Group theory 101: How to play a Rubik’s Cube like a piano - Michael Staff

Traduttore: Gabriele Gianatti Revisore: Alessandra Tadiotto

How can you play a Rubik's Cube?

Come risolvere il cubo di Rubik?

Not play with it, but play it like a piano?

Non come giocarci, ma come usarlo nel modo corretto?

That question doesn't make a lot of sense at first,

A prima vista questa domanda non sembra avere molto senso,

but an abstract mathematical field called group theory holds the answer,

ma un ramo della matematica astratta, chiamato Teoria dei Gruppi,

if you'll bear with me.

conosce la risposta; la scoprirete anche voi.

In math, a group is a particular collection of elements.

In matematica, un gruppo è un insieme specifico di elementi

That might be a set of integers,

come una serie di numeri interi,

the face of a Rubik's Cube,

una faccia del cubo di Rubik

or anything,

o qualsiasi altra cosa,

so long as they follow four specific rules, or axioms.

purché seguano quattro regole specifiche o assiomi.

Axiom one:

Assioma numero uno:

all group operations must be closed or restricted to only group elements.

ogni operazione deve essere limitata ai soli elementi che lo compongono.

So in our square, for any operation you do,

Quindi, nel nostro quadrato, per ogni mossa che compi,

like turn it one way or the other,

come ruotarlo in un senso o nell'altro,

you'll still wind up with an element of the group.

finirai sempre con l'avere un elemento del gruppo.

Axiom two:

Assioma numero due:

no matter where we put parentheses when we're doing a single group operation,

non importa dove mettiamo le parentesi quando lavoriamo su un'operazione singola:

we still get the same result.

avremo sempre lo stesso risultato.

In other words, if we turn our square right two times, then right once,

In altre parole, se ruotiamo il quadrato due volte a destra, poi un'altra,

that's the same as once, then twice,

è come ruotarlo prima una volta e poi due.

or for numbers, one plus two is the same as two plus one.

Lo stesso vale per i numeri: 1+2 è uguale a 2+1.

Axiom three:

Assioma numero tre:

for every operation, there's an element of our group called the identity.

in ciascuna operazione, un elemento del gruppo è chiamato Identità.

When we apply it to any other element in our group,

Quando lo si applica a qualsiasi elemento del gruppo

we still get that element.

otteniamo ancora lo stesso elemento.

So for both turning the square and adding integers,

Quindi, sia ruotando il quadrato che aggiungendo i numeri interi

our identity here is zero,

l'identità che otteniamo qui è zero,

not very exciting.

nulla di emozionante in fin dei conti.

Axiom four:

Assioma numero quattro:

every group element has an element called its inverse also in the group.

ciascun elemento ha, all'interno del gruppo, un elemento chiamato inverso.

When the two are brought together using the group's addition operation,

Quando i due vengono uniti con l'operazione di addizione dei gruppi,

they result in the identity element, zero,

l'elemento identità risulta zero.

so they can be thought of as cancelling each other out.

Si può quindi affermare che l'uno annulli l'altro.

So that's all well and good, but what's the point of any of it?

Per ora tutto bene, ma qual è lo scopo di ognuno?

Well, when we get beyond these basic rules,

Beh, se andiamo oltre queste regole basilari

some interesting properties emerge.

emergono alcune proprietà interessanti.

For example, let's expand our square back into a full-fledged Rubik's Cube.

Per esempio, dal nostro quadrato passiamo al cubo di Rubik completo.

This is still a group that satisfies all of our axioms,

Questo è ancora un insieme che soddisfa tutti i nostri aforismi,

though now with considerably more elements

visto ora con un numero decisamente maggiore di elementi

and more operations.

e di operazioni.

We can turn each row and column of each face.

Possiamo far ruotare ogni riga, ogni colonna e ogni faccia.

Each position is called a permutation,

Ciascuna posizione assume il nome di permutazione:

and the more elements a group has, the more possible permutations there are.

più elementi sono contenuti in un gruppo, più permutazioni possibili ci sono.

A Rubik's Cube has more than 43 quintillion permutations,

Un cubo di Rubik possiede più di 43 quintilioni di permutazioni:

so trying to solve it randomly isn't going to work so well.

perciò tentare di risolverlo a random non è la strategia corretta.

However, using group theory we can analyze the cube

Tuttavia, attraverso la teoria dei gruppi, possiamo analizzare il cubo

and determine a sequence of permutations that will result in a solution.

e determinare così una sequenza di permutazioni che si traduca in soluzione.

And, in fact, that's exactly what most solvers do,

Ed è esattamente ciò che molti risolutori fanno

even using a group theory notation indicating turns.

sfruttando la notazione della teoria dei gruppi, che indica le rotazioni.

And it's not just good for puzzle solving.

Non vale solo per risolvere i rompicapi.

Group theory is deeply embedded in music, as well.

La teoria dei gruppi è fortemente radicata anche nella musica.

One way to visualize a chord is to write out all twelve musical notes

Un modo per immaginarsi gli accordi è quello di scrivere le 12 note musicali

and draw a square within them.

e racchiuderle in un quadrato.

We can start on any note, but let's use C since it's at the top.

Possiamo iniziare con qualsiasi nota, ma scegliamo la C che si trova in alto.

The resulting chord is called a diminished seventh chord.

L'accordo che ne deriva è chiamato accordo di settima diminuito.

Now this chord is a group whose elements are these four notes.

Questo accordo non è altro che un insieme i cui elementi sono queste quattro note.

The operation we can perform on it is to shift the bottom note to the top.

L'operazione che possiamo fare su di esso è spostare in alto la nota in basso.

In music that's called an inversion,

In musica questo viene detto inversione

and it's the equivalent of addition from earlier.

ed è uguale all'addizione precedente.

Each inversion changes the sound of the chord,

Ogni inversione cambia il suono dell'accordo

but it never stops being a C diminished seventh.

ma non smette di essere un accordo di settima diminuito.

In other words, it satisfies axiom one.

In altre parole soddisfa l'assioma numero uno.

Composers use inversions to manipulate a sequence of chords

I compositori sfruttano l'inversione per modificare la sequenza di accordi

and avoid a blocky, awkward sounding progression.

ed evitare una sequenza isolata con un suono sgradevole.

On a musical staff, an inversion looks like this.

In un pentagramma musicale, un'inversione appare così.

But we can also overlay it onto our square and get this.

Ma possiamo anche ricoprirlo con il nostro quadrato ed ottenere questo.

So, if you were to cover your entire Rubik's Cube with notes

Quindi, se dovessi ricoprire tutto il cubo di Rubick con le note musicali

such that every face of the solved cube is a harmonious chord,

così che ogni faccia del cubo risolto sia un accordo armonioso,

you could express the solution as a chord progression

potresti esprimere la soluzione con una sequenza di accordi

that gradually moves from discordance to harmony

che gradualmente dalla disarmonia si avvicina all'armonia:

and play the Rubik's Cube, if that's your thing.

allora, se ne sei capace, puoi risolvere il cubo di Rubick.