How high can you count on your fingers? (Spoiler: much higher than 10) - James Tanton

Translator: Myo Aung Reviewer: sann tint

How high can you count on your fingers?

ခင်ဗျားတို့ဟာ လက်ချောင်းများဖြင့် အများဆုံး ဘယ်လောက်အထိ တွက်နိုင်ကြလဲ။

It seems like a question with an obvious answer.

အဲဒီလို မေးခွန်းအတွက် အဖြေဟာ ရှင်းရှင်းလေးပါ။

After all, most of us have ten fingers,

တကယ်တော့၊ ကျွန်တော်တို့ အားလုံးမှာ လက်ဆယ်ချောင်း၊

or to be more precise,

ပိုပြီး တိကျအောင် ပြောရင်၊

eight fingers and two thumbs.

လက်မ နှစ်ခုနဲ့ လက်ရှစ်ချောင်း ရှိကြလို့ပါ။

This gives us a total of ten digits on our two hands,

အဲဒါကြောင့် လက်နှစ်ဘက် ပေါင်းလိုက်ရင် ဂဏန်း ဆယ်လုံးကို ရပါတယ်၊

which we use to count to ten.

အဲဒါကို သုံးပြီး တစ်ဆယ်အထိ ရေတွက်ကြတယ်။

It's no coincidence that the ten symbols we use in our modern numbering system

နံပါတ်တွေအတွက် ကျွန်တော်တို့ အသုံးပြုကြတဲ့ သင်္ကေတတွေကို ဂဏန်းများဆိုပြီး ခေါ်ကြတာ

are called digits as well.

အကြောင်းမဲ့ မဟုတ်ပါ။

But that's not the only way to count.

ဒါပေမဲ့ တွက်ရန် နည်းလမ်းက အဲဒါ တစ်ခုတည်း မကပါ။

In some places, it's customary to go up to twelve on just one hand.

တချို့ကိစ္စများမှာ လက်တစ်ဘက်တည်းကို သုံးပြီး ဆယ့်နှစ်အထိ တွက်ရတတ်တယ်။

How?

ဘယ်လိုများလဲ။

Well, each finger is divided into three sections,

လက်ချောင်းတိုင်းမှာ သုံးဆစ်စီ ပါရှိပါတယ်၊

and we have a natural pointer to indicate each one, the thumb.

ပြီးတော့ သဘာဝက ပေးထားတဲ့ ညွှန်းစရာ လက်မဆိုတာ ကျွန်ုပ်တို့မှာ ရှိပါတယ်။

That gives us an easy to way to count to twelve on one hand.

အဲဒါက လက်တစ်ဘက်ကို သုံးပြီး ဆယ့်နှစ်အထိ လွယ်ကူစွာ ရေတွက်နိုင်တဲ့ နည်းပါပဲ။

And if we want to count higher,

ကျွန်ုပ်တို့က ပိုကြီးတဲ့

we can use the digits on our other hand to keep track of each time we get to twelve,

ဂဏန်းတွေကို တွက်ရန် လိုလျှင် ကျန်တဲ့ လက်တစ်ဘက်မှာ ဆယ့်နှစ်ခုစီပါတဲ့

up to five groups of twelve, or 60.

အုပ်စုကို လိုက်ပြီး ၆၀ အထိ မှတ်နိုင်ပါတယ်။

Better yet, let's use the sections on the second hand

ဒုတိယ လက်ထဲက အဆစ်တွေကို သုံးပြီး တွက်ခြင်းအားဖြင့်

to count twelve groups of twelve, up to 144.

ဆယ့်နှစ်ခုစီ ပါတဲ့ အုပ်စု ဆယ့်နှစ်ခုကို တွက်နိုင်ပါတယ်။

That's a pretty big improvement,

အဲဒါကိုက အတော်ကလေး မြင့်မားတဲ့ ရလဒ်

but we can go higher by finding more countable parts on each hand.

ဖြစ်ပေမဲ့ လက်ထဲက ရေတွက်လို့ ရနိုင်တဲ့ အပိုင်းတွေကို သုံးပြီး ပိုတွက်နိုင်ပါတယ်။

For example, each finger has three sections and three creases

ဥပမာ၊ လက်ချောင်းတိုင်းမှာ အဆစ်သုံးခု အပြင် ခေါက်ရာ သုံးခု ရှိနေရာ

for a total of six things to count.

ရေတွက်လို့ ရနိုင်တဲ့ အရာ ခြောက်ခု ရှိပါတယ်။

Now we're up to 24 on each hand,

အဲဒီတော့ လက်တိုင်းမှာ ၂၄ ခုအထိ ရှိလာရာ၊

and using our other hand to mark groups of 24

နောက်လက်တစ်ဘက်ကို ၂၄ ခုပါတဲ့ အုပ်စု တွေကို မှတ်ရန်

gets us all the way to 576.

သုံးရင် ၅၇၆ အထိကို သွားနိုင်ပါပြီ။

Can we go any higher?

အဲဒီထက် မြင့်တက်နိုင်မလား။

It looks like we've reached the limit of how many different finger parts

အခုကြည့်ရတာ လက်ချောင်းများရဲ့ အစိတ် အပိုင်းအမျိုးမျိုးကို သုံးပြီး

we can count with any precision.

ရေနိုင်တဲ့ ဘောင်ဆီ ရောက်လာပြီလို့ ထင်ရပါတယ်။

So let's think of something different.

ဒါကို နောက်တမျိုး စဉ်းစားကြည့်ကြရအောင်။

One of our greatest mathematical inventions

သင်္ချာပညာထဲက အကြီးမားဆုံး တီထွင်မှုတစ်ခုမှာ

is the system of positional notation,

နေရာကို လိုက်ပြီး တန်ဖိုး ထားပေးရတဲ့ စနစ်ပါ၊

where the placement of symbols allows for different magnitudes of value,

ဂဏန်းတွေ ယူထားကြတဲ့ နေရာကိုလိုက်ပြီး တန်ဖိုးကို အမျိုးမျိုး သတ်မှတ်ပေးနိုင်တယ်၊

as in the number 999.

၉၉၉ ဆိုတဲ့ သာဓကထဲမှာလိုပါ။

Even though the same symbol is used three times,

ဂဏန်း တစ်ခုတည်းကို သုံးကြိမ် သုံးထားပေမဲ့၊

each position indicates a different order of magnitude.

ရပ်နေတဲ့ နေရာကိုလိုက်ပြီး တန်ဖိုးဟာ လုံးဝ တမျိုးဖြစ်နိုင်ပါတယ်။

So we can use positional value on our fingers to beat our previous record.

နေရာအလိုက် တန်ဖိုး သတ်မှတ်ရေး နည်းကို သုံးပြီး ခုနက စံချိန်ကို ချိုးနိုင်ပါမယ်။

Let's forget about finger sections for a moment

လက်ချောင်းများထဲက အဆစ်တွေ အကြောင်း ခဏမေ့လိုက်ပါ၊

and look at the simplest case of having just two options per finger,

လက်ချောင်းတိုင်းဆီမှာ ရွေးစရာ နှစ်ခုစီပဲ အပေါ် နဲ့ အောက်

up and down.

ရှိတယ်ဆိုပြီး ယူဆကြပါစို့။

This won't allow us to represent powers of ten,

အဲဒီနည်းက တဆယ်ရဲ့ ထပ်ကိန်းကို သုံးခွင့် မပေးပေမဲ့၊

but it's perfect for the counting system that uses powers of two,

အဲဒါက နှစ်ရဲ့ ထပ်ကိန်းကို သုံးတဲ့ စနစ်အတွက်၊ တနည်း ဘိုင်နရီ

otherwise known as binary.

စနစ်အတွက် သိပ်အဆင်ပြေမှာပါ။

In binary, each position has double the value of the previous one,

ဘိုင်နရီ စနစ်ထဲတွင် နေရာတိုင်းရဲ့ တန်ဖိုးဟာ အရင်တစ်ခုနဲ့စာရင် နှစ်ဆ ဖြစ်ရာ

so we can assign our fingers values of one,

ကျွန်ုပ်တို့ရဲ့ လက်ချောင်းတွေကို တန်ဖိုးတွေကို တစ်၊

two,

နှစ်၊

four,

eight,

လေး၊

ရှစ်၊

all the way up to 512.

စသဖြင့် ၅၁၂ အထိ ဆက်တိုက် ပေးနိုင်တယ်။

And any positive integer, up to a certain limit,

ပြီးတော့ အပေါင်းလက္ခဏာ ကိန်းပြည့် မှန်သမျှကို

can be expressed as a sum of these numbers.

ခုနက ကိန်းတွေရဲ့ စုပေါင်းမှုအဖြစ် ဘောင်တစ်ခုခုအထိ ပြသနိုင်ပါတယ်။

For example, the number seven is 4+2+1.

ဥပမာ၊ ကိန် ခုနစ်ဆိုရင် ၄+၂+၁ ဖြစ်တယ်။

so we can represent it by having just these three fingers raised.

ဒီတော့ အဲဒီ လက်ချောင်း သုံးခုကို မြှောက် ပြလျက် ပြပေးနိုင်ပါတယ်။

Meanwhile, 250 is 128+64+32+16+8+2.

အလားတူပဲ ၂၅၀ ဟာ ၁၂၈+၆၄+၃၂+၁၆+၈+၂ ဖြစ်ပါတယ်။

How high an we go now?

ဒီတော့ အခု ဘယ်လောက်အထိ တွက်နိုင်ပြီလဲ။

That would be the number with all ten fingers raised, or 1,023.

လက်ဆယ်ချောင်းစလုံးကို မြှောက်ထားချိန်မှာ ရရှိမယ့် ကိန်း၊ တနည်း ၁၀၂၃ ဖြစ်တယ်။

Is it possible to go even higher?

အဲဒီထက်ကိုရော မြင့်အောင် တွက်နိုင်မလား။

It depends on how dexterous you feel.

အဲဒါကတော့ ကိုယ့်လက်သွက်မှု အပေါ်မူတည်မယ်။

If you can bend each finger just halfway, that gives us three different states -

လက်ချောင်းတိုင်းကို ကျွန်ုပ်တို့က တစ်ဝက် ချိုးနိုင်ရင် ကွဲပြားတဲ့ အနေအထား သုံးခု-

down,

အောက်၊

half bent,

တစ်ဝက်ချိုး၊

and raised.

ဖြန့်ထား ရမယ်။

Now, we can count using a base-three positional system,

အခုတော့ ခုနက သုံးခုသုံး စနစ်ကို သုံးပြီး

up to 59,048.

၅၉၀၄၈ အထိကို ရေတွက်နိုင်မယ်။

And if you can bend your fingers into four different states or more,

တကယ်လို့ ကျွန်ုပ်တို့ဟာ လက်ချောင်းတွေကို အနေအထား လေးခု သို့မဟုတ် ပိုများအောင်

you can get even higher.

ချိုးနိုင်ရင် ပိုမြင့်တဲ့ အထိ သွားနိုင်မယ်။

That limit is up to you, and your own flexibility and ingenuity.

တကယ်တော့ အဲဒီဘောင်ဟာ ကျွန်ပ်တို့ရဲ့ ပျော့ပျောင်းမှုနဲ့ ကြံဆမှုအပေါ် မူတည်တယ်။

Even with our fingers in just two possible states,

ကျွန်ုပ်တို့ရဲ့ လက်ချောင်းတွေကို အနေအထား နှစ်ခုဖြင့်

we're already working pretty efficiently.

သုံးရုံနဲ့တောင် အတော့်ကို အလုပ်ဖြစ်နေကြပြီပဲ။

In fact, our computers are based on the same principle.

တကယ်ကျတော့၊ ကျွန်ုပ်တို့ရဲ့ ကွန်ပျူတာတွေ ကလည်း အဲဒီမူကိုပဲ အခြေခံထားကြတာပါ။

Each microchip consists of tiny electrical switches

ချီပ်သေးသေးလေး တိုင်းစီမှာ သေးနုပ်တဲ့ လျှပ်စစ် ခလုတ်ပါရှိရာ

that can be either on or off,

ပိတ်ထား သို့မဟုတ် ဖွင့်ထားနိုင်တယ်၊

meaning that base-two is the default way they represent numbers.

ဆိုလိုတာက ၎င်းတို့အတွက်ပါ ကိန်းဂဏန်းပြရန် အခြေခံဟာ နှစ်ပါပဲ။

And just as we can use this system to count past 1,000 using only our fingers,

ကျွန်ုပ်တို့က ၁၀၀၀ အထက် ရေတွက်ရန် လက်ချောင်း လေးချောင်းတည်းကို သုံးနိုင်သလို

computers can perform billions of operations

ကွန်ပျူတာတွေကလည်း ၁ တွေ နဲ့ ၀ တွေကို ရေတွက်ရင်း တွက်ချက်မှုတွေ

just by counting off 1's and 0's.

ဘီလီယံချီကို ပြုလုပ်နိုင်စွမ်း ရှိကြတာပါ။