Does math have a major flaw? - Jacqueline Doan and Alex Kazachek

المترجم: Hani Eldalees المدقّق: Shimaa Nabil

Consider this mathematician,

تأمل عالمة الرياضيات هذه،

with her standard-issue infinitely sharp knife and a perfect ball.

بسكينها القياسي الحاد للغاية والكرة المثالية.

She frantically slices and distributes the ball into an infinite number of boxes.

تقوم بتقطيع الكرة وتوزيعها بشكل محموم في عدد لا حصر له من الصناديق.

She then recombines the parts into five precise sections.

ثم تقوم بإعادة تجميع الأجزاء في خمسة أقسام دقيقة.

Gently moving and rotating these sections around,

تقوم بتحريك هذه الأقسام وتدويرها بلطف،

seemingly impossibly, she recombines them to form two identical, flawless,

على ما يبدو مستحيلًا، وتعيد تجميعها لتشكيل نسختين متطابقتين وخالية من العيوب

and complete copies of the original ball.

وكاملة من الكرة الأصلية.

This is a result known in mathematics as the Banach-Tarski paradox.

هذه نتيجة معروفة في الرياضيات باسم مفارقة Banach-Tarski.

The paradox here is not in the logic or the proof—

المفارقة هنا ليست في المنطق أو الإثبات -

which are, like the balls, flawless—

وهما، مثل الكرات، لا تشوبه شائبة -

but instead in the tension between mathematics

ولكن بدلاً من ذلك في التوتر بين الرياضيات

and our own experience of reality.

وتجربتنا الخاصة للواقع.

And in this tension lives some beautiful and fundamental truths

وفي هذا التوتر تعيش بعض الحقائق الجميلة والأساسية

about what mathematics actually is.

حول ماهية الرياضيات في الواقع.

We’ll come back to that in a moment, but first,

سنعود إلى ذلك بعد قليل، لكن أولاً،

we need to examine the foundation of every mathematical system: axioms.

نحتاج إلى فحص أساس كل نظام رياضي: البديهيات.

Every mathematical system is built and advanced

يتم بناء كل نظام رياضي وتطويره

by using logic to reach new conclusions.

باستخدام المنطق للوصول إلى استنتاجات جديدة.

But logic can’t be applied to nothing;

لكن المنطق لا يمكن تطبيقه على أي شيء.

we have to start with some basic statements, called axioms,

علينا أن نبدأ ببعض العبارات الأساسية، التي تسمى البديهيات،

that we declare to be true, and make deductions from there.

والتي نعلن أنها صحيحة، ونقوم باستنباط استنتاجات من هناك.

Often these match our intuition for how the world works—

غالبًا ما تتطابق هذه الأشياء مع حدسنا لكيفية عمل العالم -

for instance, that adding zero to a number has no effect is an axiom.

على سبيل المثال، أن إضافة صفر إلى رقم ليس له أي تأثير هو أمر بديهي.

If the goal of mathematics is to build a house, axioms form its foundation—

إذا كان هدف الرياضيات هو بناء منزل، فإن البديهيات تشكل أساسها -

the first thing that’s laid down, that supports everything else.

أول شيء يتم وضعه، يدعم كل شيء آخر.

Where things get interesting is that by laying a slightly different foundation,

عندما تصبح الأمور مثيرة للاهتمام هو أنه من خلال وضع أساس مختلف قليلاً،

you can get a vastly different but equally sound structure.

يمكنك الحصول على بنية مختلفة تمامًا ولكنها سليمة بنفس القدر.

For example, when Euclid laid his foundations for geometry,

على سبيل المثال، عندما وضع إقليدس أسسه للهندسة،

one of his axioms implied that given a line and a point off the line,

أشارت إحدى بديهياته إلى أنه بالنظر إلى وجود خط ونقطة خارج الخط،

only one parallel line exists going through that point.

لا يوجد سوى خط متوازي واحد يمر عبر تلك النقطة.

But later mathematicians,

لكن علماء الرياضيات في وقت لاحق

wanting to see if geometry was still possible without this axiom,

الذين أرادوا معرفة ما إذا كانت الهندسة لا تزال ممكنة بدون هذه البديهية،

produced spherical and hyperbolic geometry.

أنتجوا هندسة كروية وزائدية.

Each valid, logically sound, and useful in different contexts.

كل منها صالح وسليم منطقيًا ومفيد في سياقات مختلفة.

One axiom common in modern mathematics is the Axiom of Choice.

إحدى البديهيات الشائعة في الرياضيات الحديثة هي أكسيوم الاختيار.

It typically comes into play in proofs that require choosing elements from sets—

عادةً ما يتم تشغيله في البراهين التي تتطلب اختيار عناصر من المجموعات -

which we’ll grossly simplify to marbles in boxes.

والتي سنقوم بتبسيطها بشكل كبير إلى الرخام في الصناديق.

For our choices to be valid, they need to be consistent,

لكي تكون اختياراتنا صحيحة، يجب أن تكون متسقة،

meaning if we approach a box, choose a marble,

بمعنى أننا إذا اقتربنا من صندوق، واخترنا قطعة رخامية،

and then go back in time and choose again, we'd know how to find the same marble.

ثم عدنا بالزمن إلى الوراء واخترنا مرة أخرى، فسنعرف كيفية العثور على نفس الرخام.

If we have a finite number of boxes, that’s easy.

إذا كان لدينا عدد محدود من الصناديق، فهذا أمر سهل.

It’s even straightforward when there are infinite boxes

يكون الأمر بسيطًا جدًا عندما تكون هناك صناديق لا حصر لها

if each contains a marble that’s readily distinguishable from the others.

إذا كان كل منها يحتوي على رخام يمكن تمييزه بسهولة عن الصناديق الأخرى.

It’s when there are infinite boxes with indistinguishable marbles

عندما تكون هناك صناديق لا حصر لها من الرخام الذي لا يمكن تمييزه،

that we have trouble.

فإننا نواجه مشكلة.

But in these scenarios,

ولكن في هذه السيناريوهات،

the Axiom of Choice lets us summon a mysterious omniscient chooser

تتيح لنا أكسيوم الاختيار استدعاء منتقي غامض كلي

that will always select the same marbles—

العلم سيختار دائمًا نفس الرخام -

without us having to know anything about how those choices are made.

دون الحاجة إلى معرفة أي شيء عن كيفية اتخاذ هذه الخيارات.

Our stab-happy mathematician, following Banach and Tarski’s proof,

وصلت عالمة الرياضيات السعيدة بالطعنات، باتباع دليل باناخ وتارسكي،

reaches a step in constructing the five sections

إلى خطوة في بناء الأقسام الخمسة

where she has infinitely many boxes filled with indistinguishable parts.

حيث لديها عدد لا نهائي من الصناديق المليئة بأجزاء لا يمكن تمييزها.

So she needs the Axiom of Choice to make their construction possible.

لذا فهي بحاجة إلى أكسيوم الاختيار لجعل بنائها ممكنًا.

If the Axiom of Choice can lead to such a counterintuitive result,

إذا كانت بديهية الاختيار يمكن أن تؤدي إلى مثل هذه النتيجة غير البديهية،

should we just reject it?

فهل يجب أن نرفضها؟

Mathematicians today say no,

يقول علماء الرياضيات اليوم لا،

because it’s load-bearing for a lot of important results in mathematics.

لأنها تحمل الكثير من النتائج المهمة في الرياضيات.

Fields like measure theory and functional analysis,

تعتمد مجالات مثل نظرية القياس والتحليل الوظيفي،

which are crucial for statistics and physics,

والتي تعتبر بالغة الأهمية للإحصاء والفيزياء،

are built upon the Axiom of Choice.

على بديهية الاختيار.

While it leads to some impractical results,

في حين أنه يؤدي إلى بعض النتائج غير العملية،

it also leads to extremely practical ones.

إلا أنه يؤدي أيضًا إلى نتائج عملية للغاية.

Fortunately, just as Euclidean geometry exists alongside hyperbolic geometry,

لحسن الحظ، مثلما توجد الهندسة الإقليدية جنبًا إلى جنب مع الهندسة الزائدية،

mathematics with the Axiom of Choice coexists with mathematics without it.

تتواجد الرياضيات مع بديهية الاختيار مع الرياضيات بدونها.

The question for many mathematicians isn’t whether the Axiom of Choice,

السؤال بالنسبة للعديد من علماء الرياضيات ليس ما إذا كانت أكسيوم الاختيار،

or for that matter any given axiom, is right or not,

أو أي بديهية معينة، صحيحة أم لا،

but whether it’s right for what you’re trying to do.

ولكن ما إذا كانت مناسبة لما تحاول القيام به.

The fate of the Banach-Tarski paradox lies in this choice.

يكمن مصير مفارقة باناخ-تارسكي في هذا الاختيار.

This is the freedom mathematics gives us.

هذه هي الحرية التي تمنحها لنا الرياضيات.

Not only is it a way to model our physical universe

إنها ليست فقط طريقة لنمذجة عالمنا المادي

using the axioms we intuit from our daily experiences,

باستخدام البديهيات التي نستنتجها من تجاربنا اليومية،

but a way to venture into abstract mathematical universes

ولكنها طريقة للمغامرة في عوالم رياضية مجردة

and explore arcane geometries and laws unlike anything we can ever experience.

واستكشاف أشكال هندسية وقوانين غامضة لا تشبه أي شيء يمكن أن نختبره على الإطلاق.

If we ever meet aliens, axioms which seem absurd and incomprehensible to us

إذا التقينا بالأجانب، فإن البديهيات التي تبدو سخيفة وغير مفهومة بالنسبة لنا

might be everyday common sense to them.

قد تكون الفطرة السليمة اليومية لهم.

To investigate, we might start by handing them an infinitely sharp knife

للتحقيق، قد نبدأ بتسليمهم سكينًا حادًا للغاية

and a perfect ball,

وكرة مثالية،

and see what they do.

ونرى ما يفعلونه.