Group theory 101: How to play a Rubik’s Cube like a piano - Michael Staff

תורת החבורות 101: איך לנגן על קוביה הונגרית כמו על פסנתר - מייקל סטאף

תרגום: Ido Dekkers עריכה: Tal Dekkers

How can you play a Rubik's Cube?

איך אתם יכולים לנגן בקוביה הונגרית?

Not play with it, but play it like a piano?

לא לשחק איתה, אלא לנגן עליה כמו פסנתר?

That question doesn't make a lot of sense at first,

השאלה לא הגיונית בהתחלה,

but an abstract mathematical field called group theory holds the answer,

אבל שדה מתמטי מופשט שנקרא תורת החבורות מחזיק את התשובה,

if you'll bear with me.

אם תשארו איתי.

In math, a group is a particular collection of elements.

במתמטיקה, קבוצה היא אוסף מסויים של עצמים.

That might be a set of integers,

זה יכול להיות סט של מספרים,

the face of a Rubik's Cube,

הפנים של קוביה הונגרית,

or anything,

או כל דבר.

so long as they follow four specific rules, or axioms.

כל עוד הן עוקבות אחרי ארבעה חוקים ספציפיים, או אקסיומות.

Axiom one:

אקסיומה ראשונה:

all group operations must be closed or restricted to only group elements.

כל הפעולות בחבורה חייבות להיות סגורות או מוגבלות רק לאברי הקבוצה.

So in our square, for any operation you do,

אז בריבוע שלנו, לכל פעולה שאתם עושים,

like turn it one way or the other,

כמו לסובב אותה לכיוון מסויים או אחר,

you'll still wind up with an element of the group.

עדיין תגיעו לאלמנט בחבורה.

Axiom two:

אקסיומה שניה:

no matter where we put parentheses when we're doing a single group operation,

לא משנה איפה שמים סוגריים כשאנחנו עושים פעולה מסויימת יחידה,

we still get the same result.

אנחנו עדיין מקבלים את אותה תוצאה.

In other words, if we turn our square right two times, then right once,

במילים אחרות, אם נסובב את הריבוע שלנו ימינה שתי פעמים, אז ימינה פעם אחת,

that's the same as once, then twice,

זה אותו הדבר כמו פעם אחת, ואז שתיים,

or for numbers, one plus two is the same as two plus one.

או בשביל מספרים, אחד ועוד שתיים זה אותו הדבר כמו שתיים ועוד אחת.

Axiom three:

אקסיומה שלישית:

for every operation, there's an element of our group called the identity.

עבור כל פעולה, יש אלמנט של הקבוצה שלנו שנקרא זהות.

When we apply it to any other element in our group,

כשאנחנו מפעילים אותו על כל איבר בקבוצה שלנו,

we still get that element.

אנחנו עדיין מקבלים את אותו אלמנט.

So for both turning the square and adding integers,

אז גם עבור סיבוב הריבוע וגם הוספת מספרים,

our identity here is zero,

הזהות שלנו פה היא אפס,

not very exciting.

לא מאוד מרגש.

Axiom four:

אקסיומה רביעית:

every group element has an element called its inverse also in the group.

לכל אבר בחבורה יש אבר שנקרא ההופכי שלו שגם הוא בחבורה.

When the two are brought together using the group's addition operation,

כשהשניים מחוברים בשימוש בפעולת החיבור של החבורה,

they result in the identity element, zero,

התוצאה היא אבר הזהות, אפס,

so they can be thought of as cancelling each other out.

אז הם יכולים להחשב כמבטלים אחד את השני.

So that's all well and good, but what's the point of any of it?

אז כל זה טוב ויפה, אבל מה הנקודה בכל זה?

Well, when we get beyond these basic rules,

ובכן, כשאנחנו עוברים מעבר לכללים הבסיסים,

some interesting properties emerge.

כמה תכונות מעניינות עולות.

For example, let's expand our square back into a full-fledged Rubik's Cube.

לדוגמה, בואו נרחיב את הריבוע שלנו חזרה לכל הקוביה ההונגרית.

This is still a group that satisfies all of our axioms,

זו עדיין חבורה שעונה על כל האקסיומות שלנו,

though now with considerably more elements

למרות שעכשיו עם הרבה יותר אברים

and more operations.

ויותר פעולות.

We can turn each row and column of each face.

אנחנו יכולים לסובב כל שורה ועמודה של כל פן.

Each position is called a permutation,

כל מיקום נקרא פרמוטציה,

and the more elements a group has, the more possible permutations there are.

וככל שיש יותר אברים בחבורה, יש יותר פרמוטציות אפשריות.

A Rubik's Cube has more than 43 quintillion permutations,

לקוביה הונגרית יש יותר מ 43 קווינטיליון פרמוטציות,

so trying to solve it randomly isn't going to work so well.

אז לנסות לפתור אותה באופן אקראי לא יעבוד כל כך טוב.

However, using group theory we can analyze the cube

עם זאת, בשימוש בתורת החבורות אנחנו יכולים לנתח את הקוביה

and determine a sequence of permutations that will result in a solution.

ולקבוע סדר של פרמוטציות שתוצאתם תהיה פיתרון.

And, in fact, that's exactly what most solvers do,

ולמעשה, זה בדיוק מה שרוב הפותרים עושים,

even using a group theory notation indicating turns.

אפילו שימוש בציון תורת החבורות כדי לסמן סיבובים.

And it's not just good for puzzle solving.

וזה לא רק טוב לפתירת פאזלים.

Group theory is deeply embedded in music, as well.

תורת החבורות מוטמעת עמוקות גם במוזיקה.

One way to visualize a chord is to write out all twelve musical notes

דרך אחת לדמיין אקורד היא לכתוב את כל שנים עשר התוים

and draw a square within them.

ולצייר ריבוע בתוכם.

We can start on any note, but let's use C since it's at the top.

אנחנו יכולים להתחיל בכל תו, אבל בואו נתחיל ב"מי" מאחר והוא למעלה.

The resulting chord is called a diminished seventh chord.

האקורד שנוצר כתוצאה נקרא אקורד שביעי נמוג.

Now this chord is a group whose elements are these four notes.

עכשיו האקורד הזה הוא קבוצה שהאלמנטים שלה הם ארבעת התווים האלה.

The operation we can perform on it is to shift the bottom note to the top.

הפעולה שאנחנו יכולים לבצע עליה היא להזיז את התו התחתון למעלה.

In music that's called an inversion,

במוזיקה זה נקראה הפיכה,

and it's the equivalent of addition from earlier.

וזה שווה ערך לחיבור מקודם לכן.

Each inversion changes the sound of the chord,

כל הפיכה משנה את הצליל של הצליל של האקורד,

but it never stops being a C diminished seventh.

אבל זה לעולם לא הפסיק להיות רה של שביעית נמוגה.

In other words, it satisfies axiom one.

במילים אחרות, זה מספק את האקסיומה הראשונה.

Composers use inversions to manipulate a sequence of chords

קומפוזיטורים משתמשים במהפכים כדי לשחק עם רצף של אקורדים

and avoid a blocky, awkward sounding progression.

ולהמנע התקדמות ריבועית שנשמעת מוזר.

On a musical staff, an inversion looks like this.

על סולם מוזיקלי, הפיכה נראית כך.

But we can also overlay it onto our square and get this.

אבל אנחנו יכולים לערום את זה על הריבוע שלנו ולקבל את זה.

So, if you were to cover your entire Rubik's Cube with notes

אז, אם אי פעם תכסו את כל הקוביה ההונגרית שלכם עם תוים

such that every face of the solved cube is a harmonious chord,

כך שכל פן של הקוביה הפתורה הוא אקורד הרמוני,

you could express the solution as a chord progression

אתם תוכלו להביע את הפיתרון כהתקדמות של אקורדים

that gradually moves from discordance to harmony

שלאט לאט נע מאי התאמה להרמוניה

and play the Rubik's Cube, if that's your thing.

ולשחק בקוביה ההונגרית, אם זה הקטע שלכם.