Does math have a major flaw? - Jacqueline Doan and Alex Kazachek

Translator: Hồng Phúc Đặng Reviewer: Trần Thái Hưng

Consider this mathematician,

Hãy quan xét nhà toán học này,

with her standard-issue infinitely sharp knife and a perfect ball.

với con dao vô cùng sắc bén và quả bóng hoàn hảo.

She frantically slices and distributes the ball into an infinite number of boxes.

Cô ấy điên cuồng cắt và phân chia quả bóng vào các hộp vô hạn số.

She then recombines the parts into five precise sections.

Sau đó, cô ấy kết hợp các phần vào đúng 5 phần

Gently moving and rotating these sections around,

Nhẹ nhàng di chuyển và xoay những phần này xung quanh,

seemingly impossibly, she recombines them to form two identical, flawless,

khó tin được, cô ấy tái kết hợp chúng thành 2 dạng tương đồng, hoàn hảo

and complete copies of the original ball.

và hoàn chỉnh của quả bóng ban đầu.

This is a result known in mathematics as the Banach-Tarski paradox.

Đây là kết quả được biết đến trong toán học là nghịch lý Banach-Tarski.

The paradox here is not in the logic or the proof—

Nghịch lý ở đây không nằm ở tính logic hay bằng chứng-

which are, like the balls, flawless—

Giống như những quả bóng, hoàn hảo-

but instead in the tension between mathematics

mà là căng thẳng giữa toán học

và trải nghiệm thực tế của ta.

and our own experience of reality.

And in this tension lives some beautiful and fundamental truths

Và trong sự căng thẳng này tồn tại một số sự thật đẹp đẽ và cơ bản

about what mathematics actually is.

về toán học thực sự là gì.

We’ll come back to that in a moment, but first,

Ta sẽ quay lại trong giây lát, nhưng trước tiên,

we need to examine the foundation of every mathematical system: axioms.

ta cần xem xét nền tảng của mọi hệ thống toán học: tiên đề.

Every mathematical system is built and advanced

Mỗi hệ thống toán học được xây dựng và phát triển

by using logic to reach new conclusions.

bằng cách sử dụng logic để đưa ra kết luận mới.

But logic can’t be applied to nothing;

Nhưng không thể dùng logic để áp dụng cho bất cứ thứ gì

we have to start with some basic statements, called axioms,

chúng ta phải bắt đầu với một số phát biểu cơ bản, được gọi là tiên đề,

that we declare to be true, and make deductions from there.

mà chúng ta tuyên bố là đúng, và đưa ra các suy luận từ đó.

Often these match our intuition for how the world works—

Thường chúng phù hợp với trực giác mà thể giới vận hành

for instance, that adding zero to a number has no effect is an axiom.

ví dụ, việc thêm số 0 vào con số không có tác dụng là một tiên đề.

If the goal of mathematics is to build a house, axioms form its foundation—

Nếu mục tiêu toán học là xây ngôi nhà, tiên đề là nền tảng của nó-

the first thing that’s laid down, that supports everything else.

điều đầu tiên được đặt ra, để hỗ trợ mọi thứ khác.

Where things get interesting is that by laying a slightly different foundation,

Điều khiến mọi thứ trở nên thú vị là bằng cách đặt một nền tảng hơi khác nhau,

you can get a vastly different but equally sound structure.

Bạn có thể có những mô hình khác biệt to lớn nhưng hợp lý không kém.

For example, when Euclid laid his foundations for geometry,

Ví dụ, khi Euclid đặt nền móng cho hình học,

one of his axioms implied that given a line and a point off the line,

một trong những tiên đề của ông chỉ rằng cho một điểm và đường thẳng nằm ngoài

only one parallel line exists going through that point.

chỉ tồn tại một đường thẳng song song đi qua điểm đó.

But later mathematicians,

Nhưng các nhà toán học sau này,

wanting to see if geometry was still possible without this axiom,

muốn xem liệu hình học có còn khả thi nếu không có tiên đề này hay không,

produced spherical and hyperbolic geometry.

đã tạo ra hình học hình cầu và hyperbol.

Each valid, logically sound, and useful in different contexts.

Mỗi cái đều đúng đắn, hợp logic và hữu ích trong các bối cảnh khác nhau.

One axiom common in modern mathematics is the Axiom of Choice.

Một tiên đề phổ biến trong toán học hiện đại là Tiên đề của sự lựa chọn.

It typically comes into play in proofs that require choosing elements from sets—

Thường phát huy trong các chứng minh yêu cầu lựa chọn các yếu tố từ các tập hợp

which we’ll grossly simplify to marbles in boxes.

mà chúng ta sẽ đơn giản hóa đại khái thành những viên bi trong hộp.

For our choices to be valid, they need to be consistent,

Để các lựa chọn của chúng ta có giá trị, chúng cần phải nhất quán,

meaning if we approach a box, choose a marble,

nghĩa là nếu ta tiếp cận một chiếc hộp, chọn một viên bi,

and then go back in time and choose again, we'd know how to find the same marble.

sau đó quay ngược thời gian và chọn lại, ta sẽ biết được cách chọn viên bi tương tự

If we have a finite number of boxes, that’s easy.

Nếu chúng ta có số lượng hộp hữu hạn, điều đó thật dễ dàng.

It’s even straightforward when there are infinite boxes

Thậm chí còn đơn giản khi có vô số hộp

if each contains a marble that’s readily distinguishable from the others.

nếu mỗi hộp chứa một viên bi dễ phân biệt với những chiếc khác.

It’s when there are infinite boxes with indistinguishable marbles

Cho đến khi có vô số hộp với những viên bi không thể phân biệt được

that we have trouble.

thì ta gặp rắc rối.

But in these scenarios,

Nhưng trong trường hợp này,

the Axiom of Choice lets us summon a mysterious omniscient chooser

tiên đề của sự lựa chọn cho ta triệu hồi một người lựa chon thông suốt bí ẩn

that will always select the same marbles—

luôn luôn chọn cùng viên bi-

without us having to know anything about how those choices are made.

không cần phải biết bất cứ điều gì về cách lựa chọn đó được thực hiện.

Our stab-happy mathematician, following Banach and Tarski’s proof,

Nhà toán học vui vẻ của chúng ta, theo bằng chứng của Banach và Tarski,

reaches a step in constructing the five sections

đạt được một bước trong việc xây dựng 5 phần

where she has infinitely many boxes filled with indistinguishable parts.

mà cô ấy có vô số hộp chứa đầy những phần không thể phân biệt được.

So she needs the Axiom of Choice to make their construction possible.

Nên cô ấy cần Tiên đề của sự lựa chọn làm cho việc xây dựng trở nên khả thi.

If the Axiom of Choice can lead to such a counterintuitive result,

Nếu Tiên đề của sự lựa chọn có thể dẫn đến kết quả phản trực giác như vậy,

should we just reject it?

liệu ta có nên loại bỏ nó không?

Mathematicians today say no,

Các nhà toán học ngày nay nói không,

because it’s load-bearing for a lot of important results in mathematics.

bởi vì nó chịu tải cho rất nhiều kết quả quan trọng trong toán học.

Fields like measure theory and functional analysis,

Các lĩnh vực như lý thuyết đo lường và phân tích chức năng,

which are crucial for statistics and physics,

rất quan trọng đối với thống kê và vật lý,

are built upon the Axiom of Choice.

được xây dựng dựa trên Tiên đề của sự lựa chọn.

While it leads to some impractical results,

Mặc dù nó dẫn đến một số kết quả không thực tế,

it also leads to extremely practical ones.

nó cũng dẫn đến những kết quả cực kỳ thiết thực.

Fortunately, just as Euclidean geometry exists alongside hyperbolic geometry,

May mắn thay, giống như hình học Euclide tồn tại cùng với hình học hyperbol,

mathematics with the Axiom of Choice coexists with mathematics without it.

toán học với Tiên đề lựa chọn cùng tồn tại với toán học mà không có nó.

The question for many mathematicians isn’t whether the Axiom of Choice,

Câu hỏi đối với nhiều nhà toán học không phải là liệu Tiên đề của sự lựa chọn,

or for that matter any given axiom, is right or not,

hay bất kỳ tiên đề nhất định nào, có đúng hay không,

but whether it’s right for what you’re trying to do.

mà là liệu nó có phù hợp với những gì bạn đang cố gắng làm hay không.

The fate of the Banach-Tarski paradox lies in this choice.

Số phận của nghịch lý Banach-Tarski nằm ở sự lựa chọn này.

This is the freedom mathematics gives us.

Đây là sự tự do mà toán học mang lại cho chúng ta.

Not only is it a way to model our physical universe

Không chỉ là một cách để mô hình hóa vũ trụ vật lý của ta bằng cách

using the axioms we intuit from our daily experiences,

sử dụng các tiên đề trực giác chúng ta từ các trải nghiệm hằng ngày của ta

but a way to venture into abstract mathematical universes

mà còn là một cách để du hành vào các vũ trụ toán học trừu tượng

and explore arcane geometries and laws unlike anything we can ever experience.

khám phá các định luật và hình học bí ẩn không giống bất kỳ thứ gì mà ta từng trải.

If we ever meet aliens, axioms which seem absurd and incomprehensible to us

Nếu ta từng gặp người ngoài hành tinh, các tiên đề khó hiểu và vô lý với ta

might be everyday common sense to them.

có thể là lẽ thường ngày đối với họ.

To investigate, we might start by handing them an infinitely sharp knife

Để điều tra, chúng ta có thể bắt đầu bằng cách đưa cho họ một con dao vô cùng sắc

and a perfect ball,

và một quả bóng hoàn hảo,

and see what they do.

và xem chúng làm gì.