Does math have a major flaw? - Jacqueline Doan and Alex Kazachek

번역: Jun Pak 검토: DK Kim

Consider this mathematician,

이 수학자는

with her standard-issue infinitely sharp knife and a perfect ball.

한없이 날카로운 칼과 완벽한 공이 있습니다.

She frantically slices and distributes the ball into an infinite number of boxes.

그녀는 미친 듯이 공을 잘라 무한한 상자에 나누어 넣습니다.

She then recombines the parts into five precise sections.

그런 다음 조각들을 정확하게 다섯 덩어리로 재결합합니다.

Gently moving and rotating these sections around,

이 덩어리들을 조심스럽게 움직이고 돌려서

seemingly impossibly, she recombines them to form two identical, flawless,

불가능해 보이는 동작으로 그것들을 다시 합쳐

원래의 공과 완벽하게 똑같고 흠이 없는 사본 두 개를 만듭니다.

and complete copies of the original ball.

This is a result known in mathematics as the Banach-Tarski paradox.

이 결과를 수학에서는 바나흐-타르스키 역설이라고 합니다.

The paradox here is not in the logic or the proof—

여기서 역설은 마치 공처럼 무결점인 논리나 증명에 있는 것이 아니라

which are, like the balls, flawless—

but instead in the tension between mathematics

현실에 대한 우리의 경험과 수학 사이의 긴장감에 있습니다.

and our own experience of reality.

And in this tension lives some beautiful and fundamental truths

그리고 이러한 긴장 속에 슴어 있는 것은

수학이 실제로 무엇인지에 대한 아름답고 근본적인 진실입니다.

about what mathematics actually is.

We’ll come back to that in a moment, but first,

이에 대해서는 잠시 후에 다루겠지만

먼저 모든 수학 체계의 근간을 살펴보아야 합니다.

we need to examine the foundation of every mathematical system: axioms.

바로 공리입니다.

Every mathematical system is built and advanced

모든 수학 체계는 논리를 사용하여 새로운 결론에 도달함으로써

by using logic to reach new conclusions.

만들어지고 발전합니다.

But logic can’t be applied to nothing;

하지만 아무것도 없다면 논리를 세울 수 없습니다.

we have to start with some basic statements, called axioms,

우리는 공리라고 부르는 몇 가지 기본 진술부터 시작해서

that we declare to be true, and make deductions from there.

그 진술이 참이라고 선언하고 거기서 추론해야 합니다.

Often these match our intuition for how the world works—

이런 것들은 대개 세상이 어떻게 돌아가는지에 대한 직관과 일치합니다.

for instance, that adding zero to a number has no effect is an axiom.

예를 들어, 어떤 숫자에 0을 더해도 아무 변화가 없다는 것은 공리입니다.

If the goal of mathematics is to build a house, axioms form its foundation—

수학의 목표가 집을 짓는 것이라면 공리가 그 기초를 형성합니다.

the first thing that’s laid down, that supports everything else.

가장 먼저 정립되는 공리는 다른 모든 것을 뒷받침합니다.

Where things get interesting is that by laying a slightly different foundation,

흥미로운 점은 약간 다른 기초를 놓으면

you can get a vastly different but equally sound structure.

아주 다르지만 똑같이 튼튼한 구조를 만들 수 있다는 것입니다.

For example, when Euclid laid his foundations for geometry,

예를 들어 유클리드가 기하학의 기초를 다졌을 때

one of his axioms implied that given a line and a point off the line,

그의 공리 중 하나는 선과 선 밖의 한 점이 있으면

only one parallel line exists going through that point.

그 점을 통과하는 평행선은 하나뿐이라는 것이었습니다.

But later mathematicians,

하지만 나중에 수학자들은

wanting to see if geometry was still possible without this axiom,

이 공리가 없어도 기하학이 가능한지 연구하고 나서

produced spherical and hyperbolic geometry.

구면 기하학과 쌍곡선 기하학을 만들어 냈습니다.

Each valid, logically sound, and useful in different contexts.

각각은 유효하고 논리적으로 타당하며 상황에 따라 유용합니다.

One axiom common in modern mathematics is the Axiom of Choice.

현대 수학에서 흔히 볼 수 있는 공리 중 하나는 선택 공리입니다.

It typically comes into play in proofs that require choosing elements from sets—

이는 일반적으로 집합에서 원소를 선택하는 과정에 쓰이는데

which we’ll grossly simplify to marbles in boxes.

이를 상자 안의 구슬로 크게 단순화하여 보겠습니다.

For our choices to be valid, they need to be consistent,

우리의 선택이 유효하려면 일관성이 있어야 합니다.

meaning if we approach a box, choose a marble,

즉, 상자에서 구슬을 고른 다음 시간을 거슬러 올라가 다시 선택하면

and then go back in time and choose again, we'd know how to find the same marble.

동일한 구슬을 찾을 방법을 알 것입니다.

If we have a finite number of boxes, that’s easy.

상자 수가 한정되어 있다면 쉽습니다.

It’s even straightforward when there are infinite boxes

상자가 무한하더라도 각 상자에

if each contains a marble that’s readily distinguishable from the others.

다른 구슬과 쉽게 구별되는 구슬이 들어 있다면 간단합니다.

It’s when there are infinite boxes with indistinguishable marbles

구분할 수 없는 구슬이 들어 있는 상자가 무한히 많을 때는

that we have trouble.

문제가 생깁니다.

But in these scenarios,

하지만 이런 경우에는 선택 공리를 통해

the Axiom of Choice lets us summon a mysterious omniscient chooser

불가사의하고 전지전능한 선택기를 소환할 수 있습니다.

that will always select the same marbles—

이 선택기는 항상 같은 구슬을 고르죠.

without us having to know anything about how those choices are made.

그 구슬을 어떻게 선택하는지 우리는 전혀 알 필요가 없습니다.

Our stab-happy mathematician, following Banach and Tarski’s proof,

날카로운 우리 수학자는 바나흐와 타르스키 증명을 따라

reaches a step in constructing the five sections

다섯 덩어리를 만드는 단계에 도달했고

where she has infinitely many boxes filled with indistinguishable parts.

구분할 수 없는 부품으로 가득한 무한히 많은 상자가 있습니다.

So she needs the Axiom of Choice to make their construction possible.

이제 그 조립이 가능하려면 선택 공리가 필요하죠.

If the Axiom of Choice can lead to such a counterintuitive result,

선택 원칙이 이처럼 직관적이지 않은 결과를 초래할 수 있다면

should we just reject it?

그냥 거부해야 할까요?

Mathematicians today say no,

오늘날 수학자들은 그렇지 않다고 합니다.

because it’s load-bearing for a lot of important results in mathematics.

선택 원칙이 수학에서 중요한 수많은 결과의 디딤돌이거든요.

Fields like measure theory and functional analysis,

측정 이론 및 함수 분석과 같은 분야는

which are crucial for statistics and physics,

통계와 물리학에서 중요한 역할을 하는데

are built upon the Axiom of Choice.

이들은 선택 공리를 바탕으로 합니다.

While it leads to some impractical results,

일부 비현실적인 결과로 이어지기도 하지만

it also leads to extremely practical ones.

매우 실용적인 결과로 이어지기도 합니다.

Fortunately, just as Euclidean geometry exists alongside hyperbolic geometry,

다행스럽게도 유클리드 기하학이 쌍곡선 기하학과 함께 존재하는 것처럼,

mathematics with the Axiom of Choice coexists with mathematics without it.

선택 공리가 있는 수학과 없는 수학도 공존합니다.

The question for many mathematicians isn’t whether the Axiom of Choice,

많은 수학자들이 궁금해하는 것은

선택 공리 또는 어떤 공리든, 그게 옳은지 아닌지가 아니라

or for that matter any given axiom, is right or not,

but whether it’s right for what you’re trying to do.

그것이 하려는 일에 적합한지입니다.

The fate of the Banach-Tarski paradox lies in this choice.

바나흐-타르스키 역설의 운명은 이 선택에 달려 있습니다.

This is the freedom mathematics gives us.

이것이 수학이 주는 자유입니다.

Not only is it a way to model our physical universe

일상 경험에서 직감하는 공리를 사용하여

using the axioms we intuit from our daily experiences,

물리적 우주 모형을 만드는 방법일 뿐만 아니라

but a way to venture into abstract mathematical universes

추상적인 수학적 세계로 모험을 떠나

and explore arcane geometries and laws unlike anything we can ever experience.

우리가 경험할 수 있는 그 어떤 것과도 비교할 수 없는

불가사의한 기하학과 법칙을 탐구하는 방법이기도 합니다

If we ever meet aliens, axioms which seem absurd and incomprehensible to us

우리가 외계인을 만난다면,

우리에게는 터무니없고 이해할 수 없을 것 같은 공리가

might be everyday common sense to them.

그들에게는 일상적인 상식일 수도 있습니다.

To investigate, we might start by handing them an infinitely sharp knife

이를 알아 보려면

먼저 무한히 날카로운 칼과 완벽한 공을 건넨 다음,

and a perfect ball,

그들이 무엇을 하는지 보면 될 것입니다.

and see what they do.