Group theory 101: How to play a Rubik’s Cube like a piano - Michael Staff

Переводчик: Renata Shevchenko Редактор: Alina Siluyanova

How can you play a Rubik's Cube?

Как играть в кубик Рубика?

Not play with it, but play it like a piano?

Как не просто играть с ним, а играть, как на пианино?

На первый взгляд, вопрос кажется бессмысленным.

That question doesn't make a lot of sense at first,

but an abstract mathematical field called group theory holds the answer,

Но теория групп, раздел общей алгебры, предлагает ответ.

if you'll bear with me.

Уж потерпите чуточку.

In math, a group is a particular collection of elements.

В математике группа — это определённый набор элементов.

That might be a set of integers,

Например, набор целых чисел:

the face of a Rubik's Cube,

грань кубика Рубика

or anything,

или любые другие элементы,

соответствующие четырём чётким правилам, или аксиомам.

so long as they follow four specific rules, or axioms.

Axiom one:

Аксиома 1: Замкнутость.

Любые действия в группе должны распространяться только на её элементы.

all group operations must be closed or restricted to only group elements.

So in our square, for any operation you do,

Так, в кубике, что бы вы ни делали,

like turn it one way or the other,

например, поворот грани в ту или иную сторону,

you'll still wind up with an element of the group.

вы взаимодействуете только с элементом группы.

Axiom two:

Аксиома 2: Ассоциативность.

no matter where we put parentheses when we're doing a single group operation,

Независимо от последовательности операций,

we still get the same result.

результат одинаков.

In other words, if we turn our square right two times, then right once,

Иначе говоря, поворот грани дважды вправо, а затем ещё раз в ту же сторону

that's the same as once, then twice,

равен одному повороту вправо и ещё двум поворотам вправо,

или в числовом виде: 1+2 = 2+1.

or for numbers, one plus two is the same as two plus one.

Axiom three:

Аксиома 3: Единичный элемент.

for every operation, there's an element of our group called the identity.

Для каждого действия в группе существует единичный элемент.

When we apply it to any other element in our group,

Добавляя его к любому другому элементу группы,

we still get that element.

получаем тот же самый элемент.

So for both turning the square and adding integers,

То есть при повороте грани и добавлении числа,

our identity here is zero,

единичный элемент равен нулю —

not very exciting.

не так уж и впечатляюще.

Axiom four:

Аксиома 4: Обратный элемент.

every group element has an element called its inverse also in the group.

В группе у каждого элемента есть противоположный ему элемент.

When the two are brought together using the group's addition operation,

При их совмещении в групповой операции сложения

they result in the identity element, zero,

их результат равен единичному элементу, нулю,

то есть они взаимоисключают друг друга.

so they can be thought of as cancelling each other out.

So that's all well and good, but what's the point of any of it?

Всё это здóрово и интересно, но в чём смысл?

Well, when we get beyond these basic rules,

Если взять задачку посложнее базовых правил,

some interesting properties emerge.

начинают проявляться некие интересные особенности.

For example, let's expand our square back into a full-fledged Rubik's Cube.

Например, увеличим наш квадрат до полноценного кубика Рубика.

Это всё ещё группа, отвечающая всем аксиомам,

This is still a group that satisfies all of our axioms,

though now with considerably more elements

но сейчас в ней гораздо больше элементов

and more operations.

и возможных действий.

Можно повернуть любой ряд или столбец каждой грани.

We can turn each row and column of each face.

Each position is called a permutation,

Каждый полученный вариант называется перестановкой,

и чем больше элементов в группе, тем больше возможных перестановок.

and the more elements a group has, the more possible permutations there are.

A Rubik's Cube has more than 43 quintillion permutations,

Существует более 43 квинтиллионов вариантов перестановок кубика Рубика,

так что бессистемная сборка не даст результата.

so trying to solve it randomly isn't going to work so well.

However, using group theory we can analyze the cube

Но с помощью теории групп можно проанализировать кубик Рубика

and determine a sequence of permutations that will result in a solution.

и определить выигрышную последовательность перестановок.

Именно так большинство людей и собирает кубик,

And, in fact, that's exactly what most solvers do,

even using a group theory notation indicating turns.

иногда даже используя систему обозначений теории групп для записи поворотов граней.

And it's not just good for puzzle solving.

Это годится не только для решения головоломок.

Group theory is deeply embedded in music, as well.

Теория групп также применима и в музыке.

One way to visualize a chord is to write out all twelve musical notes

Один из способов представить аккорд — это записать все 12 нот

and draw a square within them.

и соединить четыре из них квадратом.

We can start on any note, but let's use C since it's at the top.

Можно начать с любой ноты; возьмём С, например, так как она наверху.

The resulting chord is called a diminished seventh chord.

Полученный аккорд называется уменьшенный септаккорд.

Now this chord is a group whose elements are these four notes.

Теперь он — группа, а её элементы — четыре ноты.

The operation we can perform on it is to shift the bottom note to the top.

Мы можем совершить такое действие: переместить нижнюю ноту наверх.

In music that's called an inversion,

В музыке это называется инверсия

and it's the equivalent of addition from earlier.

и равноценно сложению, рассмотренному нами ранее.

Каждая инверсия меняет звучание аккорда,

Each inversion changes the sound of the chord,

но он всегда остаётся уменьшенным септаккордом C,

but it never stops being a C diminished seventh.

In other words, it satisfies axiom one.

иными словами, удовлетворяет аксиоме 1.

Composers use inversions to manipulate a sequence of chords

Композиторы применяют инверсию, чтобы манипулировать

последовательностью аккордов, избегая странно звучащих переходов.

and avoid a blocky, awkward sounding progression.

On a musical staff, an inversion looks like this.

На нотном стане инверсия выглядит так.

But we can also overlay it onto our square and get this.

Но мы также можем применить её к нашему квадрату и получим вот это.

So, if you were to cover your entire Rubik's Cube with notes

Если покрыть кубик Рубика нотами так,

such that every face of the solved cube is a harmonious chord,

чтобы каждая его грань в решённом виде являлась гармоничным аккордом,

you could express the solution as a chord progression

то вы сможете собрать кубик, пользуясь сменой аккордов,

that gradually moves from discordance to harmony

в результате которой разноголосица планомерно превращается в гармонию звуков,

and play the Rubik's Cube, if that's your thing.

и играть на кубике Рубика подобно игре на пианино.