Why are manhole covers round? - Marc Chamberland

Translator: hassan qodusi Reviewer: Saeid Saadat Talab

Why are most manhole covers round?

چرا دریچه‌های آدم‌رو را گرد می‌سازند؟

Sure, it makes them easy to roll and slide into place in any alignment

البته که باعث می‌شود دسترسی‌شان آسان شده و از هر سمتی راحت‌تر واردشان شد.

but there's another more compelling reason

اما یک دلیل قانع کننده‌تر دیگری هم دارد،

involving a peculiar geometric property of circles and other shapes.

یعنی یک خاصیت هندسی ویژه بین دایره‌ها و دیگر اشکال.

Imagine a square separating two parallel lines.

یک مستطیل را فرض کنید که دو خط موازی را جدا می‌کند.

As it rotates, the lines first push apart, then come back together.

وقتی بچرخد، خط‌ها جدا می‌شوند، بعد دوباره به هم می‌رسند.

But try this with a circle

اما همین کار را با دایره بکنید،

and the lines stay exactly the same distance apart,

می‌بینید که خط‌ها دقیقاً در همان فاصله جدا از هم می‌مانند،

the diameter of the circle.

یعنی قطر دایره.

This makes the circle unlike the square,

این ویژگی دایره را از مستطیل متمایز می‌کند،

a mathematical shape called a curve of constant width.

دایره شکلی ریاضی دارد به نام منحنی (خم) با عرض (پهنای) ثابت.

Another shape with this property is the Reuleaux triangle.

شکل دیگر با این خاصیت «مثلث رولو» است. (فرانتس رولو ریاضیدان آلمانی)

To create one, start with an equilateral triangle,

برای ساختن چنین شکلی، از یک مثلث متساوی‌الاضلاع استفاده کنید.

then make one of the vertices the center of a circle that touches the other two.

سپس یکی از رئوس مثلث را مرکز دایره‌ای کنید که به دو رأس دیگر می‌رسد.

Draw two more circles in the same way, centered on the other two vertices,

دو دایره‌ی دیگر به همین روش بکشید، که مرکزشان روی دو رأس دیگر مثلث است،

and there it is, in the space where they all overlap.

و آماده است، در فضایی که همه‌ی آنها هم‌پوشی دارند.

Because Reuleaux triangles can rotate between parallel lines

چون مثلث‌های رولو می‌توانند بین خطوط موازی بچرخند

without changing their distance,

بدون تغییر فاصله‌شان،

they can work as wheels, provided a little creative engineering.

آنها می‌توانند به عنوان چرخ عمل کنند، به شرط کمی‌ خلاقیت مهندسی.

And if you rotate one while rolling its midpoint in a nearly circular path,

و اگر یکی از آنها را هنگامی‌ بچرخانید که نقطه‌ی میانه آن در مسیری دایره‌ای می‌چرخد،

its perimeter traces out a square with rounded corners,

دوره‌ی محیط آن یک مستطیل با گوشه‌های گرد را دنبال می‌کند،

allowing triangular drill bits to carve out square holes.

که اجازه می‌دهد رئوس مثلثی آن سوراخ‌های مستطیلی به وجود آورند.

Any polygon with an odd number of sides

هر چندضلعی با تعداد اضلاع فرد

can be used to generate a curve of constant width

می‌تواند برای تولید یک منحنی عرض ثابت استفاده شود

using the same method we applied earlier,

با همین روشی که گفته شد،

though there are many others that aren't made in this way.

اما خیلی شکل‌های دیگر هست که به این شکل درست نشده‌اند.

For example, if you roll any curve of constant width around another,

برای مثال، اگر هر منحنی پهنای ثابتی را به دور دیگری بچرخانید،

you'll make a third one.

یک منحنی سوم درست می‌شود.

This collection of pointy curves fascinates mathematicians.

این مجموعه‌ی منحنی‌های گوشه‌دار ریاضی‌دانان را شیفته خود کرده.

They've given us Barbier's theorem,

از این خاصیت به «قضیه‌ی باربیرز» رسیده‌اند،

which says that the perimeter of any curve of constant width,

که می‌گوید «محیط» هر منحنی با پهنای ثابت،

not just a circle, equals pi times the diameter.

نه فقط در یک دایره، برابر است با «عدد پی ضرب‌در قطر».

Another theorem tells us that if you had a bunch of curves of constant width

قضیه‌ی دیگر می‌گوید که اگر چند منحنی با پهنای ثابت داشته باشید

with the same width,

در یک عرض برابر،

they would all have the same perimeter,

آنها همگی محیطی برابر خواهند داشت،

but the Reuleaux triangle would have the smallest area.

اما مثلث رولو کمترین سطح را داراست.

The circle, which is effectively a Reuleaux polygon

دایره، که یک چندضلعی رولو خوب است

with an infinite number of sides, has the largest.

با بی‌شمار اضلاع، بزرگ‌ترین سطح را دارا خواهد بود.

In three dimensions, we can make surfaces of constant width,

در سه بعد، می‌توانیم سطوح (احجام) با پهنای ثابت بسازیم

like the Reuleaux tetrahedron,

همانند چهاروجهی رولو،

formed by taking a tetrahedron,

تشکیل شده از یک چهار وجهی،

expanding a sphere from each vertex until it touches the opposite vertices,

که از هر گوشه‌اش یک دایره می‌گسترد تا به گوشه‌ی سمت مخالف برسد،

and throwing everything away except the region where they overlap.

و هر چیزی را کنار می‌زند به جز منطقه‌ای که همپوشی دارند.

Surfaces of constant width

احجام با پهنای ثابت

maintain a constant distance between two parallel planes.

فاصله‌ای ثابت را بین دو صفحه‌ی موازی باقی نگه می‌دارند.

So you could throw a bunch of Reuleaux tetrahedra on the floor,

پس می‌توانید چند «چهاروجهی رولو» را روی زمین قرار داده،

and slide a board across them as smoothly as if they were marbles.

و صفحه‌ای بین آنها به نرمی بکشید انگار که تیله هستند.

Now back to manhole covers.

حالا بازگردیم به دریچه‌های آدمرو.

A square manhole cover's short edge

ضلع کوتاه یک دریچه‌ی مربعی آدمرو

could line up with the wider part of the hole and fall right in.

می‌تواند با قطر پهن‌تر سوراخ هم خط شده و به درون آن بیفتد.

But a curve of constant width won't fall in any orientation.

اما یک منحنی با پهنای ثابت در هیچ جهتی به درون سوراخ نخواهد افتاد.

Usually they're circular, but keep your eyes open,

معمولاً آن‌ها دایروی هستند، اما چشمان‌تان را باز کنید،

and you just might come across a Reuleaux triangle manhole.

شاید با یک دریچه‌ی آدم‌رو مثلثی رولو نیز مواجه شوید.