Why are manhole covers round? - Marc Chamberland

なぜマンホールのふたは丸いのか？ － マーク・シャンベラン

翻訳: Takamitsu Hirono 校正: Tomoyuki Suzuki

Why are most manhole covers round?

なぜほとんどのマンホールのふたは 丸いのでしょうか？

Sure, it makes them easy to roll and slide into place in any alignment

転がすのが簡単で どんな向きでも穴に収まる という理由ももちろんあります

but there's another more compelling reason

しかしもう一つ不可欠な理由があり

involving a peculiar geometric property of circles and other shapes.

円と特別な形だけが持っている 幾何学的特性に関係しています

Imagine a square separating two parallel lines.

平行な２本の線が正方形に接している 様子を思い浮かべて下さい

As it rotates, the lines first push apart, then come back together.

正方形が回転すると ２本の線はまず引き離され その後元に戻ります

But try this with a circle

しかしこれを円でやってみてください

and the lines stay exactly the same distance apart,

２本の直線は常に同じ距離－

the diameter of the circle.

円の直径のままです

This makes the circle unlike the square,

円は正方形とは異なり

a mathematical shape called a curve of constant width.

数学的には定幅（ていふく）曲線と 呼ばれる形なのです

Another shape with this property is the Reuleaux triangle.

この性質を持つ他の図形は ルーローの三角形です

To create one, start with an equilateral triangle,

これを作るには 正三角形からスタートし

then make one of the vertices the center of a circle that touches the other two.

三角形の１つの頂点を 残る２つの頂点を通る円の中心にします

Draw two more circles in the same way, centered on the other two vertices,

同様に残る２つの頂点を中心とする ２つの円を描きます

and there it is, in the space where they all overlap.

その結果 全ての円が重なった部分が 求める図形です

Because Reuleaux triangles can rotate between parallel lines

ルーローの三角形は平行線の間を

without changing their distance,

距離を変えずに転がることができるので

they can work as wheels, provided a little creative engineering.

やや創造的な技術をもってすれば 車輪として使えます

And if you rotate one while rolling its midpoint in a nearly circular path,

もし同時に中心を ほぼ円形の軌道で回転させると

its perimeter traces out a square with rounded corners,

周は角が丸くなった正方形を描き

allowing triangular drill bits to carve out square holes.

三角形の掘削用ビットが 正方形の穴をあけます

Any polygon with an odd number of sides

あらゆる奇数の辺を持つ正多角形から

can be used to generate a curve of constant width

先程の説明と同じ方法を使って

using the same method we applied earlier,

定幅曲線を作ることができますが

though there are many others that aren't made in this way.

同時に 他の方法によっても たくさんの定幅曲線を作ることができます

For example, if you roll any curve of constant width around another,

例えばある定幅曲線を 別の定幅曲線の周りを転がすことにより

you'll make a third one.

新しい定幅曲線を作ることができます

This collection of pointy curves fascinates mathematicians.

この先の尖った曲線群は数学者達を魅惑しています

They've given us Barbier's theorem,

定幅図形はバルビエの定理

which says that the perimeter of any curve of constant width,

「あらゆる定幅曲線の周は

not just a circle, equals pi times the diameter.

円に限らず 直径（幅）の円周率倍である」 をもたらしました

Another theorem tells us that if you had a bunch of curves of constant width

また別の定理によると 「同じ幅を持つ

with the same width,

いかなる定幅曲線も

they would all have the same perimeter,

全て同じ外周をもち

but the Reuleaux triangle would have the smallest area.

ルーローの三角形はその中で面積が最小で

The circle, which is effectively a Reuleaux polygon

円 つまり無限の辺に対する ルーローの多角形が

with an infinite number of sides, has the largest.

面積最大である」と示されています

In three dimensions, we can make surfaces of constant width,

３次元では定幅曲面

like the Reuleaux tetrahedron,

たとえばルーローの四面体などが作れます

formed by taking a tetrahedron,

正四面体を作り

expanding a sphere from each vertex until it touches the opposite vertices,

各頂点を中心に 対面の頂点に接するまで 球を膨らませ

and throwing everything away except the region where they overlap.

共通部分以外の全てを捨てるのです

Surfaces of constant width

定幅曲面は

maintain a constant distance between two parallel planes.

２つの平行な面で一定の距離を維持します

So you could throw a bunch of Reuleaux tetrahedra on the floor,

そのためたくさんのルーローの４面体を床にまけば

and slide a board across them as smoothly as if they were marbles.

その上を大理石の上のようにスムーズに 板で滑ることができます

Now back to manhole covers.

さてマンホールのふたに戻ります

A square manhole cover's short edge

正方形のマンホールは ふたの短い辺が

could line up with the wider part of the hole and fall right in.

穴のより長い部分に重なると 中に落ちてしまいます

But a curve of constant width won't fall in any orientation.

しかし定幅曲線であれば どのような向きでもおちることはありません

Usually they're circular, but keep your eyes open,

通常は円形ですが 良く見ていれば

and you just might come across a Reuleaux triangle manhole.

ルーローの三角形のマンホールに 出会うこともあるでしょう