Does math have a major flaw? - Jacqueline Doan and Alex Kazachek

Translator: Varintorn Tacha Reviewer: Sakunphat Jirawuthitanant

Consider this mathematician,

ลองพิจารณานักคณิตศาสตร์คนนี้

with her standard-issue infinitely sharp knife and a perfect ball.

ด้วยมีดที่คมไม่สิ้นสุดรุ่นมาตรฐาน และลูกบอลที่สมบูรณ์แบบ

She frantically slices and distributes the ball into an infinite number of boxes.

เธอหั่นลูกบอลอย่างเมามัน และกระจายลูกบอลลงในกล่องจำนวนอนันต์

She then recombines the parts into five precise sections.

จากนั้นเธอก็แบ่งชิ้นส่วนต่าง ๆ เข้าด้วยกัน รวมเป็นห้าส่วนที่เท่ากันอย่างแม่นยำ

Gently moving and rotating these sections around,

ค่อย ๆ ขยับ และหมุนส่วนต่าง ๆ เหล่านี้ไปรอบ ๆ

seemingly impossibly, she recombines them to form two identical, flawless,

ดูเหมือนเป็นไปไม่ได้ เธอจึงรวมส่วนต่าง ๆ เข้าด้วยกันใหม่เพื่อสร้างสำเนา

and complete copies of the original ball.

ที่เหมือนกันอย่างไร้ที่ติ และสมบูรณ์ของลูกบอลต้นฉบับ

This is a result known in mathematics as the Banach-Tarski paradox.

นี่เป็นผลลัพธ์ที่รู้จักกันในชื่อทาง คณิตศาสตร์ว่า ทฤษฎีปฏิทรรศน์บานาค-ทาร์สกี

The paradox here is not in the logic or the proof—

ปฏิทรรศนี้ไม่ได้อยู่ในตรรกะหรือการพิสูจน์

which are, like the balls, flawless—

ซึ่งก็เหมือนกับลูกบอลที่ไม่มีที่ติ

but instead in the tension between mathematics

แต่อยู่ที่ความตึงเครียด ระหว่างคณิตศาสตร์

and our own experience of reality.

กับประสบการณ์ความเป็นจริงของเราเอง

And in this tension lives some beautiful and fundamental truths

และในความตรึงเครียดนี้ ยังคงมีความจริง ที่สวยงามและเป็นพื้นฐานบางประการ

about what mathematics actually is.

เกี่ยวกับว่า แท้จริงแล้วคณิตศาสตร์คืออะไร

We’ll come back to that in a moment, but first,

เราจะกลับมาที่เรื่องนั้นในอีกสักครู่ แต่ก่อนอื่น

we need to examine the foundation of every mathematical system: axioms.

เราต้องตรวจสอบรากฐานของระบบ ทางคณิตศาสตร์ทุกระบบ: สัจพจน์

Every mathematical system is built and advanced

ระบบทางคณิตศาสตร์ ทุกระบบถูกสร้างขึ้นและก้าวพัฒนาขึ้น

by using logic to reach new conclusions.

โดยใช้ตรรกะเพื่อให้ได้ข้อสรุปใหม่ ๆ

But logic can’t be applied to nothing;

แต่ตรรกะไม่สามารถนำไปใช้ กับสิ่งที่ไร้ตัวตน

we have to start with some basic statements, called axioms,

เราต้องเริ่มต้นด้วย ข้อความพื้นฐานบางอย่างที่เรียกว่า สัจพจน์

that we declare to be true, and make deductions from there.

ที่เราประกาศว่าเป็นความจริง แลอนุมานจากตรงนั้น

Often these match our intuition for how the world works—

บ่อยครั้งสิ่งเหล่านี้ตรงกับสัญชาตญาณของเรา เกี่ยวกับวิธีการทำงานของโลก

for instance, that adding zero to a number has no effect is an axiom.

ตัวอย่างเช่น การบวกศูนย์เข้ากับตัวเลข ไม่มีผลใด ๆ ถือเป็นสัจพจน์

If the goal of mathematics is to build a house, axioms form its foundation—

หากเป้าหมายของคณิตศาสตร์คือการสร้างบ้าน สัจพจน์คือรากฐาน

the first thing that’s laid down, that supports everything else.

ซึ่งเป็นสิ่งแรกที่วางไว้ ซึ่งสนับสนุนทุกสิ่งทุกอย่าง

Where things get interesting is that by laying a slightly different foundation,

สิ่งที่น่าสนใจก็คือ การวางรากฐาน ที่แตกต่างกันเล็กน้อย

you can get a vastly different but equally sound structure.

คุณจะได้โครงสร้างที่แตกต่างกันอย่างมากมาย แต่ก็ฟังดูดีพอ ๆ กัน

For example, when Euclid laid his foundations for geometry,

ตัวอย่างเช่น เมื่อยุคลิด (Euclid) วางรากฐานสำหรับเรขาคณิต

one of his axioms implied that given a line and a point off the line,

สัจพจน์ประการหนึ่งของเขาบอกเป็นนัยว่า เมื่อกำหนดให้เส้นตรง

only one parallel line exists going through that point.

และจุดที่อยู่นอกเส้นตรง จะมีเส้นขนาน เส้นเดียวเท่านั้นที่ผ่านจุดนั้น

But later mathematicians,

แต่นักคณิตศาสตร์รุ่นหลัง ๆ

wanting to see if geometry was still possible without this axiom,

ต้องการดูว่า เรขาคณิตยังคงเป็นไปได้หรือไม่ หากไม่มีสัจพจน์นี้

produced spherical and hyperbolic geometry.

จึงสร้างเรขาคณิตทรงกลม และเรขาคณิตเชิงไฮเพอร์โบลาขึ้นมา

Each valid, logically sound, and useful in different contexts.

แต่ละข้อมีความถูกต้อง สมเหตุสมผล และมีประโยชน์ในบริบทที่ต่างกันไป

One axiom common in modern mathematics is the Axiom of Choice.

สัจพจน์หนึ่งที่พบได้ทั่วไปในคณิตศาสตร์ สมัยใหม่คือ สัจพจน์การเลือก

It typically comes into play in proofs that require choosing elements from sets—

โดยทั่วไปแล้วจะมีบทบาทในการพิสูจน์ ที่ต้องเลือกองค์ประกอบจากชุด (set)

which we’ll grossly simplify to marbles in boxes.

ซึ่งเราจะลดความซับซ้อนลงอย่างมาก ให้กับลูกหินในกล่อง

For our choices to be valid, they need to be consistent,

เพื่อให้ตัวเลือกของเราถูกต้อง มันจะต้องสอดคล้องกัน

meaning if we approach a box, choose a marble,

ซึ่งหมายความว่า ถ้าเราเข้าใกล้กล่อง เลือกลูกหิน

and then go back in time and choose again, we'd know how to find the same marble.

แล้วย้อนเวลากลับไปเลือกอีกครั้ง เราจะรู้วิธีหาลูกหินแบบเดียวกัน

If we have a finite number of boxes, that’s easy.

หากเรามีกล่องจำนวนจำกัดก็เป็นเรื่องง่าย

It’s even straightforward when there are infinite boxes

แม้จะตรงไปตรงมา เมื่อมีกล่องที่ไม่มีที่สิ้นสุด

if each contains a marble that’s readily distinguishable from the others.

หากแต่ละกล่องมีหินอ่อนที่สามารถแยกแยะ ความแตกต่างจากกล่องอื่น ๆ ได้อย่างง่ายดาย

It’s when there are infinite boxes with indistinguishable marbles

เมื่อมีกล่องจำนวนนับไม่ถ้วน ที่มีลูกหินแยกไม่ออกเมื่อไหร่

that we have trouble.

เรามีปัญหาเมื่อนั้น

But in these scenarios,

แต่ในสถานการณ์เหล่านี้

the Axiom of Choice lets us summon a mysterious omniscient chooser

สัจพจน์การเลือกช่วยให้เราสามารถ เรียกผู้เลือกลึกลับที่รอบรู้

that will always select the same marbles—

ที่จะเลือกลูกหินแบบเดียวกันเสมอ

without us having to know anything about how those choices are made.

โดยที่เราไม่จำเป็นต้องรู้อะไร เกี่ยวกับทางเลือกเหล่านั้นเลย

Our stab-happy mathematician, following Banach and Tarski’s proof,

นักคณิตศาสตร์ของเรา ทำตามข้อพิสูจน์ของบานาคและทาร์สกี

reaches a step in constructing the five sections

มาถึงขั้นตอนในการสร้างห้าส่วน

where she has infinitely many boxes filled with indistinguishable parts.

ที่เธอมีกล่องมากมาย ที่เต็มไปด้วยชิ้นส่วนที่แยกไม่ออก

So she needs the Axiom of Choice to make their construction possible.

ดังนั้นเธอจึงต้องการสัจพจน์การเลือก เพื่อให้การก่อสร้างเป็นไปได้

If the Axiom of Choice can lead to such a counterintuitive result,

หากสัจพจน์ของการเลือกสามารถนำไปสู่ ผลลัพธ์ที่ขัดกับสัญชาตญาณ

should we just reject it?

เราควรปฏิเสธมันหรือไม่

Mathematicians today say no,

นักคณิตศาสตร์ในปัจจุบันไม่ปฏิเสธมัน

because it’s load-bearing for a lot of important results in mathematics.

เพราะมันต้องรับภาระต่อผลลัพธ์ ที่สำคัญ ๆ มากมายในวิชาคณิตศาสตร์

Fields like measure theory and functional analysis,

สาขาต่าง ๆ เช่น ทฤษฎีการวัด และการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน

which are crucial for statistics and physics,

ซึ่งมีความสำคัญต่อสถิติและฟิสิกส์

are built upon the Axiom of Choice.

ได้รับการสร้างขึ้นจากสัจพจน์แห่งทางเลือก

While it leads to some impractical results,

แม้ว่าจะนำไปสู่ผลลัพธ์ ที่ไม่สามารถปฏิบัติได้จริง

it also leads to extremely practical ones.

แต่ก็ยังนำไปสู่ผลลัพธ์ ที่ใช้งานได้จริงอย่างยิ่งด้วย

Fortunately, just as Euclidean geometry exists alongside hyperbolic geometry,

โชคดีที่เช่นเดียวกับที่เรขาคณิตแบบยุคลิด มีอยู่ควบคู่ไปกับเรขาคณิตเชิงไฮเพอร์โบลา

mathematics with the Axiom of Choice coexists with mathematics without it.

คณิตศาสตร์ที่มีสัจพจน์การเลือก ก็อยู่ร่วมกับคณิตศาสตร์โดยไม่มีมัน

The question for many mathematicians isn’t whether the Axiom of Choice,

คำถามสำหรับนักคณิตศาสตร์หลายคน ไม่ใช่ว่า สัจพจน์การเลือก

or for that matter any given axiom, is right or not,

หรือสัจพจน์ที่กำหนดนั้นถูกต้องหรือไม่

but whether it’s right for what you’re trying to do.

แต่ไม่ว่า จะเหมาะสมกับสิ่งที่คุณพยายามทำหรือไม่

The fate of the Banach-Tarski paradox lies in this choice.

ชะตากรรมของทฤษฎีปฏิทรรศน์บานาค-ทาร์สกี อยู่ที่ทางเลือกนี้

This is the freedom mathematics gives us.

นี่คืออิสรภาพที่คณิตศาสตร์มอบให้เรา

Not only is it a way to model our physical universe

ไม่เพียงแต่เป็นวิธีการสร้าง แบบจำลองจักรวาลทางกายภาพของเรา

using the axioms we intuit from our daily experiences,

โดยใช้สัจพจน์ที่เราเข้าใจ จากประสบการณ์ในแต่ละวันเท่านั้น

but a way to venture into abstract mathematical universes

แต่ยังเป็นหนทางสู่การผจญภัย ในจักรวาลทางคณิตศาสตร์เชิงนามธรรม

and explore arcane geometries and laws unlike anything we can ever experience.

และสำรวจเรขาคณิตลึกลับ และกฎที่ไม่เหมือนสิ่งที่เราเคยสัมผัสมา

If we ever meet aliens, axioms which seem absurd and incomprehensible to us

หากเราพบกับมนุษย์ต่างดาว สัจพจน์ที่ดูไร้สาระและเข้าใจยากสำหรับเรา

might be everyday common sense to them.

อาจเป็นการตัดสินแบบพื้น ๆ ในชีวิตประจำวันสำหรับพวกเขา

To investigate, we might start by handing them an infinitely sharp knife

ในการตรวจสอบ เราอาจเริ่มต้นด้วย การยื่นมีดที่คมกริบ

and a perfect ball,

และลูกบอลที่สมบูรณ์แบบให้พวกเขา

and see what they do.

แล้วดูว่าพวกเขาทำอะไร