Does math have a major flaw? - Jacqueline Doan and Alex Kazachek

Traductor: Minnie Min Hee Lee Revisor: Valeria Pájaro

Consider this mathematician,

Pensemos en esta matemática

with her standard-issue infinitely sharp knife and a perfect ball.

que tiene un cuchillo estándar de filo infinito y una bola perfecta.

She frantically slices and distributes the ball into an infinite number of boxes.

Ella corta y distribuye frenéticamente la pelota en un número infinito de cajas.

She then recombines the parts into five precise sections.

Luego, ensambla las partes en cinco secciones precisas.

Gently moving and rotating these sections around,

Con cuidado, moviendo y girando estas secciones,

seemingly impossibly, she recombines them to form two identical, flawless,

ella las recompone de una manera que parece imposible,

creando así dos copias idénticas, perfectas y completas de la bola original.

and complete copies of the original ball.

This is a result known in mathematics as the Banach-Tarski paradox.

Este resultado se conoce en matemáticas como la paradoja de Banach-Tarski.

The paradox here is not in the logic or the proof—

La paradoja aquí no está en la lógica o la demostración,

which are, like the balls, flawless—

que son, como las bolas, impecables,

but instead in the tension between mathematics

sino en la tensión entre las matemáticas

and our own experience of reality.

y nuestra propia experiencia de la realidad.

And in this tension lives some beautiful and fundamental truths

Y en esta tensión residen algunas verdades hermosas y fundamentales

about what mathematics actually is.

sobre lo que realmente son las matemáticas.

We’ll come back to that in a moment, but first,

Retomaremos este tema en un momento, pero primero,

we need to examine the foundation of every mathematical system: axioms.

necesitamos examinar la base de cada sistema matemático: los axiomas.

Every mathematical system is built and advanced

Todos los sistemas matemáticos se construyen y avanzan

by using logic to reach new conclusions.

mediante el uso de la lógica para llegar a nuevas conclusiones.

But logic can’t be applied to nothing;

Pero la lógica no puede aplicarse a la nada.

we have to start with some basic statements, called axioms,

Tenemos que empezar con algunas afirmaciones básicas, llamadas axiomas,

that we declare to be true, and make deductions from there.

que declaramos verdaderas, y hacer deducciones a partir de ahí.

Often these match our intuition for how the world works—

A menudo coinciden con nuestra intuición sobre cómo funciona el mundo.

for instance, that adding zero to a number has no effect is an axiom.

Por ejemplo, que sumarle cero a un número no tenga ningún efecto es un axioma.

If the goal of mathematics is to build a house, axioms form its foundation—

Si el fin de las matemáticas es construir una casa, los axiomas forman su base:

the first thing that’s laid down, that supports everything else.

son lo primero que se establece y que sostiene todo lo demás.

Where things get interesting is that by laying a slightly different foundation,

La cosa se pone interesante cuando, partiendo de una base algo distinta,

you can get a vastly different but equally sound structure.

se puede obtener una estructura muy diferente pero igual de sólida.

For example, when Euclid laid his foundations for geometry,

Por ejemplo, cuando Euclides sentó las bases de la geometría,

one of his axioms implied that given a line and a point off the line,

uno de sus axiomas suponía que, dada una línea y un punto fuera de ella,

only one parallel line exists going through that point.

solo existe una única línea paralela que pase por ese punto.

But later mathematicians,

Pero los matemáticos posteriores,

wanting to see if geometry was still possible without this axiom,

que querían ver si la geometría todavía era posible sin este axioma,

produced spherical and hyperbolic geometry.

crearon la geometría esférica y la hiperbólica,

Each valid, logically sound, and useful in different contexts.

las cuales son válidas, lógicamente sólidas,

y útiles en diferentes situaciones.

One axiom common in modern mathematics is the Axiom of Choice.

Un axioma común en las matemáticas modernas es el axioma de elección.

It typically comes into play in proofs that require choosing elements from sets—

Suele usarse en demostraciones que suponen seleccionar elementos de conjuntos,

which we’ll grossly simplify to marbles in boxes.

los cuales simplificaremos enormemente a canicas en cajas.

For our choices to be valid, they need to be consistent,

Para que nuestras elecciones sean válidas, deben ser constantes.

meaning if we approach a box, choose a marble,

Es decir, si nos acercamos a una caja, elegimos una canica,

and then go back in time and choose again, we'd know how to find the same marble.

volvemos en el tiempo y elegimos otra vez, sabremos encontrar la misma canica.

If we have a finite number of boxes, that’s easy.

Esto resulta fácil con un número finito de cajas.

It’s even straightforward when there are infinite boxes

Incluso resulta sencillo cuando hay una cantidad infinita de cajas,

if each contains a marble that’s readily distinguishable from the others.

pero solo si cada una contiene una canica que se distingue fácilmente de las demás.

It’s when there are infinite boxes with indistinguishable marbles

Es cuando tenemos infinitas cajas con canicas indistinguibles

that we have trouble.

que es complicado.

But in these scenarios,

Pero en estos casos,

the Axiom of Choice lets us summon a mysterious omniscient chooser

el axioma de elección nos permite evocar a un misterioso selector omnisciente

that will always select the same marbles—

que siempre escogerá las mismas canicas,

without us having to know anything about how those choices are made.

sin que tengamos que saber nada sobre cómo se toman esas decisiones.

Our stab-happy mathematician, following Banach and Tarski’s proof,

En línea con la demostración de Banach-Tarski,

nuestra matemática llega a un punto en la construcción de las cinco secciones

reaches a step in constructing the five sections

where she has infinitely many boxes filled with indistinguishable parts.

donde tiene infinitas cajas llenas de partes indistinguibles.

So she needs the Axiom of Choice to make their construction possible.

Así que necesita el axioma de elección para poder ensamblar las partes.

If the Axiom of Choice can lead to such a counterintuitive result,

Pero si el axioma de elección lleva a un resultado tan contradictorio,

should we just reject it?

¿deberíamos, entonces, rechazarlo?

Mathematicians today say no,

La comunidad matemática actual dice que no

because it’s load-bearing for a lot of important results in mathematics.

porque es el soporte de muchos resultados importantes en matemáticas.

Fields like measure theory and functional analysis,

Campos como la teoría de la medida y el análisis funcional,

which are crucial for statistics and physics,

cruciales para la estadística y la física,

are built upon the Axiom of Choice.

se basan en el axioma de elección.

While it leads to some impractical results,

Si bien conduce a algunos resultados poco prácticos,

it also leads to extremely practical ones.

también lleva a otros extremadamente prácticos.

Fortunately, just as Euclidean geometry exists alongside hyperbolic geometry,

Por suerte, al igual que la geometría euclidiana coexiste con la hiperbólica,

mathematics with the Axiom of Choice coexists with mathematics without it.

las matemáticas con el axioma de elección coexisten con las matemáticas sin él.

The question for many mathematicians isn’t whether the Axiom of Choice,

Para muchos matemáticos, la pregunta no es si el axioma de elección,

or for that matter any given axiom, is right or not,

o de hecho cualquier axioma dado, es correcto o no,

but whether it’s right for what you’re trying to do.

sino si es adecuado para lo que se intenta hacer.

The fate of the Banach-Tarski paradox lies in this choice.

El destino de la paradoja de Banach-Tarski está en esta elección.

This is the freedom mathematics gives us.

Esta es la libertad que nos dan las matemáticas.

Not only is it a way to model our physical universe

No solo es una forma de modelar nuestro universo físico

using the axioms we intuit from our daily experiences,

utilizando los axiomas que captamos de nuestras experiencias diarias,

but a way to venture into abstract mathematical universes

sino también una forma de osarse en universos matemáticos abstractos

and explore arcane geometries and laws unlike anything we can ever experience.

y explorar geometrías y leyes arcanas diferentes a lo que podamos experimentar.

If we ever meet aliens, axioms which seem absurd and incomprehensible to us

Si nos topáramos con alienígenas,

los axiomas que nos parecen absurdos podrían ser su sentido común.

might be everyday common sense to them.

To investigate, we might start by handing them an infinitely sharp knife

Para investigar aquello, podríamos empezar por darles un cuchillo de filo infinito

and a perfect ball,

y una pelota perfecta,

and see what they do.

y ver qué hacen.