How high can you count on your fingers? (Spoiler: much higher than 10) - James Tanton

Até quanto conseguimos contar nos dedos? (Spoiler: muito mais que dez) | James Tenton

Tradutor: Jay Palmer Revisor: Anna Carolina Illesca de Almeida Morales

How high can you count on your fingers?

Até quanto conseguimos contar nos dedos?

It seems like a question with an obvious answer.

Parece uma pergunta com resposta óbvia,

After all, most of us have ten fingers,

pois a maioria de nós tem dez dedos,

or to be more precise,

ou mais precisamente:

eight fingers and two thumbs.

oito dedos e dois polegares,

This gives us a total of ten digits on our two hands,

um total de dez dígitos nas duas mãos,

which we use to count to ten.

que usamos pra contar até dez.

It's no coincidence that the ten symbols we use in our modern numbering system

Não é coincidência que os dez símbolos usados no sistema de numeração moderno

are called digits as well.

são chamados de dígitos também.

But that's not the only way to count.

Mas existem muitas maneiras de se contar.

In some places, it's customary to go up to twelve on just one hand.

Em alguns lugares, é comum contar até 12 usando uma mão.

How?

Como?

Well, each finger is divided into three sections,

Bem, cada dedo é dividido em três seções

and we have a natural pointer to indicate each one, the thumb.

e temos um marcador natural pra indicar cada seção: o polegar.

That gives us an easy to way to count to twelve on one hand.

Desta maneira podemos contar facilmente até 12 usando uma mão.

And if we want to count higher,

E se quisermos contar mais,

we can use the digits on our other hand to keep track of each time we get to twelve,

podemos usar os dígitos da outra mão para cada vez que contarmos até 12,

up to five groups of twelve, or 60.

até cinco grupos de 12, ou 60.

Better yet, let's use the sections on the second hand

Melhor ainda, se usarmos as seções da outra mão

to count twelve groups of twelve, up to 144.

podemos contar 12 grupos de 12, ou seja, vamos até 144.

That's a pretty big improvement,

Já é um avanço enorme!

but we can go higher by finding more countable parts on each hand.

Mas podemos contar além disso achando outras partes contáveis na mão.

For example, each finger has three sections and three creases

Por exemplo, cada dedo tem três seções e três dobras

for a total of six things to count.

oferecendo seis coisas pra contar.

Now we're up to 24 on each hand,

Então podemos contar até 24 em cada mão,

and using our other hand to mark groups of 24

e usando nossa outra mão pra marcar grupos de 24

gets us all the way to 576.

podemos contar até 576.

Can we go any higher?

Podemos contar além disso?

It looks like we've reached the limit of how many different finger parts

Parece termos chegado no limite de quantas partes diferentes

we can count with any precision.

nossos dedos contam com precisão.

So let's think of something different.

Então vamos pensar em algo diferente.

One of our greatest mathematical inventions

Uma das nossas maiores invenções matemáticas

is the system of positional notation,

é o sistema de notação posicional,

where the placement of symbols allows for different magnitudes of value,

onde a posição do símbolo permite magnitudes diferentes de valores,

as in the number 999.

como no número 999.

Even though the same symbol is used three times,

Aqui o mesmo símbolo é usado três vezes,

each position indicates a different order of magnitude.

e cada posição indica uma ordem diferente de magnitude.

So we can use positional value on our fingers to beat our previous record.

Então podemos usar o valor posicional em nossos dedos pra quebrar o recorde.

Let's forget about finger sections for a moment

Deixemos as seções dos dedos de lado por agora

and look at the simplest case of having just two options per finger,

e suponhamos que existam só duas opções para cada dedo,

up and down.

recolhido ou erguido.

This won't allow us to represent powers of ten,

Isso não nos permite representar potências de dez,

but it's perfect for the counting system that uses powers of two,

mas funciona pra um sistema de contagem que utilize potências de dois,

otherwise known as binary.

mais conhecido como binário.

In binary, each position has double the value of the previous one,

Em binário, cada posição tem o dobro do valor da anterior,

so we can assign our fingers values of one,

então podemos atribuir pra cada dedo valores de um,

two,

dois,

four,

eight,

quatro,

oito,

all the way up to 512.

até chegarmos a 512.

And any positive integer, up to a certain limit,

Todos números positivos inteiros, até certo limite,

can be expressed as a sum of these numbers.

podem ser expressos como a soma desses números.

For example, the number seven is 4+2+1.

Por exemplo, o número sete é 4+2+1.

so we can represent it by having just these three fingers raised.

Então poderíamos representá-lo com três dedos erguidos.

Meanwhile, 250 is 128+64+32+16+8+2.

Já 250 seria:

128+64+32+16+8+2.

How high an we go now?

Até quanto poderíamos contar agora?

Com todos os dez dedos erguidos poderíamos contar até 1.023.

That would be the number with all ten fingers raised, or 1,023.

Is it possible to go even higher?

É possível contar além disso?

It depends on how dexterous you feel.

Depende da sua destreza.

If you can bend each finger just halfway, that gives us three different states -

Se você conseguir dobrar seus dedos, obtemos três diferentes posições:

down,

recolhido,

half bent,

no meio

and raised.

e erguido.

Now, we can count using a base-three positional system,

Agora, utilizando o sistema com estas três posições,

up to 59,048.

podemos contar até 59.048.

And if you can bend your fingers into four different states or more,

E se você conseguir dobrar seus dedos em quatro posições ou mais,

you can get even higher.

poderá contar além disso.

That limit is up to you, and your own flexibility and ingenuity.

O limite depende de você, da sua flexibilidade e talento.

Even with our fingers in just two possible states,

Mesmo com os dedos em duas posições,

we're already working pretty efficiently.

já melhoramos bastante nossa eficiência.

In fact, our computers are based on the same principle.

Na verdade, nossos computadores baseiam-se no mesmo princípio.

Each microchip consists of tiny electrical switches

Cada microchipe é formado por pequenas chaves elétricas,

that can be either on or off,

que estão ligadas ou desligadas,

meaning that base-two is the default way they represent numbers.

ou seja, o sistema de base dois é o utilizado pra representação numérica.

And just as we can use this system to count past 1,000 using only our fingers,

Da mesma forma que usamos este sistema pra contar além de mil com nossos dedos,

computers can perform billions of operations

os computadores executam bilhões de operações

just by counting off 1's and 0's.

contando uns e zeros.