Does math have a major flaw? - Jacqueline Doan and Alex Kazachek

Translator: Sanntint Tint Reviewer: Kanhaiya Verma

Consider this mathematician,

စံသတ်မှတ်ထားတဲ့ အလွန် ထက်တဲ့ ဓားနဲ့

with her standard-issue infinitely sharp knife and a perfect ball.

ပကတိ ကောင်းမွန်တဲ့ ဘောလုံးတစ်လုံးနဲ့ ဒီသင်္ချာပညာရှင်ကို တွေးကြည့်ပါ။

She frantically slices and distributes the ball into an infinite number of boxes.

သူက ဘောလုံးကို အကန့်အသတ်မဲ့ ဘူးအရေအတွက် အဖြစ် ကသုတ်ကရက် လွှာကာ ဖြန့်ဝေလိုက်တယ်။

She then recombines the parts into five precise sections.

ဒီနောက် အပိုင်းတွေကို တိကျတဲ့ အပိုင်းငါးပိုင်းအဖြစ် ပြန်ပေါင်းလိုက်တယ်။

Gently moving and rotating these sections around,

မဖြစ်နိုင်ပုံရတာက ဒီအပိုင်းတွေ ပတ်လည်မှာ ညင်ညင်သာစွာ

seemingly impossibly, she recombines them to form two identical, flawless,

ရွေ့လျား၊ လည်ပတ်ရင်း၊ မူလ ဘောလုံးရဲ့ ပုံစံတူ၊ ချွတ်ယွင်းချက်မဲ့၊

and complete copies of the original ball.

ပြည့်စုံတဲ့ မူပွားတွေကို ဖွဲ့စည်းဖို့ သူ ပြန်ပေါင်းလိုက်တာပါ။

This is a result known in mathematics as the Banach-Tarski paradox.

ဒါက သင်္ချာမှာ Banach-Tarski ဝိရောဓိလို့ သိကြတဲ့ ရလဒ်တစ်ခုပါ။

The paradox here is not in the logic or the proof—

ဒီနေရာမှာ ဝိရောဓိက ဘောလုံးတွေလို၊ ချွတ်ယွင်းချက်မဲ့

which are, like the balls, flawless—

ယုတ္တိ ဒါမဟုတ် အထောက်အထားမှာ မဟုတ်ဘဲ၊

but instead in the tension between mathematics

တကယ်တော့ သင်္ချာနဲ့ လူတွေရဲ့ အရှိတရား

and our own experience of reality.

အတွေ့အကြုံကြားက အားပြိုင်မှုပါ။

And in this tension lives some beautiful and fundamental truths

ဒီအားပြိုင်မှုမှာ သင်္ချာက တကယ် ဘာဆိုတာနဲ့ပတ်သက်ပြီး လှပပြီး

about what mathematics actually is.

အခြေခံကျတဲ့ အမှန်တရားတချို့ ရှိနေပါတယ်။

We’ll come back to that in a moment, but first,

ဒါအကြောင်း ခဏနေ ပြန်လာမယ်၊ ဒါပေမဲ့၊ ပထမဆုံး၊

we need to examine the foundation of every mathematical system: axioms.

နဂိုမှန်အဆိုတွေဖြစ်တဲ့၊ သင်္ချာစနစ်တိုင်း ရဲ့ အခြေခံကို ဆန်းစစ်ဖို့ လိုပါတယ်။

Every mathematical system is built and advanced

ကောက်ချက်အသစ်တွေ ချနိုင်ဖို့ ယုတ္တိသုံးပြီး

by using logic to reach new conclusions.

သင်္ချာစနစ်တိုင်းကို တည်ဆောက်၊ တိုးမြှင့်ထားတယ်။

But logic can’t be applied to nothing;

ဒါပေမဲ့ ဘာအတွက်မှ ယုတ္တိကို အသုံးမချနိုင်ဘူး။

we have to start with some basic statements, called axioms,

မှန်တယ်လို့ ကြေညာပြီး ဒီကနေ ကောက်ချက်တွေချဖို့

that we declare to be true, and make deductions from there.

နဂိုမှန်အဆိုလို့ခေါ်တဲ့ အခြေခံ အဆိုတချို့နဲ့ အစပြုရမှာပါ။

Often these match our intuition for how the world works—

ဒါတွေက ဥပမာ၊ ကိန်းတစ်လုံးကို သုည ပေါင်းတာက သက်ရောက်မှု မရှိတာက

for instance, that adding zero to a number has no effect is an axiom.

နဂိုမှန်အဆို- လောက လုပ်ဆောင်ပုံအတွက် လူတွေရဲ့ ပင်ကိုအသိနဲ့ ကိုက်ညီလေ့ရှိတယ်။

If the goal of mathematics is to build a house, axioms form its foundation—

သင်္ချာရဲ့ ပန်းတိုင်က အိမ် ဆောက်ဖို့ဆို နဂိုမှန်အဆိုတွေက အုတ်မြစ်ကို ဖွဲ့စည်းတယ်၊

the first thing that’s laid down, that supports everything else.

ဒါက ချမှတ်ထားတဲ့၊ အရာတိုင်းကို ထောက်ပံ့တဲ့ ပထမဆုံးအရာပါ။

Where things get interesting is that by laying a slightly different foundation,

အရာတွေက စိတ်ဝင်စားစရာကောင်းလာတာက နည်းနည်း မတူတဲ့ အုတ်မြစ်ကို ချတာကနေ

you can get a vastly different but equally sound structure.

အလွန် ကွဲပြားပေမဲ့ တူညှပုံရတဲ့ တည်ဆောက်ပုံတစ်ခုကို ရနိုင်တာပါ။

For example, when Euclid laid his foundations for geometry,

ဥပမာ၊ ယူကလိဒ်က ဂျီဩမေထရီအတွက် အုတ်မြစ်တွေကို ချတဲ့အခါ၊

one of his axioms implied that given a line and a point off the line,

သူ့ရဲ့နဂိုမှန်အဆိုတစ်ခုက ပေးမျဉ်းနဲ့ မျဉ်းအပြင်က အမှတ်တစ်ခုက ဒီအမှတ်ကို

only one parallel line exists going through that point.

ဖြတ်ရင်း တည်ရှိတဲ့ တစ်ခုတည်းသော မျဉ်းပြိုင်လို့ သွယ်ဝိုက်ဖော်ပြတယ်။

But later mathematicians,

ဒါပေမဲ့ ဒီနဂိုမှန်အဆိုမပါဘဲ၊

wanting to see if geometry was still possible without this axiom,

ဂျီဩမေထရီ ဖြစ်နိုင်လားဆိုတာ သိချင်တဲ့ နောက်ပိုင်း သင်္ချာပညာရှင်တွေက

produced spherical and hyperbolic geometry.

စက်လုံးနဲ့ ဟိုက်ပါဘိုလစ် ဂျီဩမေထရီ ကို ထုတ်လုပ်ခဲ့ကြတယ်။

Each valid, logically sound, and useful in different contexts.

တစ်ခုစီက ကျိုးကြောင်းဆီလျော် ပုံရပြီး မတူတဲ့ အခြေအနေတွေမှာ အသုံးဝင်တယ်။

One axiom common in modern mathematics is the Axiom of Choice.

မျက်မှောက်ခေတ် သင်္ချာမှာ အတွေ့များတဲ့ နဂိုမှန်အဆိုတစ်ခုက Axiom of Choice ပါ။

It typically comes into play in proofs that require choosing elements from sets—

ဒါက ပုံမှန်အနေနဲ့ ဘူးတွေထဲက ကျောက်ဒိုး တွေကို အလွန် ရိုးရှင်းစေတဲ့ အစုတွေကနေ

which we’ll grossly simplify to marbles in boxes.

ဒြပ်စင်တွေ ရွေးချယ်ရာမှာ လိုအပ်တဲ့ အထောက်အထားတွေမှာ ပါဝင်လာတယ်။

For our choices to be valid, they need to be consistent,

ရွေးချယ်မှုတွေ ခိုင်လုံဖို့အတွက်၊ ဒါတွေက တစ်သမတ်တည်းဖြစ်ဖို့လိုတယ်၊

ဆိုလိုတာက၊ ဘူးတစ်ဘူးကို ချဉ်းကပ်ကာ ကျောက်ဒိုးတစ်လုံးကို ရွေးရင်၊

meaning if we approach a box, choose a marble,

and then go back in time and choose again, we'd know how to find the same marble.

နောက်ပြီး အချိန်မီ ပြန်ပြီး ပြန်ရွေးရင်၊ အလားတူကျောက်ဒိုးကို ရှာနည်းကို သိရမှာပါ။

If we have a finite number of boxes, that’s easy.

အကန့်အသတ်ရှိတဲ့ ဘူးအရေအတွက် ရှိရင်၊ ဒါက လွယ်ပါတယ်။

It’s even straightforward when there are infinite boxes

အခြားဟာတွေကနေ အလွယ်တကူ ခွဲထုတ်နိုင်တဲ့ ကျောက်ဒိုးတစ်လုံးပါတဲ့

if each contains a marble that’s readily distinguishable from the others.

ကန့်အသတ်မဲ့တဲ့ ဘူးတွေတွေရှိတဲ့အခါ၊ ရှင်းတောင်နေပါသေးတယ်။

It’s when there are infinite boxes with indistinguishable marbles

ဒါက အခက်အခဲရှိတဲ့ ခွဲထုတ်မရနိုင်တဲ့ ကျောက်ဒိုးတွေပါတဲ့ အကန့်အသတ်မဲ့

that we have trouble.

ဘူးတွေ ရှိတဲ့အခါပါ။

But in these scenarios,

ဒါပေမဲ့ ဒီအခြေအနေတွေမှာတော့

the Axiom of Choice lets us summon a mysterious omniscient chooser

Axiom of Choice က ဒီရွေးချယ်မှုတွေ လုပ်ပုံအကြောင်း သိစရာမလိုဘဲ တူညီတဲ့

that will always select the same marbles—

ကျောက်ဒိုးကို အမြဲ ရွေးချယ်မယ့်

without us having to know anything about how those choices are made.

လျှို့ဝှက်ဆန်းကြယ်တဲ့ အားလုံးသိတဲ့ ရွေးချယ်သူကို ဆင့်ခေါ်ခွင့်ပေးတယ်။

Our stab-happy mathematician, following Banach and Tarski’s proof,

Banach and Tarski ရဲ့ သက်သေကို လိုက်နာတဲ့ ဖြစ်လိုရာဖြစ် သင်္ချာ ပညာရှင်က

reaches a step in constructing the five sections

သူ့မှာ ခွဲထုတ်မရနိုင်တဲ့ အပိုင်းတွေနဲ့ပြည့်နေတဲ့ အဆုံးမရှိ

where she has infinitely many boxes filled with indistinguishable parts.

များတဲ့ ဘူးတွေရှိတဲ့ အပိုင်း ၅ ပိုင်းကို တည်ဆောက်ရာမှာ အဆင့်တစ်ဆင့်ကို ရောက်လာတယ်။

So she needs the Axiom of Choice to make their construction possible.

ဒါကြောင့် သူဟာ တည်ဆောက်မှု ဖြစ်အောင် လုပ်ဖို့ Axiom of Choice လိုအပ်တယ်။

If the Axiom of Choice can lead to such a counterintuitive result,

Axiom of Choice က ဒီလို အမြီးအမောက်မတည့် တဲ့ ရလဒ်ကို ဖြစ်စေနိုင်ရင်၊

should we just reject it?

ဒါကို ကျွန်တော်တို့ ငြင်းပယ်သင့်လား။

Mathematicians today say no,

ဒါက သင်္ချာမှာ အရေးကြီးတဲ့

because it’s load-bearing for a lot of important results in mathematics.

ရလဒ်များစွာအတွ က်ဝန်ပိစေတာကြောင့် ဒီနေ့ သင်္ချာပညာရှင်တွေက “နိုး”လို့ဆိုတယ်။

Fields like measure theory and functional analysis,

စာရင်းအင်းပညာနဲ့ ရူပဗေဒအတွက် အရေးပါတဲ့ တိုင်းတာမှု သီအိုရီနဲ့

which are crucial for statistics and physics,

လက်တွေ့ကျတဲ့ စိတ်ဖြာမှုလို နယ်ပယ်တွေကို

are built upon the Axiom of Choice.

Axiom of Choice ပေါ်မှာ တည်ဆောက်ထားတာပါ။

While it leads to some impractical results,

ဒါက လက်တွေ့မကျတဲ့ ရလဒ်အချို့ကို ဖြစ်ပေါ်စေပေမဲ့

it also leads to extremely practical ones.

အလွန်အမင်း လက်တွေ့ကျတဲ့ ရလဒ်ဝေတွကိုလည်း ရရှိစေတယ်။

Fortunately, just as Euclidean geometry exists alongside hyperbolic geometry,

ကံကောင်းတာက ယူကလိဒဲန်း ဂျီဩမေထရီက ဟိုက်ပါဘိုလစ် ဂျီဩမေတြီနဲ့ အတူတည်ရှိသလို၊

mathematics with the Axiom of Choice coexists with mathematics without it.

Axiom of Choice ပါတဲ့ သင်္ချာက ၎င်းမပါတဲ့ သင်္ချာနဲ့ အတူရှိနေတာပါ။

The question for many mathematicians isn’t whether the Axiom of Choice,

သင်္ချာပညာရှင်များစွာအတွက် မေးခွန်းက Axiom of Choice ဒါမှမဟုတ်

or for that matter any given axiom, is right or not,

ဒီကိစ္စအတွက် ပေးထားတဲ့ နဂိုမှန်အဆိုတိုင်းက မှန်လား၊ မှားလားဆိုပေမဲ့

but whether it’s right for what you’re trying to do.

သင် ကြိုးစား လုပ်နေတာအတွက် မှန်လားဆိုတာပါ။

The fate of the Banach-Tarski paradox lies in this choice.

Banach-Tarski ဝိရောဓိရဲ့ ကံကြမ္မာက ဒီရွေးချယ်မှုမှာ ရှိနေပါတယ်။

This is the freedom mathematics gives us.

ဒါက သင်္ချာက ကျွန်တော်တို့ကို ပေးတဲ့ လွတ်လပ်မှုပါ။

Not only is it a way to model our physical universe

နေ့စဉ် အတွေ့အကြုံတွေကနေ ကျွန်တော်တို့ အလိုလိုသိတဲ့

using the axioms we intuit from our daily experiences,

နဂိုအဆိုမှန်တွေကို သုံးရင်း၊ရုပ်ပိုင်း စကြဝဠာကို ပုံစံဆွဲဖို့ နည်းလမ်းသာမက၊

but a way to venture into abstract mathematical universes

ယေဘုယျ သင်္ချာ စကြဝဠာတွေအတွင်းကို စွန့်စားပြီး တွေ့ကြုံ နိုင်တာတိုင်းနဲ့

and explore arcane geometries and laws unlike anything we can ever experience.

မတူတဲ့ ဆန်းကြယ်တဲ့ ဂျီဩမေထရီ နဲ့ နိယာမတွေကို စူးစမ်းဖို့ နည်းလမ်းရောပါ။

If we ever meet aliens, axioms which seem absurd and incomprehensible to us

ဂြိုဟ်သားတွေနဲ့ ဆုံရင်၊ လူတွေအတွက် အဓိပ္ပါယ်မဲ့နားမလည်ပုံရတဲ့နဂိုမှန်အဆိုတွေက

might be everyday common sense to them.

သူတို့အတွက်တော့ နေ့စဉ် သာမန်အသိဖြစ်လောက်တယ်။

To investigate, we might start by handing them an infinitely sharp knife

စူစမ်းဖို့ အတိုင်းမသိ ထက်တဲ့ဓားနဲ့ ပြည့်စုံတဲ့ဘောလုံးတစ်လုံး သူတို့ကို ပေးကာ

and a perfect ball,

သူတို့ လုပ်တာကို ကြည့်တာနဲ့

and see what they do.

ကျွန်တော်တို့ အစပြုနိုင်လောက်တယ်။