Does math have a major flaw? - Jacqueline Doan and Alex Kazachek

Traduttore: Giorgia Salvato Revisore: Sara Pasini

Consider this mathematician,

Consideriamo questa matematica,

with her standard-issue infinitely sharp knife and a perfect ball.

con il suo coltello di serie infinitamente affilato e una palla perfetta.

She frantically slices and distributes the ball into an infinite number of boxes.

Affetta e distribuisce freneticamente la palla in un numero infinito di scatole.

She then recombines the parts into five precise sections.

Quindi ricombina le parti in cinque sezioni precise.

Gently moving and rotating these sections around,

Muovendo e ruotando con attenzione queste sezioni,

seemingly impossibly, she recombines them to form two identical, flawless,

sembra impossibile, ma le ricombina per formare due copie identiche, perfette

and complete copies of the original ball.

e integrali della palla originale.

This is a result known in mathematics as the Banach-Tarski paradox.

Questo risultato è noto in matematica come paradosso di Banach-Tarski.

The paradox here is not in the logic or the proof—

Il paradosso qui non è nella logica o nella dimostrazione,

which are, like the balls, flawless—

che sono, come le palle, perfette,

but instead in the tension between mathematics

ma è invece nella tensione tra la matematica

and our own experience of reality.

e la nostra esperienza della realtà.

And in this tension lives some beautiful and fundamental truths

E in questa tensione risiedono alcune meravigliose e fondamentali verità

about what mathematics actually is.

su cosa sia realmente la matematica.

We’ll come back to that in a moment, but first,

Torneremo su questo argomento tra un attimo,

we need to examine the foundation of every mathematical system: axioms.

ma prima dobbiamo esaminare le fondamenta di ogni sistema matematico: gli assiomi.

Every mathematical system is built and advanced

Ogni sistema matematico è costruito e avanzato

by using logic to reach new conclusions.

utilizzando la logica per giungere a nuove conclusioni.

But logic can’t be applied to nothing;

Ma la logica non può essere applicata al nulla;

we have to start with some basic statements, called axioms,

dobbiamo iniziare con alcune affermazioni di base, chiamate assiomi,

that we declare to be true, and make deductions from there.

che dichiariamo essere veri, e trarne delle deduzioni.

Often these match our intuition for how the world works—

Spesso corrispondono alla nostre intuizioni su come funziona il mondo,

for instance, that adding zero to a number has no effect is an axiom.

ad esempio che aggiungere zero a un numero non ha alcun effetto, questo è un assioma.

If the goal of mathematics is to build a house, axioms form its foundation—

Se l’obiettivo della matematica è costruire una casa,

gli assiomi ne costituiscono le fondamenta.

the first thing that’s laid down, that supports everything else.

La prima cosa da stabilire, che sostiene tutto il resto.

Where things get interesting is that by laying a slightly different foundation,

La cosa interessante è che ponendo fondamenta leggermente diverse,

you can get a vastly different but equally sound structure.

si può ottenere una struttura molto diversa ma ugualmente solida.

For example, when Euclid laid his foundations for geometry,

Ad esempio, quando Euclide pose le sue basi per la geometria,

one of his axioms implied that given a line and a point off the line,

uno dei suoi assiomi implicava che,

data una linea e un punto fuori dalla linea,

only one parallel line exists going through that point.

esiste solo una linea parallela che attraversa quel punto.

But later mathematicians,

Ma i matematici che seguirono,

wanting to see if geometry was still possible without this axiom,

volendo appurare se la geometria fosse ancora possibile senza questo assioma,

produced spherical and hyperbolic geometry.

produssero una geometria sferica e iperbolica.

Each valid, logically sound, and useful in different contexts.

Ciascuna valida, logica, e utile in diversi contesti.

One axiom common in modern mathematics is the Axiom of Choice.

Un assioma comune nella matematica moderna è l'Assioma della Scelta.

It typically comes into play in proofs that require choosing elements from sets—

Di solito entra in gioco nelle dimostrazioni

che richiedono una scelta di elementi da insiemi,

which we’ll grossly simplify to marbles in boxes.

cosa che semplificheremo attraverso delle biglie in delle scatole.

For our choices to be valid, they need to be consistent,

Affinché le nostre scelte siano valide, devono essere coerenti,

ciò significa che se avviciniamo una scatola, scegliamo una biglia,

meaning if we approach a box, choose a marble,

and then go back in time and choose again, we'd know how to find the same marble.

poi torniamo indietro nel tempo e scegliamo di nuovo,

sapremmo come trovare la stessa biglia.

If we have a finite number of boxes, that’s easy.

Se abbiamo un numero finito di scatole, è facile.

It’s even straightforward when there are infinite boxes

È ancora più facile se ci sono infinite scatole,

if each contains a marble that’s readily distinguishable from the others.

se ognuna contiene una biglia facilmente distinguibile dalle altre.

It’s when there are infinite boxes with indistinguishable marbles

È quando ci sono infinite scatole con biglie indistinguibili

that we have trouble.

che abbiamo problemi.

But in these scenarios,

Ma in questi casi,

the Axiom of Choice lets us summon a mysterious omniscient chooser

l’Assioma della Scelta ci consente

di evocare un misterioso essere selezionatore onnisciente

that will always select the same marbles—

che selezionerà sempre le stesse biglie,

without us having to know anything about how those choices are made.

senza che noi sappiamo nulla su come vengono prese queste scelte.

Our stab-happy mathematician, following Banach and Tarski’s proof,

La nostra felice matematica, seguendo la dimostrazione di Banach e Tarski,

reaches a step in constructing the five sections

giunge al punto di costruire le cinque sezioni

where she has infinitely many boxes filled with indistinguishable parts.

in cui ha infinite scatole piene di parti indistinguibili.

So she needs the Axiom of Choice to make their construction possible.

Quindi necessita dell’Assioma della Scelta per renderne possibile la costruzione.

If the Axiom of Choice can lead to such a counterintuitive result,

Se l'Assioma della Scelta può portare a un risultato così controintuitivo,

should we just reject it?

dovremmo semplicemente rifiutarlo?

Mathematicians today say no,

I matematici oggi dicono di no,

because it’s load-bearing for a lot of important results in mathematics.

perché è fondamentale per molti importanti risultati matematici.

Fields like measure theory and functional analysis,

Campi come la teoria della misura e l’analisi funzionale,

which are crucial for statistics and physics,

che sono fondamentali per la statistica e la fisica,

are built upon the Axiom of Choice.

si basano sull’Assioma della Scelta.

While it leads to some impractical results,

Se da un lato porta ad alcuni risultati poco pratici,

it also leads to extremely practical ones.

porta anche a risultati estremamente pratici.

Fortunately, just as Euclidean geometry exists alongside hyperbolic geometry,

Per fortuna, così come la geometria euclidea

esiste accanto alla geometria iperbolica,

mathematics with the Axiom of Choice coexists with mathematics without it.

la matematica con l’Assioma della Scelta coesiste con quella che ne fa a meno.

The question for many mathematicians isn’t whether the Axiom of Choice,

La domanda per molti matematici non è se l’Assioma della Scelta,

or for that matter any given axiom, is right or not,

o qualsiasi altro assioma, siano giusti o meno,

but whether it’s right for what you’re trying to do.

ma se sia giusto per quello che si sta cercando di fare.

The fate of the Banach-Tarski paradox lies in this choice.

Il destino del paradosso di Banach-Tarski risiede in questa scelta.

This is the freedom mathematics gives us.

Questa è la libertà che la matematica ci offre.

Not only is it a way to model our physical universe

Non solo è un modo per modellare il nostro universo fisico

using the axioms we intuit from our daily experiences,

usando gli assiomi che intuiamo dalle nostre esperienze quotidiane,

but a way to venture into abstract mathematical universes

ma anche un modo per avventurarci in universi matematici astratti

and explore arcane geometries and laws unlike anything we can ever experience.

ed esplorare geometrie e leggi arcane senza precedenti.

If we ever meet aliens, axioms which seem absurd and incomprehensible to us

Se mai incontrassimo gli alieni, assiomi che ci sembrano assurdi ed incomprensibili

might be everyday common sense to them.

per loro potrebbero far parte del buon senso quotidiano.

To investigate, we might start by handing them an infinitely sharp knife

Per scorprirlo, potremmo iniziare dandogli un coltello estremamente affilato

and a perfect ball,

e una palla perfetta,

and see what they do.

e vedere cosa succede.