが多いのです

even using a group theory notation indicating turns.

群論の表記を使って 回転を表記することもあります

And it's not just good for puzzle solving.

そして パズルを解くだけではありません

Group theory is deeply embedded in music, as well.

群論は音楽にも深く関わっているのです

One way to visualize a chord is to write out all twelve musical notes

和音を視覚化するには 12の音符をすべて書き出し

and draw a square within them.

その中に正方形を描くことができます

We can start on any note, but let's use C since it's at the top.

どの音符から始めても構いませんが C（ド）の音からにしましょう

The resulting chord is called a diminished seventh chord.

減七の和音（dim7）が得られます

Now this chord is a group whose elements are these four notes.

この和音は４つの要素からなる群です

The operation we can perform on it is to shift the bottom note to the top.

一番下の音を一番上に移動する 操作を行うことができます

In music that's called an inversion,

これを音楽では転回といいます

and it's the equivalent of addition from earlier.

そして これは先にお話しした 加法と同様です

Each inversion changes the sound of the chord,

各転回により 和音の音色は変わるものの

but it never stops being a C diminished seventh.

Cdim7であることに 変わりはありません

In other words, it satisfies axiom one.

つまり 公理１を満たしています

Composers use inversions to manipulate a sequence of chords

作曲家は転回により 和音の進行を操って

and avoid a blocky, awkward sounding progression.

不自然な進行を避けるというわけです

On a musical staff, an inversion looks like this.

楽譜の上では 転回はこのように表されますが

But we can also overlay it onto our square and get this.

四角の上に重ねてやることもできます

So, if you were to cover your entire Rubik's Cube with notes

音符でルービック・キューブ全面を 埋め尽くし

such that every face of the solved cube is a harmonious chord,

各面が協和音になるようにすると

you could express the solution as a chord progression

キューブを解くことは

that gradually moves from discordance to harmony

不協和音が徐々に協和音に変化する 過程として表現されます

and play the Rubik's Cube, if that's your thing.

これで ルービック・キューブを 演奏するという意味がお判りでしょう