Does math have a major flaw? - Jacqueline Doan and Alex Kazachek

Translator: Diego Rodríguez Vila Reviewer: Mario Cal

Consider this mathematician,

Pensemos nunha matemática

with her standard-issue infinitely sharp knife and a perfect ball.

cun coiteliño infinitamente afiado e cunha esfera perfecta

She frantically slices and distributes the ball into an infinite number of boxes.

que corta e rebanda e que logo distribúe nun número infinito de caixas.

She then recombines the parts into five precise sections.

Despois, volve combinar estas partes en cinco seccións concretas.

Gently moving and rotating these sections around,

Con coidado, vainas movendo e rotando.

seemingly impossibly, she recombines them to form two identical, flawless,

Como por arte de maxia, recombínaas para formar dúas copias idénticas,

and complete copies of the original ball.

perfectas e completas da esfera orixinal.

This is a result known in mathematics as the Banach-Tarski paradox.

Este resultado é coñecido en matemáticas como o paradoxo de Banach-Tarski.

The paradox here is not in the logic or the proof—

Tal paradoxo non está na lóxica ou na demostración,

which are, like the balls, flawless—

que son, como as bólas, perfectas,

but instead in the tension between mathematics

senón na tensión entre as matemáticas

and our own experience of reality.

e a maneira en que nós percibimos a realidade.

And in this tension lives some beautiful and fundamental truths

E nesa tensión habitan verdades fermosas e fundamentais

about what mathematics actually is.

sobre o que son as matemáticas en realidade.

We’ll come back to that in a moment, but first,

Volveremos a isto nun anaquiño, pero antes,

we need to examine the foundation of every mathematical system: axioms.

precisamos afondar na base de todo sistema matemático: os axiomas.

Every mathematical system is built and advanced

Calquera sistema matemático constrúese e eríxese

by using logic to reach new conclusions.

empregando a lóxica para chegar a novas conclusións.

But logic can’t be applied to nothing;

Mais a lóxica non se aplica no baleiro:

we have to start with some basic statements, called axioms,

temos que comezar con afirmacións básicas, denominadas axiomas,

that we declare to be true, and make deductions from there.

que tomamos como verdades e das que deducimos outras.

Often these match our intuition for how the world works—

A miúdo, coinciden coa nosa intuición sobre como funciona o mundo.

for instance, that adding zero to a number has no effect is an axiom.

Por exemplo, “sumar cero a un número non ten efecto” é un axioma.

If the goal of mathematics is to build a house, axioms form its foundation—

Se o fin das matemáticas é construír unha casa, os axiomas son os cimentos:

the first thing that’s laid down, that supports everything else.

o primeiro que se asenta, que serve de alicerce do resto.

Where things get interesting is that by laying a slightly different foundation,

O interesante é que, ao fundar unha base algo diferente,

you can get a vastly different but equally sound structure.

eríxense estruturas enormemente distintas mais igual de sólidas.

For example, when Euclid laid his foundations for geometry,

Por exemplo, cando Euclides sentou as bases da xeometría,

one of his axioms implied that given a line and a point off the line,

un dos seus axiomas declaraba que, dada unha recta e un punto fóra dela,

only one parallel line exists going through that point.

só existía unha recta paralela á primeira que pase por ese punto.

But later mathematicians,

Mais os matemáticos posteriores,

wanting to see if geometry was still possible without this axiom,

que querían ver se a xeometría era posíbel sen este axioma,

produced spherical and hyperbolic geometry.

desenvolveron as xeometrías elíptica e hiperbólica.

Each valid, logically sound, and useful in different contexts.

Ambas válidas, ben fundamentadas e útiles en distintos contextos.

One axiom common in modern mathematics is the Axiom of Choice.

Un axioma común na matemática moderna é o axioma da escolla.

It typically comes into play in proofs that require choosing elements from sets—

Adoita aparecer nas demostracións onde hai que escoller elementos de conxuntos,

which we’ll grossly simplify to marbles in boxes.

que simplificaremos un pouquiño con caixas e boliñas.

For our choices to be valid, they need to be consistent,

Para que as nosas escollas sexan válidas, deben ser consistentes,

meaning if we approach a box, choose a marble,

isto é, se fósemos onda unha caixa, collésemos unha bóla

and then go back in time and choose again, we'd know how to find the same marble.

e viaxásemos ao pasado para volver elixir, saberiamos atopar a mesma bóla.

If we have a finite number of boxes, that’s easy.

Cun número finito de caixas, non ten ciencia ningunha.

It’s even straightforward when there are infinite boxes

Tamén é bastante doado cun número infinito de caixas

if each contains a marble that’s readily distinguishable from the others.

se cada unha contén unha bóla ben distinguíbel do resto.

It’s when there are infinite boxes with indistinguishable marbles

Porén, cando hai infinitas caixas con boliñas indistiguíbeis,

that we have trouble.

chegan os problemas.

But in these scenarios,

Nestas situacións,

the Axiom of Choice lets us summon a mysterious omniscient chooser

o axioma da escolla permítenos invocar un seleccionador misterioso e omnisciente

that will always select the same marbles—

que sempre elixe as mesmas bólas

without us having to know anything about how those choices are made.

sen que nós saibamos nadiña sobre como fai esas eleccións.

Our stab-happy mathematician, following Banach and Tarski’s proof,

A nosa afiada matemática, seguindo a proba de Banach e Tarski,

reaches a step in constructing the five sections

chega a un paso na construción das cinco seccións

where she has infinitely many boxes filled with indistinguishable parts.

no que ten infinitas caixas cheas de partes indistinguíbeis.

So she needs the Axiom of Choice to make their construction possible.

Daquela, precisa do axioma da escolla para que a súa construción sexa posíbel.

If the Axiom of Choice can lead to such a counterintuitive result,

Se o axioma da escolla conduce a un resultado tan contrario á lóxica,

should we just reject it?

non deberiamos rexeitalo de cheo?

Mathematicians today say no,

Os matemáticos hoxe din que non,

because it’s load-bearing for a lot of important results in mathematics.

xa que nel se apoian moitos resultados importantes das matemáticas.

Fields like measure theory and functional analysis,

Algúns campos como a teoría da medida e a análise funcional,

which are crucial for statistics and physics,

que son cruciais para a estatística e a física,

are built upon the Axiom of Choice.

érguense sobre o axioma da escolla.

While it leads to some impractical results,

Malia que conduce a resultados pouco prácticos,

it also leads to extremely practical ones.

tamén leva a outros extremadamente prácticos.

Fortunately, just as Euclidean geometry exists alongside hyperbolic geometry,

Daquela, igual que a xeometría euclidiana existe canda a xeometría hiperbólica,

mathematics with the Axiom of Choice coexists with mathematics without it.

as matemáticas co axioma da escolla coexisten coas matemáticas sen el.

The question for many mathematicians isn’t whether the Axiom of Choice,

A cuestión para moitos matemáticos non é se o axioma da escolla,

or for that matter any given axiom, is right or not,

ou, de feito, calquera outro, é verdadeiro ou non,

but whether it’s right for what you’re trying to do.

senón se é válido para o que tratas de facer.

The fate of the Banach-Tarski paradox lies in this choice.

O destino do paradoxo de Banach-Tarski xace nesa escolla.

This is the freedom mathematics gives us.

Esta é a liberdade que nos dan as matemáticas.

Not only is it a way to model our physical universe

Non só é unha maneira de modelar o noso universo físico

using the axioms we intuit from our daily experiences,

empregando os axiomas que intuímos na nosa experiencia cotiá,

but a way to venture into abstract mathematical universes

tamén é un xeito de mergullarse en universos matemáticos abstractos

and explore arcane geometries and laws unlike anything we can ever experience.

e explorar xeometrías arcanas e leis distintas de calquera experiencia posíbel.

If we ever meet aliens, axioms which seem absurd and incomprehensible to us

Se topásemos con extraterrestres, os axiomas máis absurdos e tolos para nós

might be everyday common sense to them.

pode que sexan de sentido común para eles.

To investigate, we might start by handing them an infinitely sharp knife

Para investigalo, poderiamos comezar dándolles un coitelo infinitamente afiado

and a perfect ball,

e unha esfera perfecta

and see what they do.

e ver como fan.