Does math have a major flaw? - Jacqueline Doan and Alex Kazachek

Fordító: Reka Lorinczy Lektor: Peter Pallos

Consider this mathematician,

Legyen egy matematikusunk,

with her standard-issue infinitely sharp knife and a perfect ball.

akinek szabványos végtelenül éles kése és tökéletes gömbje van.

She frantically slices and distributes the ball into an infinite number of boxes.

Dühödten szeleteli, és végtelen számú dobozba osztja el a gömböt.

She then recombines the parts into five precise sections.

Ezután öt pontos részre újrakombinálja az összetevőket.

Gently moving and rotating these sections around,

Finoman mozgatja és forgatja a darabokat,

seemingly impossibly, she recombines them to form two identical, flawless,

és bár látszólag lehetetlen, de újrakombinálja őket,

és az eredetivel tökéletesen azonos két hibátlan másolatot készíti belőlük.

and complete copies of the original ball.

This is a result known in mathematics as the Banach-Tarski paradox.

Ezt az eredményt a matematikában Banach–Tarski paradoxonnak hívjuk.

The paradox here is not in the logic or the proof—

A paradoxon itt nem a logikában vagy a bizonyításban rejlik,

which are, like the balls, flawless—

amelyek – mint a gömbök – hibátlanok,

but instead in the tension between mathematics

hanem a matematika és a valóság közti tapasztalatunk feszültsége okozza.

and our own experience of reality.

And in this tension lives some beautiful and fundamental truths

Ebben a feszültségben néhány szép és alapvető igazság él arról,

about what mathematics actually is.

hogy mi a matematika.

We’ll come back to that in a moment, but first,

Mindjárt visszatérünk ehhez,

we need to examine the foundation of every mathematical system: axioms.

de először megvizsgáljuk minden matematikarendszer alapját: az axiómákat.

Every mathematical system is built and advanced

Minden matematikai rendszert logikai alapon építenek fel és fejlesztenek,

by using logic to reach new conclusions.

belőlük vonnak le új következtetéseket.

But logic can’t be applied to nothing;

De a logikát nem lehet a semmire alapozni.

we have to start with some basic statements, called axioms,

Alapállításokat, ún. axiómákat kell elfogadni,

that we declare to be true, and make deductions from there.

amelyeket igaznak nyilvánítunk, és belőlük vonunk le következtetéseket.

Often these match our intuition for how the world works—

Ezek gyakran egybeesnek a világ működésével kapcsolatos megérzéseinkkel –

for instance, that adding zero to a number has no effect is an axiom.

pl. a nulla hozzáadása egy számhoz nem változtat rajta, ez axióma.

If the goal of mathematics is to build a house, axioms form its foundation—

Ha a matematika célja ház építése, akkor az axiómák alkotják az alapját:

the first thing that’s laid down, that supports everything else.

azokat kell legelőször lefektetnünk, minden más rajtuk alapszik.

Where things get interesting is that by laying a slightly different foundation,

Érdekes, hogy egy kissé más alapon

you can get a vastly different but equally sound structure.

nagyon eltérő, de ugyanolyan hibátlan szerkezetet kaphatunk.

For example, when Euclid laid his foundations for geometry,

Pl. amikor Euklidész megalapozta a geometriáját,

one of his axioms implied that given a line and a point off the line,

egyik axiómája kijelentette: egy egyeneshez egy külső ponton át

only one parallel line exists going through that point.

egyetlen párhuzamos húzható.

But later mathematicians,

De a későbbi matematikusok,

wanting to see if geometry was still possible without this axiom,

akik kíváncsiak voltak, hogy a geometria lehetséges-e ezen axióma nélkül,

produced spherical and hyperbolic geometry.

gömb- és hiperbolikus geometriát hoztak létre.

Each valid, logically sound, and useful in different contexts.

Mindegyik érvényes, logikusan megalapozott és hasznos különböző összefüggésekben.

One axiom common in modern mathematics is the Axiom of Choice.

A modern matematikában gyakori axióma a kiválasztási axióma.

It typically comes into play in proofs that require choosing elements from sets—

Olyan bizonyításokban használják, ahol halmazokból elemeket választanak ki,

which we’ll grossly simplify to marbles in boxes.

amelyet nagymértékben leegyszerűsítünk a dobozokban lévő golyókra.

For our choices to be valid, they need to be consistent,

Ahhoz, hogy a választásaink érvényesek legyenek, következetesnek kell lenniük,

meaning if we approach a box, choose a marble,

vagyis ha adott dobozból egy golyót választunk ki,

and then go back in time and choose again, we'd know how to find the same marble.

majd idővel visszatérünk, és újra választunk,

tudni fogjuk, hogyan találjuk meg ugyanazt a golyót.

If we have a finite number of boxes, that’s easy.

Ha véges számú dobozunk van, ez egyszerű.

It’s even straightforward when there are infinite boxes

Még akkor is egyszerű, ha végtelen sok dobozunk van,

if each contains a marble that’s readily distinguishable from the others.

de mindegyik tartalmaz a többitől könnyen megkülönböztethető golyót.

It’s when there are infinite boxes with indistinguishable marbles

Amikor végtelen sok dobozunk van megkülönböztethetetlen golyókkal,

that we have trouble.

akkor bajban vagyunk.

But in these scenarios,

De ezekben a forgatókönyvekben a kiválasztási axióma lehetővé teszi,

the Axiom of Choice lets us summon a mysterious omniscient chooser

hogy kiválasszunk egy titokzatos, mindentudó választót,

that will always select the same marbles—

aki mindig ugyanazokat a golyókat választja ki,

without us having to know anything about how those choices are made.

anélkül hogy bármit tudnunk kéne arról, hogyan hozza meg a döntéseit.

Our stab-happy mathematician, following Banach and Tarski’s proof,

Banach és Tarski bizonyítása nyomán késes matematikusunk

reaches a step in constructing the five sections

az öt szakasz felépítésében odáig jut,

where she has infinitely many boxes filled with indistinguishable parts.

hogy végtelenül sok doboza van, tele megkülönböztethetetlen részekkel.

So she needs the Axiom of Choice to make their construction possible.

Azért kell a kiválasztási axióma, hogy megépíthetők legyenek a gömbök.

If the Axiom of Choice can lead to such a counterintuitive result,

Ha a kiválasztási axióma ilyen ellentmondásos eredményhez vezethet,

should we just reject it?

akkor el kell-e utasítanunk?

Mathematicians today say no,

A matematikusok szerint nem,

because it’s load-bearing for a lot of important results in mathematics.

mert ez sok fontos matematikai eredmény szilárd alapja.

Fields like measure theory and functional analysis,

A méréselmélet és a funkcionálanalízisé,

which are crucial for statistics and physics,

amelyek kulcsfontosságúak a statisztikában és a fizikában,

are built upon the Axiom of Choice.

a kiválasztási axiómára épülnek.

While it leads to some impractical results,

Bár ez néhány nem gyakorlatias eredményre vezet,

it also leads to extremely practical ones.

de rendkívül gyakorlatiasokra is.

Fortunately, just as Euclidean geometry exists alongside hyperbolic geometry,

Szerencsére, ahogyan az euklideszi mellett a hiperbolikus geometria is létezik,

mathematics with the Axiom of Choice coexists with mathematics without it.

a matematika a kiválasztási axiómával és anélkül is létezik.

The question for many mathematicians isn’t whether the Axiom of Choice,

Sok matematikusnak nem az a kérdés, hogy a kiválasztási axióma,

or for that matter any given axiom, is right or not,

vagy esetünkben bármely adott axióma helyes-e vagy sem,

but whether it’s right for what you’re trying to do.

hanem hogy alkalmas-e arra, amit meg kívánunk tenni.

The fate of the Banach-Tarski paradox lies in this choice.

A Banach–Tarski paradoxon sorsa ebben a választásban rejlik.

This is the freedom mathematics gives us.

Ezt a szabadságot kínálja a matematika.

Not only is it a way to model our physical universe

Nemcsak a fizikai univerzumunkat modellezzük

using the axioms we intuit from our daily experiences,

a mindennapi tapasztalatainkból ösztönös axiómák felhasználásával,

but a way to venture into abstract mathematical universes

hanem módszer is, hogy elvont matematikai univerzumokba merüljünk,

and explore arcane geometries and laws unlike anything we can ever experience.

és semmihez sem hasonlítható, sosem tapasztalható rejtélyes geometriákat

és törvényeket fedezzünk fel.

If we ever meet aliens, axioms which seem absurd and incomprehensible to us

Ha valaha is találkozunk idegen lényekkel,

a nekünk abszurd és érthetetlen axiómák

might be everyday common sense to them.

nekik köznapi józan észérvek lehetnek.

To investigate, we might start by handing them an infinitely sharp knife

Kezdhetnénk azzal, hogy borotvaéles kést

és egy tökéletes gömböt adunk nekik,

and a perfect ball,

and see what they do.

és megnézzük, mit kezdenek velük.