How high can you count on your fingers? (Spoiler: much higher than 10) - James Tanton

До скольких можно посчитать на пальцах? (Спойлер: гораздо больше, чем до 10) — Джеймс Тентон

Переводчик: Volodymyr Yurchenko Редактор: Myo Aung

How high can you count on your fingers?

До скольких можно посчитать на пальцах?

It seems like a question with an obvious answer.

Кажется, что ответ на этот вопрос очевиден.

After all, most of us have ten fingers,

В конце концов, у большинства из нас десять пальцев,

or to be more precise,

или ещё точнее,

eight fingers and two thumbs.

два больших и ещё восемь.

This gives us a total of ten digits on our two hands,

В общей сумме десять цифр на двух руках,

which we use to count to ten.

с помощью которых мы считаем до десяти.

It's no coincidence that the ten symbols we use in our modern numbering system

Это не совпадение, что те десять символов, что мы используем в системе исчисления,

are called digits as well.

также называются цифрами.

But that's not the only way to count.

Но это не единственный способ считать.

In some places, it's customary to go up to twelve on just one hand.

В некоторых местах по традиции считают до двенадцати только на одной руке.

How?

Как?

Well, each finger is divided into three sections,

Каждый палец, кроме большого, разделён на три фаланги,

and we have a natural pointer to indicate each one, the thumb.

а большим пальцем можно указывать на них.

That gives us an easy to way to count to twelve on one hand.

Так можно просто считать до двенадцати на одной руке.

And if we want to count higher,

И если мы хотим считать дальше,

we can use the digits on our other hand to keep track of each time we get to twelve,

то можно загибать пальцы на другой руке каждый раз, как сосчитали до двенадцати,

up to five groups of twelve, or 60.

в общей сумме пять групп по двенадцать, или 60.

Better yet, let's use the sections on the second hand

Ещё лучше, давайте использовать фаланги на второй руке,

to count twelve groups of twelve, up to 144.

чтобы считать двенадцать групп по двенадцать, до 144.

That's a pretty big improvement,

Это значительное улучшение,

but we can go higher by finding more countable parts on each hand.

но можно достичь большего, если внимательнее приглядеться к рукам.

For example, each finger has three sections and three creases

К примеру, на каждом пальце есть три фаланги и три складки,

for a total of six things to count.

что позволяет посчитать до шести.

Now we're up to 24 on each hand,

Теперь мы дошли до 24 на каждой руке,

and using our other hand to mark groups of 24

и, считая второй рукой группы по 24,

gets us all the way to 576.

мы доходим аж до 576.

Can we go any higher?

Можно ли пойти ещё дальше?

It looks like we've reached the limit of how many different finger parts

Похоже, что больше не осталось частей на руках,

we can count with any precision.

которые мы могли бы точно посчитать.

So let's think of something different.

Давайте придумаем что-то другое.

One of our greatest mathematical inventions

Одно и наших величайших математических изобретений —

is the system of positional notation,

это позиционная система счисления,

where the placement of symbols allows for different magnitudes of value,

где от положения знака зависит его значение,

as in the number 999.

как в числе 999.

Even though the same symbol is used three times,

Хоть одна и та же цифра используется три раза,

each position indicates a different order of magnitude.

положение каждой даёт им разные значения.

So we can use positional value on our fingers to beat our previous record.

Теперь мы с помощью позиционного значения наших пальцев сможем побить наш рекорд.

Let's forget about finger sections for a moment

Давайте ненадолго забудем про фаланги пальцев

and look at the simplest case of having just two options per finger,

и рассмотрим самый простой вариант из всего лишь двух положений пальцев:

up and down.

быть поднятыми или опущенными.

This won't allow us to represent powers of ten,

Так мы не сможем показать степени от десяти,

but it's perfect for the counting system that uses powers of two,

но это идеальная система исчисления, которая использует степени двойки, —

otherwise known as binary.

так называемая двоичная система исчисления.

In binary, each position has double the value of the previous one,

В двоичной системе каждое число значит в два раза больше предыдущего,

so we can assign our fingers values of one,

поэтому мы можем назначить нашим пальцам значения один,

two,

два,

four,

eight,

четыре,

восемь

all the way up to 512.

и так до 512.

And any positive integer, up to a certain limit,

И любое положительное целое число до какого-то предела

can be expressed as a sum of these numbers.

может быть выражено суммой этих чисел.

For example, the number seven is 4+2+1.

К примеру, число семь это 4+2+1.

so we can represent it by having just these three fingers raised.

Поэтому мы можем показать его подняв всего три пальца.

Meanwhile, 250 is 128+64+32+16+8+2.

В то же время 250 — это 128+64+32+16+8+2.

How high an we go now?

Как далеко мы теперь можем дойти?

That would be the number with all ten fingers raised, or 1,023.

Это будет число, которое получится, если поднять все 10 пальцев, или же 1 023.

Is it possible to go even higher?

Можно ли зайти ещё дальше?

It depends on how dexterous you feel.

Это зависит от того, насколько вы гибки.

If you can bend each finger just halfway, that gives us three different states -

Если вы можете согнуть каждый палец наполовину, у нас выходят три состояния —

down,

согнутый,

half bent,

полусогнутый

and raised.

и вытянутый.

Now, we can count using a base-three positional system,

Теперь мы можем считать с помощью троичной системы исчисления

up to 59,048.

до 59 048.

And if you can bend your fingers into four different states or more,

И если вы можете сгибать свои пальцы, чтобы вышло четыре состояния или больше,

you can get even higher.

вы сможете считать и дальше.

That limit is up to you, and your own flexibility and ingenuity.

Предел зависит от вас, от вашей гибкости и изобретательности.

Even with our fingers in just two possible states,

Даже с пальцами всего в двух состояниях

we're already working pretty efficiently.

мы уже работаем довольно-таки эффективно.

In fact, our computers are based on the same principle.

На самом деле, наши компьютеры работают по тому же принципу.

Each microchip consists of tiny electrical switches

Каждая микросхема состоит из крохотных электрических выключателей,

that can be either on or off,

которые могут быть либо включены, либл выключены,

meaning that base-two is the default way they represent numbers.

это значит что они по умолчанию представляют числа в двоичной системе.

And just as we can use this system to count past 1,000 using only our fingers,

Так же, как мы считаем дальше тысячи только на пальцах рук,

computers can perform billions of operations

компьютеры могут выполнять миллиарды операций,

just by counting off 1's and 0's.

просто считая единицы и ноли.