Does math have a major flaw? - Jacqueline Doan and Alex Kazachek

Translator: Mohammad Badsar Reviewer: Sadegh Vahdati Nia

Consider this mathematician,

این ریاضی‌دان را در نظر بگیرید،

with her standard-issue infinitely sharp knife and a perfect ball.

با یک چاقوی متعارف و بی‌نهایت تیز و یک توپ کامل.

She frantically slices and distributes the ball into an infinite number of boxes.

او دیوانه‌وار توپ را به درون بی‌نهایت جعبه تقسیم و توزیع می‌کند.

She then recombines the parts into five precise sections.

وی سپس قطعات را به پنج بخش مساوی تقسیم می‌کند.

Gently moving and rotating these sections around,

با حرکت ملایم و چرخاندن این بخش‌ها،

seemingly impossibly, she recombines them to form two identical, flawless,

ظاهراً به شکل باورنکردنی آن‌ها را برای تشکیل دو توپ مشابه، بی‌نقص

and complete copies of the original ball.

و کاملاً همسان توپ اولیه تجمیع می‌کند.

This is a result known in mathematics as the Banach-Tarski paradox.

این یک نتیجه شناخته شده تحت عنوان پارادوکس باناخ–تارسکی است.

The paradox here is not in the logic or the proof—

اینجا پارادوکس در منطق یا اثبات نیست -

which are, like the balls, flawless—

از قبیل توپ‌ها، بدون نقص بودن -

but instead in the tension between mathematics

بلکه در تنازع بین ریاضیات

and our own experience of reality.

و تجربه ما از واقعیت است.

And in this tension lives some beautiful and fundamental truths

و در این تنازع حقایقی اساسی و زیبا در مورد

about what mathematics actually is.

اینکه واقعاً ریاضیات چیست وجود دارد.

We’ll come back to that in a moment, but first,

به زودی به این موضوع بر می‌گردیم، اما ابتدا،

we need to examine the foundation of every mathematical system: axioms.

نیاز داریم اساس هر سیستم ریاضیاتی را بررسی کنیم: بدیهیات.

Every mathematical system is built and advanced

هر سیستم ریاضیاتی برای رسیدن به نتایج جدید

by using logic to reach new conclusions.

بر استفاده از منطق بنا شده و گسترش یافته است.

But logic can’t be applied to nothing;

اما منطق نمی‌تواند بر روی هیچ اعمال شود؛

we have to start with some basic statements, called axioms,

نیاز داریم با برخی اصول پایه به نام بدیهیات آغاز کنیم،

that we declare to be true, and make deductions from there.

که بر صحت آن اذعان می‌کنیم و از آنجا استنباط می‌کنیم.

Often these match our intuition for how the world works—

اغلب این بدیهیات بر تصور ما از نحوه عملکرد جهان منطبق است -

for instance, that adding zero to a number has no effect is an axiom.

برای مثال، افزودن صفر به یک عدد هیچ اثری بر آن ندارد یکی از بدیهیات است.

If the goal of mathematics is to build a house, axioms form its foundation—

اگر هدف ریاضیات بنای یک خانه باشد، بدیهیات فونداسیون آن هستند -

the first thing that’s laid down, that supports everything else.

اولین چیزی که در کف اجرا شده و هر چیز دیگر را نگه می‌دارد.

Where things get interesting is that by laying a slightly different foundation,

قضیه آنجا جالب‌تر می‌شود که با تغییر اندکی در فونداسیون،

you can get a vastly different but equally sound structure.

می‌توانید تغییرات بسیار شدید در سازه اما همچنان یک ساختمان سالم تحویل بگیرید.

For example, when Euclid laid his foundations for geometry,

برای مثال، وقتی اقلیدس بنا را بر هندسه گذاشت،

one of his axioms implied that given a line and a point off the line,

یکی از اصول بدیهی وی بیان می‌داشت که در مورد یک خط و یک نقطه خارج از آن،

only one parallel line exists going through that point.

تنها یک خط موازی با خط اولیه می‌توان از آن نقطه رسم کرد.

But later mathematicians,

اما ریاضیدان‌های بعدی،

wanting to see if geometry was still possible without this axiom,

که می‌خواستند ببینند آیا بدون این اصل بدیهی آیا هندسه همچنان ممکن است،

produced spherical and hyperbolic geometry.

هندسه کروی و هذلولی را خلق کردند.

Each valid, logically sound, and useful in different contexts.

هر یک صحیح، به لحاظ منطقی استوار و در زمینه‌های مختلف مفید هستند.

One axiom common in modern mathematics is the Axiom of Choice.

یکی از بدیهیات مرسوم در ریاضیات مدرن اصل موضوع انتخاب است.

It typically comes into play in proofs that require choosing elements from sets—

معمولا در اثبات‌هایی کاربرد دارد که بخواهیم اعضا را از مجموعه‌ها انتخاب کنیم -

which we’ll grossly simplify to marbles in boxes.

که ما برای سادگی از تیله‌های درون جعبه بهره می‌بریم.

For our choices to be valid, they need to be consistent,

برای اینکه انتخاب‌مان درست باشد باید نامتناقض باشد،

meaning if we approach a box, choose a marble,

یعنی اگر به یک جعبه نزدیک شدیم یک تیله را انتخاب می‌کنیم، سپس

and then go back in time and choose again, we'd know how to find the same marble.

در زمان به عقب برگردیم و دوباره انتخاب کنیم می‌دانیم که چطور همان تیله را بیابیم.

If we have a finite number of boxes, that’s easy.

اگر تعداد جعبه‌ها محدود باشد آسان خواهد بود.

It’s even straightforward when there are infinite boxes

حتی اگر تعداد جعبه‌ها بی‌نهایت باشد باز هم آسان است

if each contains a marble that’s readily distinguishable from the others.

اگر هر یک حاوی تیله‌ای باشد که از قبل قابل تمییز است.

It’s when there are infinite boxes with indistinguishable marbles

هنگامی که تعداد جعبه‌ها بی‌نهایت و تیله‌ها غیرقابل تمییز باشند

that we have trouble.

مشکل خواهیم داشت.

But in these scenarios,

اما در این سناریوها،

the Axiom of Choice lets us summon a mysterious omniscient chooser

اصل موضوع انتخاب به ما اجازه می‌دهد که یک انتخابگر اسرارآمیز عالم مطلق را فرض کنیم

that will always select the same marbles—

که همواره همان تیله را انتخاب می‌کند -

without us having to know anything about how those choices are made.

بدون اینکه ما بدانیم چگونه این انتخاب‌ها را انجام می‌دهد.

Our stab-happy mathematician, following Banach and Tarski’s proof,

این ریاضیدان تقسیم‌گر ما، اثبات بناخ-تارسکی را پی می‌گیرد،

reaches a step in constructing the five sections

به مرحله ساخت پنج بخش می‌رسد

where she has infinitely many boxes filled with indistinguishable parts.

که او بسیاری از جعبه‌ها را با بی‌نهایت قطعات غیرقابل تمییز پر کرده است.

So she needs the Axiom of Choice to make their construction possible.

خوب، به اصل موضوع انتخاب نیاز دارد تا این ساختن را ممکن سازد.

If the Axiom of Choice can lead to such a counterintuitive result,

اگر اصل موضوع انتخاب می‌تواند به چنین نتیجه غیرقابل درکی منجر شود،

should we just reject it?

آیا باید آن را رد نماییم؟

Mathematicians today say no,

امروز ریاضیدانان می‌گویند خیر،

because it’s load-bearing for a lot of important results in mathematics.

چون با ثمراتش باعث نتایج مهم بسیار زیادی در ریاضیات شده است.

Fields like measure theory and functional analysis,

زمینه‌هایی مثل نظریه اندازه و آنالیز تابعی،

which are crucial for statistics and physics,

که برای آمار و فیزیک حیاتی هستند،

are built upon the Axiom of Choice.

بر اصل موضوع انتخاب بنا شده‌اند.

While it leads to some impractical results,

با اینکه برخی نتایج غیرکاربردی دارد،

it also leads to extremely practical ones.

اما همچنین به موارد بسیار کاربردی منجر می‌شود.

Fortunately, just as Euclidean geometry exists alongside hyperbolic geometry,

خوشبختانه همان گونه که هندسه اقلیدسی در کنار هندسه هذلولی وجود دارد،

mathematics with the Axiom of Choice coexists with mathematics without it.

ریاضیات با اصل موضوع انتخاب همزمان با ریاضیات بدون آن وجود دارد.

The question for many mathematicians isn’t whether the Axiom of Choice,

سوال بسیاری از ریاضیدانان این نیست که آیا اصل موضوع انتخاب،

or for that matter any given axiom, is right or not,

یا هر اصل بدیهی دیگری درست یا غلط است،

but whether it’s right for what you’re trying to do.

بلکه سوال این است که در کاری که شما انجام می‌دهید درست است یا خیر.

The fate of the Banach-Tarski paradox lies in this choice.

سرنوشت پارادوکس باناخ-تارسکی به این انتخاب ارتباط دارد.

This is the freedom mathematics gives us.

این یک آزادی است که ریاضیات به ما می‌دهد.

Not only is it a way to model our physical universe

نه تنها راهی است برای مدل کردن جهان فیزیکی ما

using the axioms we intuit from our daily experiences,

با استفاده از بدیهیاتی که ما از تجارب روزانه درک می‌کنیم،

but a way to venture into abstract mathematical universes

بلکه راهی است برای غور کردن در جهان انتزاعی و ریاضیاتی

and explore arcane geometries and laws unlike anything we can ever experience.

و کنکاش قوانین و هندسه‌های اسرارآمیز برخلاف هر چیزی که می‌توانیم تجربه کنیم.

If we ever meet aliens, axioms which seem absurd and incomprehensible to us

اگر ما با فضایی‌ها ملاقات کنیم بدیهیاتی که به نظر ما عجیب و غیرقابل فهم است

might be everyday common sense to them.

ممکن است برای آن‌ها از حسیات روزانه و معمول باشد.

To investigate, we might start by handing them an infinitely sharp knife

برای بررسی، ممکن است به آن‌ها یک چاقوی بی‌نهایت تیز

and a perfect ball,

و یک توپ کامل بدهیم،

and see what they do.

و ببینیم چه می‌کنند.