Does math have a major flaw? - Jacqueline Doan and Alex Kazachek

Переводчик: Natalia Savvidi Редактор: Rostislav Golod

Consider this mathematician,

Представьте, что перед вами математик

with her standard-issue infinitely sharp knife and a perfect ball.

и у неё в руках обычный острый нож и идеально ровный шар.

She frantically slices and distributes the ball into an infinite number of boxes.

Умело орудуя ножом, она разрезает шар на куски

и распределяет их по бесконечному количеству коробок.

She then recombines the parts into five precise sections.

То, что получилось, она складывает в пять групп.

Gently moving and rotating these sections around,

Осторожно перемещая и вращая эти группы,

seemingly impossibly, she recombines them to form two identical, flawless,

она получает в результате нечто кажущееся неправдоподобным —

две идеальные копии, полностью идентичные первоначальному шару.

and complete copies of the original ball.

This is a result known in mathematics as the Banach-Tarski paradox.

Этот результат известен в математике как парадокс Банаха-Тарского.

The paradox here is not in the logic or the proof—

Этот парадокс заключается не в логике или доказательствах,

which are, like the balls, flawless—

которые, как и сами шары, безупречны,

but instead in the tension between mathematics

а в противоречии между математикой

and our own experience of reality.

и нашим собственным восприятием реальности.

And in this tension lives some beautiful and fundamental truths

И в этом противоречии скрываются стройные и фундаментальные истины

about what mathematics actually is.

о том, что представляет собой математика на самом деле.

We’ll come back to that in a moment, but first,

Мы ещё вернёмся к этому,

но сначала нам нужно изучить основу всех математических систем — аксиомы.

we need to examine the foundation of every mathematical system: axioms.

Every mathematical system is built and advanced

Каждая математическая система строится и развивается

by using logic to reach new conclusions.

с помощью логики, позволяющей делать новые выводы.

But logic can’t be applied to nothing;

Но логику нельзя применять на пустом месте;

мы должны начать с некоторых базисных утверждений,

we have to start with some basic statements, called axioms,

называемых аксиомами, которые мы объявляем истинными,

that we declare to be true, and make deductions from there.

и строить из них умозаключения.

Often these match our intuition for how the world works—

Часто они совпадают с нашим интуитивным представлением о том, как устроен мир.

for instance, that adding zero to a number has no effect is an axiom.

Например, что добавление нуля к числу не меняет его — это аксиома.

If the goal of mathematics is to build a house, axioms form its foundation—

Если цель математики — построить дом, то в её основе лежат аксиомы —

the first thing that’s laid down, that supports everything else.

это первое, что закладывается и поддерживает всё остальное.

Where things get interesting is that by laying a slightly different foundation,

Интересно, что, заложив немного другой фундамент,

you can get a vastly different but equally sound structure.

можно получить совершенно другую, но настолько же прочную конструкцию.

For example, when Euclid laid his foundations for geometry,

Например, когда Евклид закладывал основы геометрии,

one of his axioms implied that given a line and a point off the line,

одна из его аксиом подразумевала,

что для прямой и точки за её пределами существует

only one parallel line exists going through that point.

только одна параллельная линия, проходящая через эту точку.

But later mathematicians,

Но позже математики,

wanting to see if geometry was still possible without this axiom,

желая понять, возможна ли геометрия без этой аксиомы,

produced spherical and hyperbolic geometry.

создали сферическую и гиперболическую геометрию.

Each valid, logically sound, and useful in different contexts.

Каждая из них верна, логически обоснована и полезна в разных контекстах.

Одной из аксиом, распространенной в современной математике,

One axiom common in modern mathematics is the Axiom of Choice.

является аксиома выбора.

It typically comes into play in proofs that require choosing elements from sets—

Обычно она нужна в доказательствах, требующих выбора элементов из множеств,

which we’ll grossly simplify to marbles in boxes.

которые мы значительно упростим, говоря о шариках в коробках.

For our choices to be valid, they need to be consistent,

Чтобы наши решения были верными, они должны быть воспроизводимыми,

meaning if we approach a box, choose a marble,

а это значит, что если мы подойдём к шкатулке, выберем шарик,

and then go back in time and choose again, we'd know how to find the same marble.

а затем вернёмся в прошлое и выберем снова,

мы будем знать, как найти тот же шарик.

If we have a finite number of boxes, that’s easy.

Если у нас конечное количество коробок, сделать это просто.

It’s even straightforward when there are infinite boxes

Даже при бесконечном количестве коробок это легко сделать,

if each contains a marble that’s readily distinguishable from the others.

если в каждой из них есть шарик, легко отличимый от других.

It’s when there are infinite boxes with indistinguishable marbles

Но когда есть бесконечное количество ящиков

с неразличимыми шариками,

that we have trouble.

у нас возникнут сложности.

But in these scenarios,

Но в таких случаях

the Axiom of Choice lets us summon a mysterious omniscient chooser

аксиома выбора позволяет нам призвать таинственного всезнающего человека,

that will always select the same marbles—

который всегда будет выбирать одни и те же шарики,

without us having to know anything about how those choices are made.

и нам не нужно будет знать, как он их выбирает.

Our stab-happy mathematician, following Banach and Tarski’s proof,

Наша знакомая математик, следуя доказательствам Банаха-Тарского,

reaches a step in constructing the five sections

начинает этап построения пяти групп

where she has infinitely many boxes filled with indistinguishable parts.

из бесконечного количества коробок,

заполненных неотличимыми предметами.

So she needs the Axiom of Choice to make their construction possible.

Чтобы это сделать, ей нужно воспользоваться аксиомой выбора.

If the Axiom of Choice can lead to such a counterintuitive result,

Если аксиома выбора может привести к результату,

противоречащему здравому смыслу,

should we just reject it?

не следует ли её просто отвергнуть?

Mathematicians today say no,

Современные математики говорят «нет»,

because it’s load-bearing for a lot of important results in mathematics.

потому что от неё зависят многие важные результаты в математике .

Fields like measure theory and functional analysis,

В основе таких областей, как теория мер и функциональный анализ,

which are crucial for statistics and physics,

имеющих ключевое значение для статистики и физики,

are built upon the Axiom of Choice.

лежит аксиома выбора.

While it leads to some impractical results,

Хоть она и не всегда применима на практике,

it also leads to extremely practical ones.

она также приводит к чрезвычайно практичным результатам.

Fortunately, just as Euclidean geometry exists alongside hyperbolic geometry,

И подобно тому,

как евклидова геометрия существует наряду с гиперболической геометрией,

mathematics with the Axiom of Choice coexists with mathematics without it.

наряду с математикой с аксиомой выбора существует математика без неё.

The question for many mathematicians isn’t whether the Axiom of Choice,

Для многих математиков

вопрос заключается не в том, верна ли аксиома выбора

or for that matter any given axiom, is right or not,

или в каких случаях верна какая-то аксиома,

but whether it’s right for what you’re trying to do.

а в том, верна ли она в том случае, когда вы пытаетесь её применить.

The fate of the Banach-Tarski paradox lies in this choice.

Судьба парадокса Банаха-Тарского зависит от этого выбора.

This is the freedom mathematics gives us.

Математика позволяет нам иметь такую свободу.

Not only is it a way to model our physical universe

Она позволяет не только моделировать физическую вселенную

using the axioms we intuit from our daily experiences,

на основе аксиом, интуитивно понятных нам из опыта повседневной жизни,

but a way to venture into abstract mathematical universes

но и погружаться в абстрактные математические вселенные

and explore arcane geometries and laws unlike anything we can ever experience.

и исследовать загадочные геометрии и законы,

с которыми мы никогда не сталкиваемся в повседневной жизни.

If we ever meet aliens, axioms which seem absurd and incomprehensible to us

Если мы когда-нибудь повстречаем инопланетян,

аксиомы, кажущиеся нам абсурдными и непостижимыми,

might be everyday common sense to them.

могут оказаться для них обычным здравым смыслом.

To investigate, we might start by handing them an infinitely sharp knife

Для начала мы могли бы дать им острый нож

and a perfect ball,

и идеальный шар

and see what they do.

и посмотреть, что они с ними сделают.