Group theory 101: How to play a Rubik’s Cube like a piano - Michael Staff

Translator: Rozhan yasin Reviewer: Daban Q. Jaff

How can you play a Rubik's Cube?

چۆن دەتوانی یاری بە شەشپاڵوی ڕوبیک بکەی؟

Not play with it, but play it like a piano?

یاری پێ نەکا ،بەڵام وەکو پیانۆ لێیبدەیت ؟

That question doesn't make a lot of sense at first,

ئەو پرسیارە سەرەتا زۆر ھەستی پێ ناکەیت،

but an abstract mathematical field called group theory holds the answer,

بەڵام لە بواری بیرکاریدا پێیی دەوترێت تیۆڕی گروپ،

if you'll bear with me.

ئەگەر تۆ لە گەڵ من ڕەچاویبکەیت.

In math, a group is a particular collection of elements.

لە بیرکاریدا گروپێک تایبەتە بە کۆکردنەوەی توخمەکان.

That might be a set of integers,

لەوانەیە کۆمەڵێک ژمارەی تەواو بێت.

the face of a Rubik's Cube,

ڕووی شەشپاڵوی ڕوبیک ،

or anything,

یان ھەرشتێک،

so long as they follow four specific rules, or axioms.

ھەتا بە دوای چوار یاسای دیاریکراو، یان بنچینە دەگەڕان.

Axiom one:

وتەی یەکەم:

all group operations must be closed or restricted to only group elements.

پێویستە ھەموو گروپەکان دابخرێن یان سنوردارکراو بێت تەنھا بۆ توخمەکانی گروپ.

So in our square, for any operation you do,

کەواتە لە گۆڕەپانکەمان ، بۆ ھەر کارێک کە دەیکەین ،

like turn it one way or the other,

وەک ئەوەیە بیکەیتە یەک ڕێگا یان ئەوەیتر،

you'll still wind up with an element of the group.

ھێشتا لە گەڵ یەکێک لە توخمەکانی گروپەکە کۆتای پێ دێت .

Axiom two:

وتەی دووەم :

no matter where we put parentheses when we're doing a single group operation,

گرنگ نیە کەوانەکە دابنێییت کاتیک ئێمە یەک گرووپی چالاکی ئەنجام دەدەین

we still get the same result.

ھێشتا ھەمان ئەنجام بە دەست دەھێنیت.

In other words, if we turn our square right two times, then right once,

لە وشەیەکیتردا ، ئەگەرچوارگۆشەکەمان بگۆرین دوو جار ڕاست، پاشان یەک جار،

that's the same as once, then twice,

ئەوە ھمان شێوەی جارێکە ، دواتر دوو جار،

or for numbers, one plus two is the same as two plus one.

یان بۆ ژمارەکان ، یەک بۆ دوو ھەمان دوو لە گەڵ یەک .

Axiom three:

وتەی سێیەم :

for every operation, there's an element of our group called the identity.

بۆ ھەموو ئۆپەراسیۆنێک توخمێک ھەیە گروپەکان پێی دەڵێن ناسنامە.

When we apply it to any other element in our group,

کاتیک جێبەجێیدەکەین بۆ ھەر ڕەگەزێکیتر لە گروپەکەمان,

we still get that element.

ھێشتا ئەو توخمەمان دەست دەکەوێ.

So for both turning the square and adding integers,

بۆیە بۆ ھەردوو گۆڕینی چوارگۆەشەکە زیادکردنی ژمارە تەواوەکان ،

our identity here is zero,

ناسنامەکەمان لێرە سفرە،

not very exciting.

زۆر سەرنج ڕاکێش نیە.

Axiom four:

وتەی چوارەم :

every group element has an element called its inverse also in the group.

ھەموو توخمێکی گروپ توخمێکی ھەیە بەپێچەوانەی خۆی ناودەبری لە کۆمەڵەکە.

When the two are brought together using the group's addition operation,

کاتێک دووان یان دووان کۆدەکرێنەوە بە بەکارھێنانی ئۆپەراسیۆنی زیادکردنی گروپ،

they result in the identity element, zero,

لە ئەنجامی ڕەگەزی ناسنامەی ، سفر،

so they can be thought of as cancelling each other out.

بۆ ئەوەی بیر لە ھەڵوەشانەوەی یەکتر بکەنەوە.

So that's all well and good, but what's the point of any of it?

کەواتە ئەوە ھەموو باش و سود بەخشە ، بەڵام مەبەست لە ھیچ کام لەو شتە چیە؟

Well, when we get beyond these basic rules,

باشە کاتێک دەچینە ئەولاتر ئەم یاسا بنەڕەتیانە،

some interesting properties emerge.

ھەندی تایبەتمەندی سەرنج ڕاکێش دەردەکەون .

For example, let's expand our square back into a full-fledged Rubik's Cube.

بۆ نمونە ، با چوارگۆشەکەمان فراوانتر بکەین بۆ ناو شەشپاڵوی ڕوبیک .

This is still a group that satisfies all of our axioms,

ئەمە ھێشتا کۆمەڵەیەکە کە ھەموو وتەکانیتر دڵنیا دەکاتەوە،

though now with considerably more elements

ھەرچەندە ئێستا لە گەڵ توخمی زۆر زیاتر

and more operations.

وە کرداری زیاتر.

We can turn each row and column of each face.

دەتوانین ھەر ڕزێک بگۆرین وە ستونی ھەر ڕویەک .

Each position is called a permutation,

ھەر شوێن و پارچەیەک بە گۆڕانکاری ناو دەبرێت،

and the more elements a group has, the more possible permutations there are.

وە ھەر چەند گروپێک زیاتر بێت ، لەوانەیە زیاتر گۆڕانکاری تێدا بێت.

A Rubik's Cube has more than 43 quintillion permutations,

شەشپاڵوی ڕوبیک زیاتر لە ٤٣ کوینتیلۆنی ھەیە،

so trying to solve it randomly isn't going to work so well.

بە باشی کار ناکات بۆیە ھەوڵ دەدەن بە ھەڕەمەکی چارەسەری بکات .

However, using group theory we can analyze the cube

لە گەڵ ئەوەشدا بەکارھێنانی تیۆڕی گروپ دەتوانێت شەشپاڵوەکە شیبکاتەوە

and determine a sequence of permutations that will result in a solution.

وە دیاریکردنی زنجیرەی گۆڕانکاریەکان دەبێتە ھۆی چارەسەرێک.

And, in fact, that's exactly what most solvers do,

لە ڕستیدا ، ئەوە بەتەواوی زۆربەی چارەسەرکەرەکان چی دەکەن،

even using a group theory notation indicating turns.

تەنانەت بەکارھێنانی تیۆڕیەکی گروپ ئاماژە بە سوڕانەوە دەکات.

And it's not just good for puzzle solving.

ئەوە تەنھا بۆ چارەسەری مەتەڵ باش نیە.

Group theory is deeply embedded in music, as well.

تیۆڕی گروپ بە قووڵی چەسپاوە ھەروەھا لە مۆسیقاشدا.

One way to visualize a chord is to write out all twelve musical notes

ڕێگەیەک بۆ وێناکردنی ژێ ئەوەیە ھەموو دوازدە نۆتەکانی مۆسیقا بنوسم

and draw a square within them.

چوارگۆشەیەک لە ناویاندا بکێشم .

We can start on any note, but let's use C since it's at the top.

دەتوانین دەست پێبکەین لە سەر ھەر تێبینیەک بەڵام با سی بەکاربێنین چونکە لە لوتکەیە .

The resulting chord is called a diminished seventh chord.

بە ئەنجامی ژێ ناودبرێت ژێیی حەوتەم .

Now this chord is a group whose elements are these four notes.

ئێستا ئەم کۆمەڵە ژێیە توخمەکانی ئەم چوار تێبینیەن.

The operation we can perform on it is to shift the bottom note to the top.

ئەو ئۆپەراسیۆنەی دەتوانین ئەنجامی بدەین ئەوەیە تێبینی خوارەوە بگۆڕین بۆ سەرەوە.

In music that's called an inversion,

لە مۆسیقادا پێیی دەوترێت ھەڵوەشانەوە،

and it's the equivalent of addition from earlier.

ئەم ھاوتاکردنەی کۆتای لە پێشترەوەیە،

Each inversion changes the sound of the chord,

دەنگی ژێ ھەر گۆڕانکاریەکی ھەڵوەشاندەوە،

but it never stops being a C diminished seventh.

بەڵام ھەرگیز لە بونی ناوەستێت سی حەوتەمی کەم کردەوە.

In other words, it satisfies axiom one.

بە وشەیەکی تر ، وتەیەکی تر زیاد دەکات .

Composers use inversions to manipulate a sequence of chords

ئاوازدانەرەکان لاساییکردنەوە بەکاردەھێنین بۆ دەستاکاریکردن لە زنجیرەی ژێ

and avoid a blocky, awkward sounding progression.

وە خۆت بەدوور بگرە لە بەربەست ، بەرەوپێشچوونی دەنگی ناخۆش.

On a musical staff, an inversion looks like this.

لەسەر ستافێکی میوزیک ، وەڕسبوونێک بەم شێوەیە دیارە.

But we can also overlay it onto our square and get this.

بەڵام ئێمە دەتوانین بە سەر گۆڕەپانکەماندا دایپۆشین وە بە دەستی بێنین.

So, if you were to cover your entire Rubik's Cube with notes

ئەگەر تۆ هەموو خۆت داپۆشیت شەشپاڵووی ڕوبیک لەگەڵ تێبینی

such that every face of the solved cube is a harmonious chord,

بەم شێوەیە ھەموو ڕویەکی شەشپاڵوی چارەسەرکراو ژێیەکی گونجاوە ،

you could express the solution as a chord progression

دەتوانیت چارەسەریەکە دەرببڕیت وەک پێشکەوتنێک

that gradually moves from discordance to harmony

کە وردە وردە دەجوڵێت لە نەگونجانەوە بۆ گونجان

and play the Rubik's Cube, if that's your thing.

وە یاری بە شەشپاڵووی ڕوبیک بکە ئەگەر ئەوە شتی تۆ بێت