Why are manhole covers round? - Marc Chamberland

Tradutor: Margarida Ferreira Revisora: Isabel Vaz Belchior

Porque é que a maior parte das tampas dos poços de visita são redondas?

Why are most manhole covers round?

Sure, it makes them easy to roll and slide into place in any alignment

Claro que assim são mais fáceis de rebolar

e de colocá-las no seu lugar, em qualquer posição.

but there's another more compelling reason

Mas há outra razão mais convincente

involving a peculiar geometric property of circles and other shapes.

que envolve uma propriedade geométrica peculiar dos círculos e de outras formas.

Imagine a square separating two parallel lines.

Imaginem um quadrado que separa duas linhas paralelas.

As it rotates, the lines first push apart, then come back together.

Quando roda, as linhas primeiro afastam-se e depois voltam a aproximar-se.

But try this with a circle

Mas experimentem o mesmo com um círculo.

and the lines stay exactly the same distance apart,

As linhas mantêm exatamente a mesma distância entre si,

the diameter of the circle.

ou seja, o diâmetro do círculo.

This makes the circle unlike the square,

Ao contrário do quadrado,

a mathematical shape called a curve of constant width.

o círculo é uma forma matemática chamada "curva de largura constante".

Another shape with this property is the Reuleaux triangle.

Outra forma com esta propriedade é o triângulo de Reuleaux.

To create one, start with an equilateral triangle,

Para criar um, comecem com um triângulo equilátero,

then make one of the vertices the center of a circle that touches the other two.

depois façam de um dos vértices o centro de um círculo que toca nos outros dois.

Draw two more circles in the same way, centered on the other two vertices,

Desenhem mais dois círculos do mesmo modo, com o centro nos outros dois vértices

and there it is, in the space where they all overlap.

e lá está ele, no espaço em que todos se sobrepõem.

Because Reuleaux triangles can rotate between parallel lines

Como os triângulos de Reuleaux podem rodar entre linhas paralelas

without changing their distance,

sem alterar a distância entre elas.

they can work as wheels, provided a little creative engineering.

podem funcionar como rodas, com um pouco de engenharia criativa.

And if you rotate one while rolling its midpoint in a nearly circular path,

E se rodarmos um deles, enquanto o seu ponto central

roda numa trajetória quase circular,

its perimeter traces out a square with rounded corners,

o seu perímetro desenha um quadrado com os cantos arredondados,

allowing triangular drill bits to carve out square holes.

permitindo que brocas triangulares façam furos quadrados.

Any polygon with an odd number of sides

Podemos usar qualquer polígono com um número ímpar de lados

can be used to generate a curve of constant width

para gerar uma curva de largura constante,

using the same method we applied earlier,

usando o mesmo método que aplicámos atrás,

though there are many others that aren't made in this way.

embora haja muitas outras que não são feitas deste modo.

For example, if you roll any curve of constant width around another,

Por exemplo, se rodarmos qualquer curva de largura constante à volta de outra,

you'll make a third one.

obteremos uma terceira.

This collection of pointy curves fascinates mathematicians.

Este conjunto de curvas pontiagudas fascina os matemáticos.

They've given us Barbier's theorem,

Deu-nos o teorema de Barbier,

which says that the perimeter of any curve of constant width,

que diz que o perímetro de qualquer curva de largura constante,

not just a circle, equals pi times the diameter.

— e não apenas do círculo — é igual a π vezes o diâmetro.

Another theorem tells us that if you had a bunch of curves of constant width

Outro teorema diz-nos que, se tivermos um conjunto de curvas de largura constante

with the same width,

com a mesma largura,

they would all have the same perimeter,

terão todas o mesmo perímetro,

but the Reuleaux triangle would have the smallest area.

mas o triângulo de Reuleaux terá a área menor.

The circle, which is effectively a Reuleaux polygon

O círculo que, na realidade,

é um polígono de Reuleaux com um número infinito de lados,

with an infinite number of sides, has the largest.

terá a maior área.

In three dimensions, we can make surfaces of constant width,

Em três dimensões, podemos fazer superfícies de largura constante,

like the Reuleaux tetrahedron,

como o tetraedro de Reuleaux.

formed by taking a tetrahedron,

Forma-se, agarrando num tetraedro,

expanding a sphere from each vertex until it touches the opposite vertices,

expandindo uma esfera a partir de cada vértice

até que toque nos vértices opostos,

and throwing everything away except the region where they overlap.

e deitando fora tudo o que sobra, com exceção da região em que se sobrepõem.

Surfaces of constant width

As superfícies de largura constante

maintain a constant distance between two parallel planes.

mantêm uma distância constante entre dois planos paralelos.

So you could throw a bunch of Reuleaux tetrahedra on the floor,

Por isso, podemos espalhar no chão uma série de tetraedros de Reuleaux

and slide a board across them as smoothly as if they were marbles.

e fazer deslizar uma tábua por cima deles, tão facilmente como se fossem berlindes.

Now back to manhole covers.

Voltemos agora às tampas de visita.

A square manhole cover's short edge

Uma tampa de visita quadrada

could line up with the wider part of the hole and fall right in.

pode ser alinhada pela parte mais larga do buraco e cair lá dentro.

But a curve of constant width won't fall in any orientation.

Mas uma curva de largura constante nunca cairá,

seja qual for a orientação.

Usually they're circular, but keep your eyes open,

Normalmente, são circulares, mas abram bem os olhos

and you just might come across a Reuleaux triangle manhole.

e talvez encontrem uma tampa de visita com a forma do triângulo de Reuleaux.