Why are manhole covers round? - Marc Chamberland

Почему крышки люков круглые? — Марк Чемберлэнд

Переводчик: Olga Mansurova Редактор: Natalia Ost

Why are most manhole covers round?

Почему крышки люков в основном круглые?

Sure, it makes them easy to roll and slide into place in any alignment

Конечно, так их легко катить и устанавливать на место.

but there's another more compelling reason

Но есть и другая, более убедительная причина,

involving a peculiar geometric property of circles and other shapes.

касающаяся геометрических особенностей кругов и других фигур.

Imagine a square separating two parallel lines.

Представьте себе квадрат между двумя параллельными линиями.

As it rotates, the lines first push apart, then come back together.

При его вращении эти линии сначала раздвигаются, а затем снова сдвигаются.

But try this with a circle

Теперь попробуем круг:

and the lines stay exactly the same distance apart,

расстояние между этими линиями не меняется

the diameter of the circle.

и равно диаметру круга.

This makes the circle unlike the square,

Поэтому круг, в отличие от квадрата,

a mathematical shape called a curve of constant width.

является математической фигурой, называемой «фигурой постоянной ширины».

Another shape with this property is the Reuleaux triangle.

Другой пример такой фигуры — треугольник Рёло.

To create one, start with an equilateral triangle,

Чтобы построить его, начните с равностороннего треугольника,

then make one of the vertices the center of a circle that touches the other two.

начертите окружность с центром в одной из вершин, проходящую через две другие.

Draw two more circles in the same way, centered on the other two vertices,

Начертите две такие же окружности с центрами в двух других вершинах.

and there it is, in the space where they all overlap.

Область пересечения трёх кругов образует треугольник Рёло.

Because Reuleaux triangles can rotate between parallel lines

Поскольку треугольники Рёло могут вращаться между параллельными линиями,

without changing their distance,

не меняя расстояния между ними,

they can work as wheels, provided a little creative engineering.

их можно использовать как колёса, если подойти к делу творчески.

And if you rotate one while rolling its midpoint in a nearly circular path,

А если при вращении треугольника Рёло его центр движется по окружности,

its perimeter traces out a square with rounded corners,

его периметр описывает квадрат со скруглёнными углами,

allowing triangular drill bits to carve out square holes.

что позволяет создавать треугольные свёрла для получения квадратных отверстий.

Any polygon with an odd number of sides

Любой многоугольник с нечётным количеством сторон

can be used to generate a curve of constant width

можно использовать для получения фигуры постоянной ширины,

using the same method we applied earlier,

применяя рассмотренный ранее метод,

though there are many others that aren't made in this way.

хотя есть и много других методов, которые действуют иначе.

For example, if you roll any curve of constant width around another,

Например, если катить одну фигуру постоянной ширины вокруг другой,

you'll make a third one.

можно получить третью такую же фигуру.

This collection of pointy curves fascinates mathematicians.

Эта коллекция выпуклых кривых зачаровывает математиков.

They've given us Barbier's theorem,

Поэтому появилась теорема Барбье,

which says that the perimeter of any curve of constant width,

согласно которой периметр любой фигуры постоянной ширины,

not just a circle, equals pi times the diameter.

а не только круга, равен числу Пи, умноженному на её диаметр.

Another theorem tells us that if you had a bunch of curves of constant width

Другая теорема гласит, что все фигуры постоянной ширины,

with the same width,

имеющие одинаковую ширину,

they would all have the same perimeter,

также имеют одинаковый периметр.

but the Reuleaux triangle would have the smallest area.

При этом треугольник Рёло имеет наименьшую площадь,

The circle, which is effectively a Reuleaux polygon

а круг, который, по сути, является многоугольником Рёло

with an infinite number of sides, has the largest.

с бесконечным количеством сторон, имеет наибольшую площадь.

In three dimensions, we can make surfaces of constant width,

В трёхмерном пространстве существуют тела постоянной ширины,

like the Reuleaux tetrahedron,

например, тетраэдр Рёло,

formed by taking a tetrahedron,

формируемый из обычного тетраэдра,

expanding a sphere from each vertex until it touches the opposite vertices,

если из каждой его вершины провести сферы до их касания противоположных вершин

and throwing everything away except the region where they overlap.

и выбросить всё кроме области их пересечения.

Surfaces of constant width

Телá постоянной ширины

maintain a constant distance between two parallel planes.

могут катиться между двумя параллельными плоскостями.

So you could throw a bunch of Reuleaux tetrahedra on the floor,

Поэтому можно было бы бросить горсть тетраэдров Рёло на пол

and slide a board across them as smoothly as if they were marbles.

и прокатиться на доске по ним, как по шарикам.

Now back to manhole covers.

Теперь вернёмся к крышкам люков.

A square manhole cover's short edge

Если расположить квадратную крышку

could line up with the wider part of the hole and fall right in.

стороной вдоль диагонали отверстия, то крышка упадёт внутрь.

But a curve of constant width won't fall in any orientation.

А фигуры постоянной ширины не упадут, как их ни крути.

Usually they're circular, but keep your eyes open,

Обычно они имеют круглую форму, но приглядитесь,

and you just might come across a Reuleaux triangle manhole.

и, возможно, вы наткнётесь на люк в форме треугольника Рёло.