Does math have a major flaw? - Jacqueline Doan and Alex Kazachek

Tradutor: Margarida Ferreira Revisora: Nadia Tira

Consider this mathematician,

Considerem esta especialista em matemática,

with her standard-issue infinitely sharp knife and a perfect ball.

com uma faca padrão infinitamente afiada e uma bola perfeita.

She frantically slices and distributes the ball into an infinite number of boxes.

Ela corta freneticamente a bola em fatias e enfia-as num número infinito de caixas.

She then recombines the parts into five precise sections.

Em seguida, recombina as partes em cinco secções precisas.

Gently moving and rotating these sections around,

Movendo e girando suavemente essas secções,

seemingly impossibly, she recombines them to form two identical, flawless,

embora pareça impossível, ela recombina-as

formando duas cópias idênticas, perfeitas e completas da bola original.

and complete copies of the original ball.

Este resultado é conhecido em matemática como o paradoxo de Banach-Tarski.

This is a result known in mathematics as the Banach-Tarski paradox.

The paradox here is not in the logic or the proof—

O paradoxo aqui não está na lógica ou na prova

which are, like the balls, flawless—

— que, tal como as bolas, são impecáveis —

but instead in the tension between mathematics

mas sim na tensão entre a matemática e a nossa experiência da realidade.

and our own experience of reality.

And in this tension lives some beautiful and fundamental truths

Nesta tensão vivem algumas verdades belas e fundamentais

about what mathematics actually is.

sobre o que é realmente a matemática.

We’ll come back to that in a moment, but first,

Voltaremos a isso daqui a pouco,

we need to examine the foundation of every mathematical system: axioms.

mas primeiro, precisamos de examinar

os fundamentos de todos os sistemas matemáticos: os axiomas.

Todos os sistemas matemáticos são construídos e avançados

Every mathematical system is built and advanced

by using logic to reach new conclusions.

usando a lógica para chegar a novas conclusões.

But logic can’t be applied to nothing;

Mas a lógica não pode ser aplicada a nada;

we have to start with some basic statements, called axioms,

temos de começar com algumas afirmações básicas, os axiomas,

that we declare to be true, and make deductions from there.

que declaramos ser verdadeiras, e fazer deduções a partir daí.

Often these match our intuition for how the world works—

Muitas vezes estes correspondem à nossa intuição de como o mundo funciona.

for instance, that adding zero to a number has no effect is an axiom.

Por exemplo, “adicionar zero a um número não tem efeito” é um axioma.

If the goal of mathematics is to build a house, axioms form its foundation—

Se o objetivo da matemática fosse construir uma casa,

os axiomas seriam os alicerces,

the first thing that’s laid down, that supports everything else.

a primeira coisa a definir, que sustenta todo o resto.

Where things get interesting is that by laying a slightly different foundation,

Onde as coisas ficam interessantes é que,

ao estabelecer uma base ligeiramente diferente,

you can get a vastly different but equally sound structure.

podemos obter uma estrutura muito diferente mas igualmente sólida.

For example, when Euclid laid his foundations for geometry,

Por exemplo, quando Euclides lançou as suas bases para a geometria,

one of his axioms implied that given a line and a point off the line,

um dos seus axiomas implicava que, dada uma reta e um ponto fora da linha,

only one parallel line exists going through that point.

só existia uma linha paralela que passasse por esse ponto.

But later mathematicians,

Mas os matemáticos posteriores,

wanting to see if geometry was still possible without this axiom,

querendo ver se a geometria seria possível sem este axioma,

produced spherical and hyperbolic geometry.

produziram geometria esférica e hiperbólica.

Each valid, logically sound, and useful in different contexts.

Ambos eram válidos, logicamente sólidos e úteis em diferentes contextos.

One axiom common in modern mathematics is the Axiom of Choice.

Um axioma comum na matemática moderna é o Axioma da Escolha.

It typically comes into play in proofs that require choosing elements from sets—

Normalmente entra em jogo

em provas que exigem a escolha de elementos de conjuntos

which we’ll grossly simplify to marbles in boxes.

que vamos simplificar grosseiramente como berlindes dentro de caixas.

For our choices to be valid, they need to be consistent,

Para as nossas escolhas serem válidas, têm de ser consistentes,

ou seja, se nos aproximarmos de uma caixa e escolhermos um berlinde,

meaning if we approach a box, choose a marble,

and then go back in time and choose again, we'd know how to find the same marble.

e depois recuarmos no tempo e escolhermos de novo,

saberíamos como encontrar o mesmo berlinde.

If we have a finite number of boxes, that’s easy.

Se tivermos um número finito de caixas, é fácil.

It’s even straightforward when there are infinite boxes

Até é simples quando existem caixas infinitas,

if each contains a marble that’s readily distinguishable from the others.

se cada uma delas contiver um berlinde facilmente distinguível dos outros.

It’s when there are infinite boxes with indistinguishable marbles

É quando temos infinitas caixas com berlindes indistinguíveis

that we have trouble.

que temos problemas.

But in these scenarios,

Mas nestes cenários,

the Axiom of Choice lets us summon a mysterious omniscient chooser

o Axioma da Escolha permite-nos invocar um misterioso seletor omnisciente

that will always select the same marbles—

que selecionará sempre os mesmos berlindes

without us having to know anything about how those choices are made.

sem termos de saber qual a forma como essas escolhas são feitas.

Our stab-happy mathematician, following Banach and Tarski’s proof,

A nossa feliz especialista em matemática, seguindo a prova de Banach e Tarski,

reaches a step in constructing the five sections

atinge uma etapa na construção das cinco secções

where she has infinitely many boxes filled with indistinguishable parts.

em que tem infinitas caixas cheias de partes indistinguíveis.

So she needs the Axiom of Choice to make their construction possible.

Assim, ela precisa do Axioma da Escolha para tornar possível a sua construção.

If the Axiom of Choice can lead to such a counterintuitive result,

Se o Axioma da Escolha pode levar a um resultado tão contra-intuitivo,

should we just reject it?

devíamos simplesmente rejeitá-lo?

Mathematicians today say no,

Os matemáticos de hoje dizem que não,

because it’s load-bearing for a lot of important results in mathematics.

porque esse axioma serve de suporte

para muitos resultados importantes em matemática.

Fields like measure theory and functional analysis,

Campos como a teoria da medida e a análise funcional,

which are crucial for statistics and physics,

que são fundamentais para a Estatística e para a Física,

are built upon the Axiom of Choice.

são construídos sobre o Axioma da Escolha.

While it leads to some impractical results,

Embora leve a alguns resultados impraticáveis,

it also leads to extremely practical ones.

também leva a resultados extremamente práticos.

Fortunately, just as Euclidean geometry exists alongside hyperbolic geometry,

Felizmente, tal como a geometria euclidiana

existe ao lado da geometria hiperbólica,

mathematics with the Axiom of Choice coexists with mathematics without it.

a matemática com o Axioma da Escolha coexiste com a matemática sem ele.

The question for many mathematicians isn’t whether the Axiom of Choice,

Para muitos matemáticos a questão não é

se o Axioma da Escolha, ou qualquer outro axioma,

or for that matter any given axiom, is right or not,

está certo ou não,

but whether it’s right for what you’re trying to do.

é se está certo para o que estamos a tentar fazer.

The fate of the Banach-Tarski paradox lies in this choice.

O destino do paradoxo Banach-Tarski reside nesta escolha.

This is the freedom mathematics gives us.

É esta a liberdade que a matemática nos dá.

Not only is it a way to model our physical universe

Não é apenas uma maneira de modelar o nosso universo físico

using the axioms we intuit from our daily experiences,

usando os axiomas que intuímos das nossas experiências diárias,

but a way to venture into abstract mathematical universes

é sobretudo uma maneira de nos aventurarmos

em universos matemáticos abstratos

and explore arcane geometries and laws unlike anything we can ever experience.

e explorarmos geometrias e leis misteriosas,

diferentes de tudo aquilo que podemos experimentar.

If we ever meet aliens, axioms which seem absurd and incomprehensible to us

Se alguma vez encontrarmos alienígenas,

os axiomas que nos parecem absurdos e incompreensíveis

might be everyday common sense to them.

talvez sejam senso comum quotidiano para eles.

To investigate, we might start by handing them an infinitely sharp knife

Para investigar, podemos começar por entregar-lhes

uma faca infinitamente afiada e uma bola perfeita,

and a perfect ball,

and see what they do.

e ver o que é que eles fazem.