Group theory 101: How to play a Rubik’s Cube like a piano - Michael Staff

Teoria de grupos 101: Como tocar um Cubo de Rubick como se fosse um piano — Michael Staff

Tradutor: Rossana Naki Revisora: Margarida Ferreira

How can you play a Rubik's Cube?

Como podemos "tocar" um cubo Rubik?

Not play with it, but play it like a piano?

Não digo brincar com ele, mas sim tocá-lo como um piano?

That question doesn't make a lot of sense at first,

Esta pergunta não faz muito sentido de início

but an abstract mathematical field called group theory holds the answer,

mas uma área da matemática abstrata, a teoria dos grupos, tem a resposta,

if you'll bear with me.

se me acompanharem.

In math, a group is a particular collection of elements.

Em matemática, um grupo é um conjunto particular de elementos.

That might be a set of integers,

Pode ser um conjunto de números inteiros,

the face of a Rubik's Cube,

a face de um cubo de Rubik,

or anything,

ou outra coisa qualquer,

so long as they follow four specific rules, or axioms.

desde que se cumpram quatro regras específicas, ou axiomas.

Axiom one:

Axioma um:

all group operations must be closed or restricted to only group elements.

Todas as operações do grupo devem ser restringidas apenas aos elementos do grupo.

So in our square, for any operation you do,

Então, no nosso quadrado, qualquer operação realizada,

like turn it one way or the other,

como rodá-lo para uma direção ou outra,

you'll still wind up with an element of the group.

irá acabar num dos elementos do grupo.

Axiom two:

Axioma dois:

no matter where we put parentheses when we're doing a single group operation,

Não importa onde colocamos os parênteses, ao fazer uma operação de grupo,

we still get the same result.

nós teremos sempre o mesmo resultado.

In other words, if we turn our square right two times, then right once,

Isto é, rodar o nosso cubo duas vezes à direita, e mais uma vez para a direita

that's the same as once, then twice,

é o mesmo que rodá-lo uma vez, e depois duas vezes,

or for numbers, one plus two is the same as two plus one.

ou com números, um mais dois é igual a dois mais um.

Axiom three:

Axioma três:

for every operation, there's an element of our group called the identity.

Para cada operação, existe um elemento no grupo chamado "identidade".

When we apply it to any other element in our group,

Quando ele é aplicado a qualquer outro elemento do grupo,

we still get that element.

nós obteremos o segundo elemento.

So for both turning the square and adding integers,

Tanto a girar o cubo, como a somar números inteiros,

our identity here is zero,

a nossa identidade é o zero,

not very exciting.

nada de muito interessante.

Axiom four:

Axioma quatro:

every group element has an element called its inverse also in the group.

Todos os elementos do grupo possuem o seu inverso, também dentro do grupo.

When the two are brought together using the group's addition operation,

Quando juntamos os dois, usando a soma do grupo,

they result in the identity element, zero,

o resultado é a identidade, zero.

so they can be thought of as cancelling each other out.

Por isso podemos pensar que eles se anulam um ao outro.

So that's all well and good, but what's the point of any of it?

Isto é tudo muito bonito, mas qual o objetivo de tudo isto?

Well, when we get beyond these basic rules,

Bem, quando vamos para além destas regras básicas,

some interesting properties emerge.

aparecem algumas propriedades interessantes.

For example, let's expand our square back into a full-fledged Rubik's Cube.

Por exemplo, alarguemos o nosso quadrado ao cubo de Rubik.

This is still a group that satisfies all of our axioms,

Este continua a ser um grupo que satisfaz todos os nossos axiomas.

though now with considerably more elements

embora agora com consideravelmente mais elementos

and more operations.

e mais operações.

We can turn each row and column of each face.

Podemos girar cada linha e coluna de cada face.

Each position is called a permutation,

Cada posição é chamada "permutação".

and the more elements a group has, the more possible permutations there are.

Quantos mais elementos existirem no grupo, mais possíveis permutações existem.

A Rubik's Cube has more than 43 quintillion permutations,

Um cubo de Rubik tem mais de 43 triliões de permutações,

so trying to solve it randomly isn't going to work so well.

por isso tentar resolvê-lo aleatoriamente não irá funcionar muito bem.

However, using group theory we can analyze the cube

Contudo, usando a teoria dos grupos podemos analisar o cubo

and determine a sequence of permutations that will result in a solution.

e determinar uma sequência de permutações que resultarão na solução.

And, in fact, that's exactly what most solvers do,

E, de facto, é exatamente o que a maioria dos solucionadores fazem,

even using a group theory notation indicating turns.

utilizando mesmo a notação da teoria dos grupos para indicar rotações.

And it's not just good for puzzle solving.

E não serve apenas para resolver puzzles.

Group theory is deeply embedded in music, as well.

A teoria de grupos também está profundamente enraizada na música.

One way to visualize a chord is to write out all twelve musical notes

Uma forma de visualizar um acorde é escrevendo as doze notas musicais

and draw a square within them.

e desenhar um quadrado dentro delas.

We can start on any note, but let's use C since it's at the top.

Podemos começar em qualquer nota, mas usaremos dó, uma vez que está em cima.

The resulting chord is called a diminished seventh chord.

O acorde que resulta chama-se um acorde de sétima diminuída.

Now this chord is a group whose elements are these four notes.

Este acorde é um grupo em que os seus elementos são estas quatro notas.

The operation we can perform on it is to shift the bottom note to the top.

A operação que podemos fazer nele é deslocar a nota de baixo para cima.

In music that's called an inversion,

Em música, isto chama-se uma inversão,

and it's the equivalent of addition from earlier.

e é equivalente à adição de há pouco.

Each inversion changes the sound of the chord,

Cada inversão muda o som do acorde,

but it never stops being a C diminished seventh.

mas ele nunca deixa de ser um dó de sétima diminuída.

In other words, it satisfies axiom one.

Por outras palavras, o primeiro axioma está satisfeito.

Composers use inversions to manipulate a sequence of chords

Os compositores usam inversões para manipular uma sequência de acordes

and avoid a blocky, awkward sounding progression.

e evitar uma progressão com um som estranho.

On a musical staff, an inversion looks like this.

No mundo da música, uma inversão parece-se com isto.

But we can also overlay it onto our square and get this.

Mas também podemos sobrepô-la no nosso quadrado e conseguir isto.

So, if you were to cover your entire Rubik's Cube with notes

Se tivéssemos de cobrir um cubo de Rubik com notas

such that every face of the solved cube is a harmonious chord,

de forma a que cada face do cubo já resolvida fosse um acorde harmonioso,

you could express the solution as a chord progression

podíamos representar a solução como um acorde progressivo

that gradually moves from discordance to harmony

que gradualmente se move da dissonância até à harmonia

and play the Rubik's Cube, if that's your thing.

e tocar o cubo de Rubik, se esse for o vosso tipo de coisa.