Group theory 101: How to play a Rubik’s Cube like a piano - Michael Staff

Traducteur: Juliet Vdt Relecteur: sann tint

How can you play a Rubik's Cube?

Comment peut-on jouer du Rubik's Cube ?

Not play with it, but play it like a piano?

Pas jouer avec, mais y jouer, comme d'un piano ?

That question doesn't make a lot of sense at first,

Cette question n'a pas beaucoup de sens de prime abord,

but an abstract mathematical field called group theory holds the answer,

mais un pan des mathématiques abstraites appelé théorie des groupes y répond.

if you'll bear with me.

Écoutez avec attention.

In math, a group is a particular collection of elements.

En maths, un groupe est une collection particulière d'éléments.

That might be a set of integers,

Par exemple, un ensemble d'entiers,

the face of a Rubik's Cube,

ou les faces d'un Rubik's Cube,

or anything,

n'importe quoi,

so long as they follow four specific rules, or axioms.

du moment qu'ils suivent quatre règles spécifiques ou axiomes.

Axiom one:

Axiome un :

all group operations must be closed or restricted to only group elements.

toute opération du groupe doit être fermée ou limitée aux seuls éléments du groupe.

So in our square, for any operation you do,

Dans notre carré, chaque opération que nous faisons,

like turn it one way or the other,

comme le tourner dans un sens, ou l'autre,

you'll still wind up with an element of the group.

on arrive toujours à un élément du groupe.

Axiom two:

Axiome deux :

no matter where we put parentheses when we're doing a single group operation,

peu importe où sont les parenthèses quand on fait une seule opération du groupe,

we still get the same result.

on arrive toujours au même résultat.

In other words, if we turn our square right two times, then right once,

En d'autres mots, si nous tournons notre carré deux fois, puis une fois,

that's the same as once, then twice,

c'est la même chose que une fois, puis deux,

or for numbers, one plus two is the same as two plus one.

ou pour des nombres, un plus deux est pareil que deux plus un.

Axiom three:

Axiome trois :

for every operation, there's an element of our group called the identity.

pour toute opération, il y a un élément de notre groupe appelé identité.

When we apply it to any other element in our group,

Quand on l'applique à un autre élément du groupe.

we still get that element.

nous obtenons toujours le même élément.

So for both turning the square and adding integers,

Donc pour l'opération 'tourner le carré' et 'ajouter des entiers',

our identity here is zero,

notre identité ici est zéro,

not very exciting.

ce n'est pas très excitant.

Axiom four:

Axiome quatre :

every group element has an element called its inverse also in the group.

tous les éléments du groupe ont un élément appelé son inverse, aussi dans le groupe.

When the two are brought together using the group's addition operation,

Quand les deux éléments sont liés ensemble en utilisant l'opération du groupe,

they result in the identity element, zero,

ils donnent comme résultat l'élément identité, zéro.

so they can be thought of as cancelling each other out.

donc on peut dire qu'ils s'annulent l'un l'autre.

So that's all well and good, but what's the point of any of it?

Alors, tout ça est bien et bon, mais quel est le but ?

Well, when we get beyond these basic rules,

Eh bien, quand on va au-delà de ces règles de base,

some interesting properties emerge.

des propriétés intéressantes émergent.

For example, let's expand our square back into a full-fledged Rubik's Cube.

Par exemple, étendons notre carré en un Rubik's Cube entier.

This is still a group that satisfies all of our axioms,

C'est toujours un groupe qui répond à tous nos axiomes,

though now with considerably more elements

mais avec beaucoup plus d'éléments maintenant

and more operations.

et plus d'opérations.

We can turn each row and column of each face.

Nous pouvons tourner chaque ligne et colonne de chaque face.

Each position is called a permutation,

Chaque position est appelée une permutation,

and the more elements a group has, the more possible permutations there are.

et plus un groupe a d'éléments, plus il existe de permutations possibles.

A Rubik's Cube has more than 43 quintillion permutations,

Un Rubik's Cube a plus de 43 quintillions de permutations,

so trying to solve it randomly isn't going to work so well.

donc essayer de le résoudre au hasard ne va pas marcher si bien.

However, using group theory we can analyze the cube

Mais en utilisant la théorie des groupes, nous pouvons analyser le cube

and determine a sequence of permutations that will result in a solution.

et déterminer une séquence de permutations qui donnera une solution.

And, in fact, that's exactly what most solvers do,

Et en fait, c'est exactement ce que la plupart des solutions font,

even using a group theory notation indicating turns.

même en codant la théorie des groupes qui recense les rotations.

And it's not just good for puzzle solving.

Et ce n'est pas que pour résoudre des puzzles.

Group theory is deeply embedded in music, as well.

La théorie des groupes et profondément ancrée dans la musique, aussi.

One way to visualize a chord is to write out all twelve musical notes

Un moyen de visualiser un accord est d'écrire ensemble les douze notes

and draw a square within them.

et de dessiner un carré avec elles.

We can start on any note, but let's use C since it's at the top.

Nous pouvons commencer sur n'importe quelle note. Prenons la plus haute, do.

The resulting chord is called a diminished seventh chord.

L'accord résultant est appelé un accord de septième diminué.

Now this chord is a group whose elements are these four notes.

Maintenant cet accord est un groupe dont les éléments sont ces 4 notes.

The operation we can perform on it is to shift the bottom note to the top.

L'opération que nous pouvons faire dessus est d'échanger une note avec une autre.

In music that's called an inversion,

En musique, ça s'appelle une inversion,

and it's the equivalent of addition from earlier.

et c'est l'équivalent de l'addition de tout à l'heure.

Each inversion changes the sound of the chord,

Chaque inversion change le son de l'accord,

but it never stops being a C diminished seventh.

mais ça ne cesse jamais d'être une septième diminuée.

In other words, it satisfies axiom one.

En d'autres mots, cela répond à l'axiome un.

Composers use inversions to manipulate a sequence of chords

Les compositeurs utilise l'inversion pour manipuler une séquence d'accord

and avoid a blocky, awkward sounding progression.

pour éviter une ligne musicale maladroite.

On a musical staff, an inversion looks like this.

Sur une portée, une inversion ressemble à ça.

But we can also overlay it onto our square and get this.

Mais nous pouvons aussi la superposer à notre carré et obtenir ça.

So, if you were to cover your entire Rubik's Cube with notes

Alors, si on couvrait tout le Rubik's Cube de notes

such that every face of the solved cube is a harmonious chord,

pour que chaque face du cube résolu soit un accord harmonieux,

you could express the solution as a chord progression

on pourrait exprimer la solution comme une ligne musicale

that gradually moves from discordance to harmony

qui change doucement de discordante à harmonieuse

and play the Rubik's Cube, if that's your thing.

et jouer du Rubik's Cube, si vous voulez.