Does math have a major flaw? - Jacqueline Doan and Alex Kazachek

Traducteur: Elisabeth Buffard Relecteur: Connor Mi

Consider this mathematician,

Prenons l’exemple de cette mathématicienne,

with her standard-issue infinitely sharp knife and a perfect ball.

avec son couteau de série aiguisé à l’infini et une balle parfaite.

She frantically slices and distributes the ball into an infinite number of boxes.

Elle tranche frénétiquement et distribue la balle dans une infinité de cases.

She then recombines the parts into five precise sections.

Elle recombine ensuite les parties en cinq sections précises.

Gently moving and rotating these sections around,

En déplaçant et en faisant pivoter doucement ces sections,

seemingly impossibly, she recombines them to form two identical, flawless,

ce qui semble impossible,

elle les recombine pour former deux copies identiques, parfaites

and complete copies of the original ball.

et complètes de la balle originale.

This is a result known in mathematics as the Banach-Tarski paradox.

En mathématiques, on connait ce résultat comme le paradoxe de Banach-Tarski.

The paradox here is not in the logic or the proof—

Le paradoxe ici ne réside pas dans la logique ou la preuve,

which are, like the balls, flawless—

qui sont, comme les balles, parfaites,

but instead in the tension between mathematics

mais dans la tension entre les mathématiques

and our own experience of reality.

et notre propre expérience de la réalité.

And in this tension lives some beautiful and fundamental truths

Et dans cette tension résident de belles vérités fondamentales

about what mathematics actually is.

sur ce que sont réellement les mathématiques.

We’ll come back to that in a moment, but first,

Nous y reviendrons dans un moment, mais d’abord,

we need to examine the foundation of every mathematical system: axioms.

nous devons d’abord examiner la base de tout système mathématique :

les axiomes.

Every mathematical system is built and advanced

Chaque système mathématique est construit et développé

by using logic to reach new conclusions.

en utilisant la logique pour tirer de nouvelles conclusions.

But logic can’t be applied to nothing;

Mais la logique ne peut pas être appliquée à rien ;

we have to start with some basic statements, called axioms,

il faut commencer par quelques affirmations de base, appelées axiomes,

that we declare to be true, and make deductions from there.

que nous déclarons vraies, et en tirer des déductions.

Often these match our intuition for how the world works—

Elles correspondent souvent

à notre intuition de la façon dont le monde fonctionne...

for instance, that adding zero to a number has no effect is an axiom.

Par exemple, qu’ajouter zéro à un nombre n’a aucun effet est un axiome.

If the goal of mathematics is to build a house, axioms form its foundation—

Si le but des maths est de construire une maison,

les axiomes en constituent la base :

the first thing that’s laid down, that supports everything else.

la première chose qui est posée, qui soutient tout le reste.

Where things get interesting is that by laying a slightly different foundation,

Là où ça devient intéressant,

c’est qu’en posant des bases légèrement différentes,

you can get a vastly different but equally sound structure.

vous pouvez obtenir une structure très différente mais tout aussi solide.

For example, when Euclid laid his foundations for geometry,

Par exemple, lorsqu’Euclide a jeté les bases de la géométrie,

one of his axioms implied that given a line and a point off the line,

l’un de ses axiomes impliquait que,

étant donné une droite et un point hors de la droite,

only one parallel line exists going through that point.

il n’existe qu’une seule ligne parallèle passant par ce point.

But later mathematicians,

Mais les mathématiciens après lui,

wanting to see if geometry was still possible without this axiom,

voulant voir si la géométrie était encore possible sans cet axiome,

produced spherical and hyperbolic geometry.

ont produit une géométrie sphérique et hyperbolique.

Each valid, logically sound, and useful in different contexts.

Chacun est valide, logique et utile dans différents contextes.

Un axiome courant dans les mathématiques modernes est l'axiome du choix.

One axiom common in modern mathematics is the Axiom of Choice.

It typically comes into play in proofs that require choosing elements from sets—

En général, il intervient dans les épreuves qui nécessitent

de choisir des éléments dans des ensembles,

which we’ll grossly simplify to marbles in boxes.

qu’on va simplifier grossièrement en billes dans des cases.

For our choices to be valid, they need to be consistent,

Pour que nos choix soient valides, ils doivent être cohérents,

c’est-à-dire que si on s’approche d’une case, on choisit une bille,

meaning if we approach a box, choose a marble,

and then go back in time and choose again, we'd know how to find the same marble.

puis on remonte le temps et on choisit à nouveau,

on saura comment trouver la même bille.

If we have a finite number of boxes, that’s easy.

Si on a un nombre fini de cases, c’est facile.

It’s even straightforward when there are infinite boxes

C’est même simple lorsqu’il y a une infinité de cases

if each contains a marble that’s readily distinguishable from the others.

si chacune contient une bille qui se distingue facilement des autres.

It’s when there are infinite boxes with indistinguishable marbles

C'est lorsqu'il y a une infinité de cases avec des billes indiscernables

that we have trouble.

qu’on a du mal.

But in these scenarios,

Mais dans ces scénarios,

the Axiom of Choice lets us summon a mysterious omniscient chooser

l’axiome du choix nous permet d’invoquer un mystérieux sélectionneur omniscient

that will always select the same marbles—

qui sélectionnera toujours les mêmes billes,

without us having to know anything about how those choices are made.

sans que nous ayons à savoir comment ces choix sont effectués.

Our stab-happy mathematician, following Banach and Tarski’s proof,

Notre mathématicienne au couteau,

suivant la démonstration de Banach et Tarski,

reaches a step in constructing the five sections

arrive au point dans la construction des cinq sections

where she has infinitely many boxes filled with indistinguishable parts.

où elle possède une infinité de cases remplies de parties indiscernables.

So she needs the Axiom of Choice to make their construction possible.

Elle a donc besoin de l’axiome du choix pour rendre leur construction possible.

If the Axiom of Choice can lead to such a counterintuitive result,

Si l'axiome du choix peut mener à un résultat aussi contre-intuitif,

should we just reject it?

doit-on simplement le rejeter ?

Mathematicians today say no,

Les mathématiciens d’aujourd’hui disent que non,

because it’s load-bearing for a lot of important results in mathematics.

car c’est déterminant pour de nombreux résultats importants en mathématiques.

Fields like measure theory and functional analysis,

Des domaines comme la théorie de la mesure et l’analyse fonctionnelle,

which are crucial for statistics and physics,

qui sont cruciaux pour les statistiques et la physique,

are built upon the Axiom of Choice.

reposent sur l'axiome du choix.

While it leads to some impractical results,

Bien que cela conduise à des résultats peu pratiques,

it also leads to extremely practical ones.

cela conduit aussi à des résultats extrêmement pratiques.

Fortunately, just as Euclidean geometry exists alongside hyperbolic geometry,

Heureusement, tout comme la géométrie euclidienne

coexiste avec la géométrie hyperbolique,

mathematics with the Axiom of Choice coexists with mathematics without it.

les maths avec l’axiome du choix coexistent avec les maths sans cet axiome.

The question for many mathematicians isn’t whether the Axiom of Choice,

La question, pour de nombreux mathématiciens

n’est pas de savoir si l’axiome du choix, ou tout autre axiome,

or for that matter any given axiom, is right or not,

est juste ou non,

but whether it’s right for what you’re trying to do.

mais s’il convient à ce que vous essayez de faire.

The fate of the Banach-Tarski paradox lies in this choice.

Le destin du paradoxe de Banach-Tarski réside dans ce choix.

This is the freedom mathematics gives us.

C’est la liberté que nous donnent les mathématiques.

Not only is it a way to model our physical universe

Il s’agit non seulement d’un moyen de modéliser notre univers physique

using the axioms we intuit from our daily experiences,

à l’aide des axiomes que nous avons déduits de nos expériences quotidiennes,

but a way to venture into abstract mathematical universes

mais aussi d’un moyen de s’aventurer dans des univers mathématiques abstraits

and explore arcane geometries and laws unlike anything we can ever experience.

et d’explorer des géométries et des lois obscures

comme nous ne pouvons jamais en faire l’expérience.

If we ever meet aliens, axioms which seem absurd and incomprehensible to us

Si jamais nous rencontrons des extraterrestres,

des axiomes qui nous semblent absurdes et incompréhensibles

might be everyday common sense to them.

pourraient relever du bon sens.

To investigate, we might start by handing them an infinitely sharp knife

Pour enquêter, on pourrait commencer par leur donner un couteau infiniment aiguisé

and a perfect ball,

et une balle parfaite,

and see what they do.

et voir ce qu'ils font.