Does math have a major flaw? - Jacqueline Doan and Alex Kazachek

תרגום: hila scherba עריכה: zeeva livshitz

Consider this mathematician,

הסתכלו על המתמטיקאית הזו,

with her standard-issue infinitely sharp knife and a perfect ball.

עם הסכין הסטנדרטית החדה לאין שיעור שלה וכדור מושלם.

She frantically slices and distributes the ball into an infinite number of boxes.

היא חותכת בתזזיתיות ומחלקת את הכדור למספר אינסופי של קופסאות.

She then recombines the parts into five precise sections.

לאחר מכן היא מחברת מחדש את החלקים לחמישה חלקים מדויקים.

Gently moving and rotating these sections around,

היא מזיזה ומסובבת בעדינות את החלקים האלה מסביב,

seemingly impossibly, she recombines them to form two identical, flawless,

לכאורה בלתי אפשרי, היא מחברת אותם מחדש ליצירת שני עותקים זהים, ללא רבב,

and complete copies of the original ball.

ומושלמים של הכדור המקורי.

This is a result known in mathematics as the Banach-Tarski paradox.

זוהי תוצאה המכונה במתמטיקה פרדוקס בנאך-טרסקי.

The paradox here is not in the logic or the proof—

הפרדוקס כאן אינו בהיגיון או בהוכחה -

which are, like the balls, flawless—

שהם, כמו הכדורים, ללא רבב -

but instead in the tension between mathematics

אלא במתח שבין המתמטיקה

and our own experience of reality.

לחוויית המציאות שלנו.

And in this tension lives some beautiful and fundamental truths

ובמתח הזה נמצאות כמה אמיתות יפות ויסודיות

about what mathematics actually is.

לגבי מהי בעצם מתמטיקה.

We’ll come back to that in a moment, but first,

נחזור לזה בעוד רגע, אבל ראשית,

we need to examine the foundation of every mathematical system: axioms.

עלינו לבחון את היסוד של כל מערכת מתמטית: אקסיומות.

Every mathematical system is built and advanced

כל מערכת מתמטית בנויה ומתקדמת

by using logic to reach new conclusions.

על ידי שימוש בהיגיון כדי להגיע למסקנות חדשות.

But logic can’t be applied to nothing;

אבל ההיגיון אינו יכול להיות מיושם על שום דבר;

we have to start with some basic statements, called axioms,

עלינו להתחיל עם כמה הצהרות בסיסיות, הנקראות אקסיומות,

that we declare to be true, and make deductions from there.

שאנו מכריזים שהן נכונות, ולבצע מסקנות משם.

Often these match our intuition for how the world works—

לעתים קרובות אלה תואמים את האינטואיציה שלנו

לגבי אופן הפעולה של העולם -

for instance, that adding zero to a number has no effect is an axiom.

למשל, להוסיף אפס למספר זה חסר השפעה זה אקסיומה.

If the goal of mathematics is to build a house, axioms form its foundation—

אם מטרת המתמטיקה היא לבנות בית, אקסיומות מהוות את היסוד שלו -

the first thing that’s laid down, that supports everything else.

הדבר הראשון שהונח, התומך בכל השאר.

Where things get interesting is that by laying a slightly different foundation,

הדברים נעשים מעניינים כאשר על ידי הנחת בסיס שונה במקצת,

you can get a vastly different but equally sound structure.

אפשר לקבל מבנה שונה בתכלית אך לא פחות יציב.

For example, when Euclid laid his foundations for geometry,

לדוגמה, כאשר אוקלידס הניח את יסודותיו לגיאומטריה,

one of his axioms implied that given a line and a point off the line,

אחת האקסיומות שלו מרמזת כי בהינתן קו ונקודה מחוץ לקו,

only one parallel line exists going through that point.

קיים רק קו מקביל אחד העובר בנקודה זו.

But later mathematicians,

אך מתמטיקאים מאוחרים יותר,

wanting to see if geometry was still possible without this axiom,

שרצו לראות אם הגיאומטריה עדיין אפשרית ללא אקסיומה זו,

produced spherical and hyperbolic geometry.

יצרו גיאומטריה כדורית והיפרבולית.

Each valid, logically sound, and useful in different contexts.

כל אחת מהן תקפה, יציבה הגיונית ושימושית בהקשרים שונים.

One axiom common in modern mathematics is the Axiom of Choice.

אקסיומה אחת הנפוצה במתמטיקה המודרנית היא אקסיומה של בחירה.

It typically comes into play in proofs that require choosing elements from sets—

זה בדרך כלל נכנס לתמונה בהוכחות הדורשות בחירת אלמנטים מסטים -

which we’ll grossly simplify to marbles in boxes.

אותם נפשט בצורה גסה לגולות בקופסאות.

For our choices to be valid, they need to be consistent,

כדי שהבחירות שלנו יהיו תקפות, הן צריכות להיות עקביות,

meaning if we approach a box, choose a marble,

כלומר אם ניגש לקופסה, נבחר גולה,

and then go back in time and choose again, we'd know how to find the same marble.

ואז נחזור אחורה בזמן ונבחר שוב, נדע למצוא את אותה הגולה.

If we have a finite number of boxes, that’s easy.

אם יש לנו מספר סופי של קופסאות, זה קל.

It’s even straightforward when there are infinite boxes

זה אפילו פשוט כשיש קופסאות אינסופיות

if each contains a marble that’s readily distinguishable from the others.

אם כל אחת מכילה גולה שניתן להבחין בקלות מהאחרות.

It’s when there are infinite boxes with indistinguishable marbles

כשיש קופסאות אינסופיות עם גולות בלתי ניתנות להבחנה

that we have trouble.

אז יש לנו בעיה.

But in these scenarios,

אבל בתרחישים אלה,

the Axiom of Choice lets us summon a mysterious omniscient chooser

אקסיומת הבחירה מאפשרת לנו לזמן בוחר כל יודע מסתורי

that will always select the same marbles—

שתמיד יבחר את אותן גולות -

without us having to know anything about how those choices are made.

מבלי שנצטרך לדעת שום דבר על אופן ביצוע הבחירות הללו.

Our stab-happy mathematician, following Banach and Tarski’s proof,

המתמטיקאית הדוקרת-המאושרת שלנו, בעקבות ההוכחה של בנאך וטרסקי,

reaches a step in constructing the five sections

מגיעה לשלב בבניית חמשת החלקים

where she has infinitely many boxes filled with indistinguishable parts.

שבו יש לה אינסוף קופסאות מלאות בחלקים בלתי ניתנים להבחנה.

So she needs the Axiom of Choice to make their construction possible.

אז היא זקוקה לאקסיומה של בחירה כדי לאפשר את בנייתם.

If the Axiom of Choice can lead to such a counterintuitive result,

אם אקסיומת הבחירה יכולה להוביל לתוצאה כה מנוגדת לאינטואיציה,

should we just reject it?

האם עלינו פשוט לדחות אותה?

Mathematicians today say no,

מתמטיקאים היום אומרים לא,

because it’s load-bearing for a lot of important results in mathematics.

כי זה בסיס להרבה תוצאות חשובות במתמטיקה.

Fields like measure theory and functional analysis,

תחומים כמו תורת המדידה וניתוח פונקציונלי,

which are crucial for statistics and physics,

שהם חיוניים לסטטיסטיקה ופיזיקה,

are built upon the Axiom of Choice.

בנויים על אקסיומת הבחירה.

While it leads to some impractical results,

אמנם זה מוביל לתוצאות לא מעשיות,

it also leads to extremely practical ones.

אך הוא מוביל גם לתוצאות מעשיות ביותר.

Fortunately, just as Euclidean geometry exists alongside hyperbolic geometry,

למרבה המזל, כשם שהגיאומטריה האוקלידית קיימת לצד גיאומטריה היפרבולית,

mathematics with the Axiom of Choice coexists with mathematics without it.

מתמטיקה עם אקסיומת הבחירה מתקיימת יחד עם מתמטיקה בלעדיה.

The question for many mathematicians isn’t whether the Axiom of Choice,

השאלה עבור מתמטיקאים רבים אינה האם אקסיומת הבחירה,

or for that matter any given axiom, is right or not,

או לצורך העניין כל אקסיומה נתונה, נכונה או לא,

but whether it’s right for what you’re trying to do.

אלא האם היא נכונה למה שאתה מנסה לעשות.

The fate of the Banach-Tarski paradox lies in this choice.

גורלו של פרדוקס בנאך-טרסקי טמון בבחירה זו.

This is the freedom mathematics gives us.

זה החופש שהמתמטיקה נותנת לנו.

Not only is it a way to model our physical universe

לא רק שזו דרך להכניס לתבנית את היקום הפיזי שלנו

using the axioms we intuit from our daily experiences,

באמצעות האקסיומות שאנו חשים בחוויות היומיומיות שלנו,

but a way to venture into abstract mathematical universes

אלא דרך לצאת להרפתקאות ביקומים מתמטיים מופשטים

and explore arcane geometries and laws unlike anything we can ever experience.

ולחקור גיאומטריות מיסתוריות וחוקים שלא דומים לשום דבר שנוכל לחוות אי פעם.

If we ever meet aliens, axioms which seem absurd and incomprehensible to us

אם אי פעם נפגוש חייזרים, אקסיומות שנראות לנו אבסורדיות ובלתי מובנות

might be everyday common sense to them.

עשויות להיות השכל הישר היומיומי עבורם.

To investigate, we might start by handing them an infinitely sharp knife

כדי לחקור, נוכל להתחיל בכך שנמסור להם סכין חדה עד אין קץ

and a perfect ball,

וכדור מושלם,

and see what they do.

ולראות מה הם עושים.