Newton’s three-body problem explained - Fabio Pacucci

翻訳: Yoko Emori 校正: Tomoyuki Suzuki

In 2009, two researchers ran a simple experiment.

2009年に２人の研究者が 簡単な実験をしました

They took everything we know about our solar system

太陽系に関する全ての知識を使って

and calculated where every planet would be up to 5 billion years in the future.

50億年先までの 全惑星の位置を計算したのです

To do so they ran over 2,000 numerical simulations

そのために２千を超える 数値シミュレーションを行いました

with the same exact initial conditions except for one difference:

全く同一の初期条件を設定したのですが １つだけ条件を変えました

the distance between Mercury and the Sun, modified by less than a millimeter

水星と太陽との距離を シミュレーションごとに

１ミリ未満で変えたのです

from one simulation to the next.

Shockingly, in about 1 percent of their simulations,

驚いたことに シミュレーションの約１％で

Mercury’s orbit changed so drastically that it could plunge into the Sun

水星の軌道が非常に大きく変わり

太陽または金星と衝突する可能性がありました

or collide with Venus.

Worse yet,

さらに悪いことに

in one simulation it destabilized the entire inner solar system.

あるシミュレーションでは 内太陽系全体を不安定にしました

This was no error; the astonishing variety in results

これは間違いではなく 結果にこれ程のばらつきがあったのは

reveals the truth that our solar system may be much less stable than it seems.

私どもの太陽系が思っていたよりも ずっと不安定だという真実を明かしています

Astrophysicists refer to this astonishing property of gravitational systems

天体物理学者たちは この驚くべき重力系の特性を

as the n-body problem.

「N体問題」と称します

While we have equations that can completely predict

互いに引力で引き合う２体の動きを 完全に予測する数式はありますが

the motions of two gravitating masses,

our analytical tools fall short when faced with more populated systems.

もっと天体数が多い問題に直面すると 解析できる術がありません

It’s actually impossible to write down all the terms of a general formula

実際に 一般的な数式の項を 全て書き出すことは不可能になり

that can exactly describe the motion of three or more gravitating objects.

３体以上の互いに引き合う天体の動きを 正確に記述できません

Why? The issue lies in how many unknown variables an n-body system contains.

なぜでしょうか？N体系に含まれる 未知の変数の数に問題があるのです

Thanks to Isaac Newton, we can write a set of equations

アイザック・ニュートンのおかげで いくつかの方程式によって

to describe the gravitational force acting between bodies.

天体間に働く引力を表すことができます

However, when trying to find a general solution for the unknown variables

しかし これらの方程式の未知変数の 一般解を 見つけようとすると

in these equations,

we’re faced with a mathematical constraint:

数学的な制約に行き当たってしまいます

for each unknown, there must be at least one equation

未知変数１つにつき 少なくとも１つは方程式が必要で

that independently describes it.

しかも各方程式は 独立してないといけません

Initially, a two-body system appears to have more unknown variables

最初は ２体系にも位置や速度に関する 未知変数の数が

for position and velocity than equations of motion.

運動方程式の数より 多くあるようにみえます

However, there’s a trick:

ただし 解き方があります

consider the relative position and velocity of the two bodies

２つの天体の相対的な位置と速度を

with respect to the center of gravity of the system.

この系の重心からみて考えてください

This reduces the number of unknowns and leaves us with a solvable system.

これにより 未知変数の数が減り 解くことができる系になります

With three or more orbiting objects in the picture, everything gets messier.

軌道を回る３つ以上の天体が関わると 全てが複雑になります

Even with the same mathematical trick of considering relative motions,

相対運動を考える時の数学的な解法を 同じようにあてはめても

we’re left with more unknowns than equations describing them.

未知変数の数の方が それを表す方程式の数より多く残ります

There are simply too many variables for this system of equations

この系の方程式の変数の数は どう考えても多過ぎて

to be untangled into a general solution.

一般解を導き出すことができません

But what does it actually look like for objects in our universe

解析的に解くことができない 運動方程式に従う宇宙にある天体は

to move according to analytically unsolvable equations of motion?

一体どのように動くのでしょうか？

A system of three stars— like Alpha Centauri—

例えばアルファケンタウリのような ３つの星から成る系 は

could come crashing into one another or, more likely,

お互いに衝突する可能性がありますし より可能性が高いのは

some might get flung out of orbit after a long time of apparent stability.

見かけの上では長期間安定していた天体が 軌道から放り出されることです

Other than a few highly improbable stable configurations,

ほとんど起こり得ない 安定した幾つかの系を除き

almost every possible case is unpredictable on long timescales.

起こりうるほぼ全ての場合では 長期にわたる予測は不可能なのです

Each has an astronomically large range of potential outcomes,

それぞれが天文学的な数の結果を生む 可能性を持っており

dependent on the tiniest of differences in position and velocity.

位置や速度の微小な変化に影響されます

This behaviour is known as chaotic by physicists,

物理学者たちは この振る舞いを「カオス」と称し

and is an important characteristic of n-body systems.

これは N体系の重要な特徴です

Such a system is still deterministic— meaning there’s nothing random about it.

このような系も決定論的な法則に従っており 決してランダムなものではありません

If multiple systems start from the exact same conditions,

複数の系が全く同一の条件で始まれば

they’ll always reach the same result.

いつも同一の結果にたどり着きます

But give one a little shove at the start, and all bets are off.

ただし 最初にごく僅かな力が 加わっただけで 全く違う結果になるのです

That’s clearly relevant for human space missions,

これは 人間が宇宙探査をする場合のように

when complicated orbits need to be calculated with great precision.

複雑な軌道も非常に精密に計算する 必要がある時には 明らかに重要なことです

Thankfully, continuous advancements in computer simulations

幸い コンピュータ・シミュレーションが 進歩を遂げてきたので

offer a number of ways to avoid catastrophe.

大惨事を避ける方法が幾つかあります

By approximating the solutions with increasingly powerful processors,

益々パワフルになってきたプロセッサーで 解を概算することにより

we can more confidently predict the motion of n-body systems on long time-scales.

N体系の動きを長期にわたって より確実性を持って予測することができます

And if one body in a group of three is so light

３体のうち １体の質量が非常に軽く

it exerts no significant force on the other two,

他の２体に有意な力がかからない場合は

the system behaves, with very good approximation, as a two-body system.

２体系と非常に近似した振る舞いをします

This approach is known as the “restricted three-body problem.”

この手法は「制限三体問題」として 知られており

It proves extremely useful in describing, for example,

例えば 地球と太陽の重力場の中にある 小惑星を記述する際や

an asteroid in the Earth-Sun gravitational field,

or a small planet in the field of a black hole and a star.

ブラックホールと恒星の重力場の中にある 小さい惑星を記述する際には非常に役立ちます

As for our solar system, you’ll be happy to hear

私どもの太陽系に関しては 幸いなことに

that we can have reasonable confidence in its stability

少なくとも 今後 数億年は安定していると かなりの確実性を持って言えます

for at least the next several hundred million years.

Though if another star,

とはいえ もし別の恒星が

launched from across the galaxy, is on its way to us,

銀河のかなたから地球に向かって来たら

all bets are off.

一巻の終わりです