Group theory 101: How to play a Rubik’s Cube like a piano - Michael Staff

Tradutor: Romane Ferreira Revisor: Ruy Lopes Pereira

How can you play a Rubik's Cube?

Como poderíamos tocar um cubo de Rubik?

Not play with it, but play it like a piano?

Não brincar com ele, mas tocá-lo como um piano?

Essa pergunta parece não fazer muito sentido,

That question doesn't make a lot of sense at first,

but an abstract mathematical field called group theory holds the answer,

mas uma área da matemática abstrata chamada teoria de grupo tem a resposta.

if you'll bear with me.

Então vamos lá.

In math, a group is a particular collection of elements.

Na matemática, um grupo é uma coleção especial de elementos.

That might be a set of integers,

Pode ser um conjunto de números inteiros,

the face of a Rubik's Cube,

a face de um cubo de Rubik,

or anything,

ou qualquer coisa,

contanto que siga quatro regras específicas, ou axiomas.

so long as they follow four specific rules, or axioms.

Axiom one:

Axioma um:

todas as operações do grupo devem ser restritas apenas a elementos do grupo.

all group operations must be closed or restricted to only group elements.

So in our square, for any operation you do,

Em nosso quadrado, para qualquer operação que se faça,

like turn it one way or the other,

como girar para um lado ou para o outro,

you'll still wind up with an element of the group.

sempre resultará num elemento do grupo.

Axiom two:

Axioma dois:

no matter where we put parentheses when we're doing a single group operation,

não importa onde colocamos os parênteses ao fazer uma única operação de grupo,

we still get the same result.

pois isto não mudará o resultado.

In other words, if we turn our square right two times, then right once,

Ou seja, se girarmos o quadrado para a direita duas vezes, depois uma,

that's the same as once, then twice,

é o mesmo que girar uma vez, depois duas,

or for numbers, one plus two is the same as two plus one.

ou com números, 1 + 2 é o mesmo que 2 + 1.

Axiom three:

Axioma três:

for every operation, there's an element of our group called the identity.

para toda operação, há um elemento do grupo chamado de elemento neutro.

When we apply it to any other element in our group,

Quando o aplicamos a qualquer outro elemento do grupo,

we still get that element.

obtemos esse mesmo elemento.

So for both turning the square and adding integers,

Tanto para girar o quadrado como para somar números inteiros,

our identity here is zero,

o elemento neutro é o zero.

not very exciting.

Nada muito emocionante.

Axiom four:

Axioma quatro:

cada elemento do grupo tem um elemento chamado inverso, também do grupo.

every group element has an element called its inverse also in the group.

When the two are brought together using the group's addition operation,

Quando os dois são juntados usando operação de adição do grupo,

they result in the identity element, zero,

resultam no elemento neutro, zero,

so they can be thought of as cancelling each other out.

é como se eles se cancelassem mutuamente.

So that's all well and good, but what's the point of any of it?

Então tudo certo, mas qual é o sentido disso tudo?

Well, when we get beyond these basic rules,

Bem, quando vamos além dessas regras básicas,

some interesting properties emerge.

algumas propriedades interessantes emergem.

For example, let's expand our square back into a full-fledged Rubik's Cube.

Por exemplo, vamo expandir nosso quadrado de volta para um cubo de Rubik completo.

Isso ainda é um grupo que satisfaz todos os nossos axiomas,

This is still a group that satisfies all of our axioms,

though now with considerably more elements

mesmo que agora com muito mais elementos

and more operations.

e mais operações.

We can turn each row and column of each face.

Podemos girar cada linha e coluna de cada face.

Each position is called a permutation,

Cada posição é chamada uma permutação,

and the more elements a group has, the more possible permutations there are.

e quanto mais elementos um grupo tem, mais permutações possíveis existem.

A Rubik's Cube has more than 43 quintillion permutations,

Um cubo de Rubik tem mais de 43 quintilhões de permutações,

então tentar resolver de forma aleatória não vai funcionar muito bem.

so trying to solve it randomly isn't going to work so well.

However, using group theory we can analyze the cube

No entanto, usando a teoria do grupo podemos analisar o cubo

and determine a sequence of permutations that will result in a solution.

e determinar uma sequência de permutações que vai resultar em uma solução.

Na verdade, é exatamente isso o que a maioria dos solucionadores faz,

And, in fact, that's exactly what most solvers do,

even using a group theory notation indicating turns.

até mesmo usando notação de teoria de grupo para indicar os giros.

And it's not just good for puzzle solving.

E ela não serve só para resolver quebra-cabeças.

Group theory is deeply embedded in music, as well.

A teoria de grupo está profundamente enraizada na música também.

One way to visualize a chord is to write out all twelve musical notes

Uma forma de visualizar um acorde é escrever as 12 notas musicais

and draw a square within them.

e desenhar um quadrado dentro delas.

We can start on any note, but let's use C since it's at the top.

Podemos começar em qualquer nota, mas vamos usar o Dó, que está no topo.

The resulting chord is called a diminished seventh chord.

O acorde resultante é chamado de uma sétima diminuta.

Now this chord is a group whose elements are these four notes.

Esse acorde é um grupo cujos elementos são essas quatro notas.

Uma operação que podemos fazer é colocar a nota base no topo.

The operation we can perform on it is to shift the bottom note to the top.

In music that's called an inversion,

Na música isso se chama inversão,

and it's the equivalent of addition from earlier.

é o equivalente da adição.

Each inversion changes the sound of the chord,

Cada inversão muda o som do acorde,

but it never stops being a C diminished seventh.

mas ele nunca deixa de ser um Dó com sétima diminuta.

In other words, it satisfies axiom one.

Em outras palavras, ele satisfaz o axioma um.

Composers use inversions to manipulate a sequence of chords

Compositores usam inversões para manipular uma seqüência de acordes

and avoid a blocky, awkward sounding progression.

e evitar uma progressão monótona e estranha

Numa partitura musical, uma inversão parece com isso.

On a musical staff, an inversion looks like this.

But we can also overlay it onto our square and get this.

Mas também podemos colocá-la em nosso quadrado e obter isso.

So, if you were to cover your entire Rubik's Cube with notes

Então, se você cobrir o cubo de Rubik inteiro com notas

such that every face of the solved cube is a harmonious chord,

de modo que cada face do cubo resolvido formasse um acorde harmônico,

you could express the solution as a chord progression

você poderia expressar a solução como uma progressão de acordes

que se move gradualmente da dissonância para a harmonia

that gradually moves from discordance to harmony

and play the Rubik's Cube, if that's your thing.

e assim tocar o cubo de Rubik, se é disso que gosta.