Group theory 101: How to play a Rubik’s Cube like a piano - Michael Staff

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TED-Ed


Veuillez double-cliquer sur les sous-titres anglais ci-dessous pour lire la vidéo.

Traducteur: Juliet Vdt Relecteur: sann tint
00:06
How can you play a Rubik's Cube?
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Comment peut-on jouer du Rubik's Cube ?
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Not play with it, but play it like a piano?
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Pas jouer avec, mais y jouer, comme d'un piano ?
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That question doesn't make a lot of sense at first,
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Cette question n'a pas beaucoup de sens de prime abord,
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but an abstract mathematical field called group theory holds the answer,
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mais un pan des mathématiques abstraites appelé théorie des groupes y répond.
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if you'll bear with me.
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Écoutez avec attention.
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In math, a group is a particular collection of elements.
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En maths, un groupe est une collection particulière d'éléments.
00:26
That might be a set of integers,
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Par exemple, un ensemble d'entiers,
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the face of a Rubik's Cube,
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ou les faces d'un Rubik's Cube,
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or anything,
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n'importe quoi,
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so long as they follow four specific rules, or axioms.
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du moment qu'ils suivent quatre règles spécifiques ou axiomes.
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Axiom one:
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Axiome un :
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all group operations must be closed or restricted to only group elements.
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toute opération du groupe doit être fermée ou limitée aux seuls éléments du groupe.
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So in our square, for any operation you do,
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Dans notre carré, chaque opération que nous faisons,
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like turn it one way or the other,
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comme le tourner dans un sens, ou l'autre,
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you'll still wind up with an element of the group.
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on arrive toujours à un élément du groupe.
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Axiom two:
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Axiome deux :
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no matter where we put parentheses when we're doing a single group operation,
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peu importe où sont les parenthèses quand on fait une seule opération du groupe,
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we still get the same result.
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on arrive toujours au même résultat.
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In other words, if we turn our square right two times, then right once,
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En d'autres mots, si nous tournons notre carré deux fois, puis une fois,
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that's the same as once, then twice,
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c'est la même chose que une fois, puis deux,
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or for numbers, one plus two is the same as two plus one.
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ou pour des nombres, un plus deux est pareil que deux plus un.
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Axiom three:
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Axiome trois :
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for every operation, there's an element of our group called the identity.
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pour toute opération, il y a un élément de notre groupe appelé identité.
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When we apply it to any other element in our group,
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Quand on l'applique à un autre élément du groupe.
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we still get that element.
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nous obtenons toujours le même élément.
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So for both turning the square and adding integers,
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Donc pour l'opération 'tourner le carré' et 'ajouter des entiers',
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our identity here is zero,
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notre identité ici est zéro,
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not very exciting.
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ce n'est pas très excitant.
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Axiom four:
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Axiome quatre :
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every group element has an element called its inverse also in the group.
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tous les éléments du groupe ont un élément appelé son inverse, aussi dans le groupe.
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When the two are brought together using the group's addition operation,
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Quand les deux éléments sont liés ensemble en utilisant l'opération du groupe,
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they result in the identity element, zero,
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ils donnent comme résultat l'élément identité, zéro.
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so they can be thought of as cancelling each other out.
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donc on peut dire qu'ils s'annulent l'un l'autre.
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So that's all well and good, but what's the point of any of it?
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Alors, tout ça est bien et bon, mais quel est le but ?
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Well, when we get beyond these basic rules,
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Eh bien, quand on va au-delà de ces règles de base,
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some interesting properties emerge.
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des propriétés intéressantes émergent.
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For example, let's expand our square back into a full-fledged Rubik's Cube.
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Par exemple, étendons notre carré en un Rubik's Cube entier.
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This is still a group that satisfies all of our axioms,
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C'est toujours un groupe qui répond à tous nos axiomes,
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though now with considerably more elements
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mais avec beaucoup plus d'éléments maintenant
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and more operations.
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et plus d'opérations.
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We can turn each row and column of each face.
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Nous pouvons tourner chaque ligne et colonne de chaque face.
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Each position is called a permutation,
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Chaque position est appelée une permutation,
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and the more elements a group has, the more possible permutations there are.
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et plus un groupe a d'éléments, plus il existe de permutations possibles.
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A Rubik's Cube has more than 43 quintillion permutations,
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Un Rubik's Cube a plus de 43 quintillions de permutations,
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so trying to solve it randomly isn't going to work so well.
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donc essayer de le résoudre au hasard ne va pas marcher si bien.
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However, using group theory we can analyze the cube
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Mais en utilisant la théorie des groupes, nous pouvons analyser le cube
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and determine a sequence of permutations that will result in a solution.
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et déterminer une séquence de permutations qui donnera une solution.
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And, in fact, that's exactly what most solvers do,
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Et en fait, c'est exactement ce que la plupart des solutions font,
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even using a group theory notation indicating turns.
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même en codant la théorie des groupes qui recense les rotations.
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And it's not just good for puzzle solving.
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Et ce n'est pas que pour résoudre des puzzles.
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Group theory is deeply embedded in music, as well.
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La théorie des groupes et profondément ancrée dans la musique, aussi.
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One way to visualize a chord is to write out all twelve musical notes
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Un moyen de visualiser un accord est d'écrire ensemble les douze notes
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and draw a square within them.
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et de dessiner un carré avec elles.
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We can start on any note, but let's use C since it's at the top.
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Nous pouvons commencer sur n'importe quelle note. Prenons la plus haute, do.
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The resulting chord is called a diminished seventh chord.
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L'accord résultant est appelé un accord de septième diminué.
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Now this chord is a group whose elements are these four notes.
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Maintenant cet accord est un groupe dont les éléments sont ces 4 notes.
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The operation we can perform on it is to shift the bottom note to the top.
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L'opération que nous pouvons faire dessus est d'échanger une note avec une autre.
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In music that's called an inversion,
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En musique, ça s'appelle une inversion,
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and it's the equivalent of addition from earlier.
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et c'est l'équivalent de l'addition de tout à l'heure.
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Each inversion changes the sound of the chord,
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Chaque inversion change le son de l'accord,
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but it never stops being a C diminished seventh.
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210169
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mais ça ne cesse jamais d'être une septième diminuée.
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In other words, it satisfies axiom one.
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En d'autres mots, cela répond à l'axiome un.
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Composers use inversions to manipulate a sequence of chords
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Les compositeurs utilise l'inversion pour manipuler une séquence d'accord
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and avoid a blocky, awkward sounding progression.
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pour éviter une ligne musicale maladroite.
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On a musical staff, an inversion looks like this.
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Sur une portée, une inversion ressemble à ça.
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But we can also overlay it onto our square and get this.
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234768
5218
Mais nous pouvons aussi la superposer à notre carré et obtenir ça.
03:59
So, if you were to cover your entire Rubik's Cube with notes
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239986
4498
Alors, si on couvrait tout le Rubik's Cube de notes
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such that every face of the solved cube is a harmonious chord,
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244484
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pour que chaque face du cube résolu soit un accord harmonieux,
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you could express the solution as a chord progression
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249538
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on pourrait exprimer la solution comme une ligne musicale
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that gradually moves from discordance to harmony
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qui change doucement de discordante à harmonieuse
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and play the Rubik's Cube, if that's your thing.
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et jouer du Rubik's Cube, si vous voulez.
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