Does math have a major flaw? - Jacqueline Doan and Alex Kazachek

Çeviri: Ozay Ozaydin Gözden geçirme: Güzide Nisa Nur Saygılı

Consider this mathematician,

Bu matematikçiyi düşünün,

with her standard-issue infinitely sharp knife and a perfect ball.

kullandığı sonsuz keskinlikte bıçağı ve mükemmel bir topu var.

She frantically slices and distributes the ball into an infinite number of boxes.

Topu çılgınca dilimliyor ve sonsuz sayıda kutuya dağıtıyor.

She then recombines the parts into five precise sections.

Daha sonra parçaları beş hassas bölüm halinde yeniden birleştiriyor.

Gently moving and rotating these sections around,

Bu bölümleri yavaşça hareket ettirip döndürerek,

seemingly impossibly, she recombines them to form two identical, flawless,

görünüşe göre imkansız bir şekilde, orijinal topun iki özdeş,

kusursuz ve eksiksiz kopyasını oluşturmak için yeniden birleştirir.

and complete copies of the original ball.

Bu, matematikte Banach-Tarski paradoksu olarak bilinen bir sonuçtur.

This is a result known in mathematics as the Banach-Tarski paradox.

The paradox here is not in the logic or the proof—

Buradaki paradoks, toplar gibi kusursuz olan

which are, like the balls, flawless—

mantık ya da ispatta değil,

but instead in the tension between mathematics

matematik ile kendi gerçeklik deneyimimiz arasındaki gerilimdedir.

and our own experience of reality.

And in this tension lives some beautiful and fundamental truths

Bu gerilimde matematiğin gerçekte ne olduğuna dair

about what mathematics actually is.

bazı güzel ve temel gerçekler yatmaktadır.

We’ll come back to that in a moment, but first,

Bu konuya birazdan döneceğiz ama önce

we need to examine the foundation of every mathematical system: axioms.

her matematiksel sistemin temelini incelememiz gerekiyor: aksiyomlar.

Every mathematical system is built and advanced

Her matematiksel sistem, yeni sonuçlara ulaşmak için

by using logic to reach new conclusions.

mantık kullanılarak inşa edilir ve geliştirilir.

But logic can’t be applied to nothing;

Ancak mantık hiçbir şeye uygulanamaz;

we have to start with some basic statements, called axioms,

doğru olduğunu beyan ettiğimiz aksiyom adı verilen

that we declare to be true, and make deductions from there.

bazı temel ifadelerle başlamamız ve buradan çıkarımlar yapmamız gerekir.

Often these match our intuition for how the world works—

Bunlar genellikle dünyanın nasıl işlediğine dair sezgilerimizle örtüşür

for instance, that adding zero to a number has no effect is an axiom.

- örneğin, bir sayıya sıfır eklemenin hiçbir etkisi olmadığı bir aksiyomdur.

If the goal of mathematics is to build a house, axioms form its foundation—

Matematiğin amacı bir ev inşa etmekse, aksiyomlar onun temelini oluşturur -

the first thing that’s laid down, that supports everything else.

ortaya konan ilk şey, diğer her şeyi destekler.

Where things get interesting is that by laying a slightly different foundation,

İşlerin ilginçleştiği nokta, biraz farklı bir temel atarak,

you can get a vastly different but equally sound structure.

çok farklı ama aynı derecede sağlam bir yapı elde edebilmenizdir.

For example, when Euclid laid his foundations for geometry,

Örneğin, Öklid geometrinin temellerini attığında,

one of his axioms implied that given a line and a point off the line,

aksiyomlarından biri, bir doğru ve bu doğrunun dışında bir nokta verildiğinde,

only one parallel line exists going through that point.

bu noktadan geçen yalnızca bir paralel doğrunun var olduğunu ima ediyordu.

But later mathematicians,

Ancak daha sonraki matematikçiler,

wanting to see if geometry was still possible without this axiom,

geometrinin bu aksiyom olmadan da mümkün olup olmadığını görmek isteyerek

produced spherical and hyperbolic geometry.

küresel ve hiperbolik geometriyi ürettiler.

Each valid, logically sound, and useful in different contexts.

Her biri geçerli, mantıksal olarak sağlam ve farklı bağlamlarda kullanışlıdır.

One axiom common in modern mathematics is the Axiom of Choice.

Modern matematikte yaygın olanlardam biri de Seçim Aksiyomu’dur.

It typically comes into play in proofs that require choosing elements from sets—

Bu aksiyom genellikle kümelerden

eleman seçmeyi gerektiren ispatlarda devreye girer -

which we’ll grossly simplify to marbles in boxes.

ki biz bunu kutulardaki bilyelere indirgeyeceğiz.

For our choices to be valid, they need to be consistent,

Seçimlerimizin geçerli olabilmesi için tutarlı olmaları gerekir;

meaning if we approach a box, choose a marble,

yani bir kutuya yaklaşır, bir bilye seçer

and then go back in time and choose again, we'd know how to find the same marble.

ve sonra zamanda geriye gidip tekrar seçersek,

aynı bilyeyi nasıl bulacağımızı biliriz.

If we have a finite number of boxes, that’s easy.

Eğer elimizde sonlu sayıda kutu varsa, bu kolaydır.

It’s even straightforward when there are infinite boxes

Hatta sonsuz kutu varsa ve her biri diğerlerinden

if each contains a marble that’s readily distinguishable from the others.

kolayca ayırt edilebilen bir bilye içeriyorsa bu bile kolaydır.

It’s when there are infinite boxes with indistinguishable marbles

Ayırt edilemeyen bilyeler içeren sonsuz kutu olduğunda

that we have trouble.

sorun yaşarız.

But in these scenarios,

Ancak bu senaryolarda

the Axiom of Choice lets us summon a mysterious omniscient chooser

Seçim Aksiyomu, her zaman aynı misketleri seçecek

gizemli bir her şeyi bilen seçiciyi çağırmamıza izin verir -

that will always select the same marbles—

bu seçimlerin nasıl yapıldığı hakkında hiçbir şey bilmemize gerek kalmadan.

without us having to know anything about how those choices are made.

Our stab-happy mathematician, following Banach and Tarski’s proof,

Banach ve Tarski’nin ispatını izleyen bıçak meraklısı matematikçimiz,

reaches a step in constructing the five sections

beş bölümün inşasında,

where she has infinitely many boxes filled with indistinguishable parts.

ayırt edilemeyen parçalarla dolu

sonsuz sayıda kutuya sahip olduğu bir aşamaya ulaşır.

So she needs the Axiom of Choice to make their construction possible.

Dolayısıyla bunların inşasını mümkün kılmak için

Seçim Aksiyomuna ihtiyacı vardır.

If the Axiom of Choice can lead to such a counterintuitive result,

Seçim Aksiyomu böylesine mantıksız bir sonuca yol açabiliyorsa,

should we just reject it?

onu reddetmeli miyiz?

Mathematicians today say no,

Günümüz matematikçileri hayır diyor,

because it’s load-bearing for a lot of important results in mathematics.

çünkü matematikteki pek çok önemli sonucun yükünü taşıyor.

Fields like measure theory and functional analysis,

İstatistik ve fizik için çok önemli olan

which are crucial for statistics and physics,

ölçü teorisi ve fonksiyonel analiz gibi alanlar,

are built upon the Axiom of Choice.

Seçim Aksiyomu üzerine inşa edilmiştir.

While it leads to some impractical results,

Bazı pratik olmayan sonuçlara yol açsa da,

it also leads to extremely practical ones.

son derece pratik sonuçlara da yol açar.

Fortunately, just as Euclidean geometry exists alongside hyperbolic geometry,

Neyse ki, tıpkı Öklid geometrisinin

hiperbolik geometriyle birlikte var olması gibi,

mathematics with the Axiom of Choice coexists with mathematics without it.

Seçim Aksiyomu’na sahip olan matematik de

olmayan matematikle birlikte var olmaktadır.

The question for many mathematicians isn’t whether the Axiom of Choice,

Birçok matematikçi için soru, Seçim Aksiyomu’nun

or for that matter any given axiom, is right or not,

ya da herhangi bir aksiyomun doğru olup olmadığı değil,

but whether it’s right for what you’re trying to do.

yapmaya çalıştığınız şey için doğru olup olmadığıdır.

The fate of the Banach-Tarski paradox lies in this choice.

Banach-Tarski paradoksunun kaderi bu seçimde yatmaktadır.

This is the freedom mathematics gives us.

Bu matematiğin bize verdiği özgürlüktür.

Not only is it a way to model our physical universe

Sadece günlük deneyimlerimizden sezdiğimiz aksiyomları kullanarak

fiziksel evrenimizi modellemenin bir yolu değil,

using the axioms we intuit from our daily experiences,

aynı zamanda soyut matematiksel evrenlere girmenin

but a way to venture into abstract mathematical universes

ve şimdiye kadar deneyimleyebileceğimiz

and explore arcane geometries and laws unlike anything we can ever experience.

hiçbir şeye benzemeyen gizli geometrileri ve yasaları keşfetmenin bir yoludur.

If we ever meet aliens, axioms which seem absurd and incomprehensible to us

Eğer uzaylılarla karşılaşırsak, bize saçma ve anlaşılmaz gelen aksiyomlar

might be everyday common sense to them.

onlar için gündelik kavramlar olabilir.

To investigate, we might start by handing them an infinitely sharp knife

Bunu araştırmak için onlara sonsuz keskinlikte bir bıçak

ve mükemmel bir top vererek başlayabilir

and a perfect ball,

ve ne yapacaklarını görebiliriz.

and see what they do.