How high can you count on your fingers? (Spoiler: much higher than 10) - James Tanton

번역: Jinseok Kim 검토: JaeHoon Lee

손가락으로 숫자를 얼마까지 셀 수 있을까요?

How high can you count on your fingers?

It seems like a question with an obvious answer.

아주 쉬운 질문으로 보일 수도 있습니다.

우리는 대부분 손가락을 열 개 가지고 있기 때문이죠.

After all, most of us have ten fingers,

or to be more precise,

더 정확히 말하면

엄지 두 개와 손가락 여덟 개가 있습니다.

eight fingers and two thumbs.

This gives us a total of ten digits on our two hands,

두 손을 합치면 손가락이 총 열 개고

which we use to count to ten.

이를 이용해 10까지 숫자를 세죠.

It's no coincidence that the ten symbols we use in our modern numbering system

그래서 현대에 사용되는 열 개의 숫자(digit)와

are called digits as well.

손가락(digit)은 같은 단어를 사용합니다.

But that's not the only way to count.

하지만 이게 수를 세는 유일한 방법은 아닙니다.

In some places, it's customary to go up to twelve on just one hand.

한 손으로 숫자를 12까지 세는 것이 자연스러운 사람들도 있습니다.

어떻게 할까요?

How?

Well, each finger is divided into three sections,

각 손가락은 세 영역으로 나뉘어져 있습니다.

and we have a natural pointer to indicate each one, the thumb.

그리고 엄지로 각자를 가리킬 수 있죠.

That gives us an easy to way to count to twelve on one hand.

이렇게 하면 쉽게 한 손으로 숫자를 12까지 셀 수 있습니다.

And if we want to count higher,

더 큰 숫자를 세고 싶다면

we can use the digits on our other hand to keep track of each time we get to twelve,

숫자가 12를 넘을 때마다 다른 손 손가락을 하나씩 이용하면 됩니다.

up to five groups of twelve, or 60.

12를 다섯 번 세면, 60이죠.

Better yet, let's use the sections on the second hand

두 번째 손도 첫 번째 손처럼 사용하면

to count twelve groups of twelve, up to 144.

12 곱하기 12, 144까지 셀 수 있습니다.

That's a pretty big improvement,

굉장히 큰 발전이죠.

but we can go higher by finding more countable parts on each hand.

손의 다른 부분을 이용해서 더 큰 숫자를 셀 수도 있습니다.

For example, each finger has three sections and three creases

예를 들어, 각 손가락에는 주름도 세 개씩 있습니다.

for a total of six things to count.

셀 만한 것이 여섯 개 있는 것이죠.

Now we're up to 24 on each hand,

그럼 한 손으로 24까지 셀 수 있게 되고

and using our other hand to mark groups of 24

한 손을 더 써 24를 24번 셀 수 있으니까

gets us all the way to 576.

총 576까지 셀 수 있습니다.

Can we go any higher?

더 큰 수도 될까요?

It looks like we've reached the limit of how many different finger parts

손에서 정확하게 셀 수 있는 부분은

we can count with any precision.

더 남지 않은 것 같으니

So let's think of something different.

좀 다른 것을 생각해 봅시다.

One of our greatest mathematical inventions

가장 위대한 수학적 발명 중 하나는

is the system of positional notation,

위치 기수법입니다.

where the placement of symbols allows for different magnitudes of value,

숫자를 다른 자리에 써서 다른 값을 나타내는 방법이죠.

as in the number 999.

999를 예로 들면

Even though the same symbol is used three times,

똑같은 숫자가 세 번 쓰였지만

each position indicates a different order of magnitude.

각 위치는 10배씩 다른 수를 의미합니다.

So we can use positional value on our fingers to beat our previous record.

손가락으로도 이 위치별 값을 이용해 더 큰 숫자를 셀 수 있습니다.

Let's forget about finger sections for a moment

손가락의 주름은 잠시 잊고

and look at the simplest case of having just two options per finger,

각 손가락이 두 경우의 수를 가졌던 처음의 상황을 떠올려 봅시다.

up and down.

펴고 쥐는 거죠.

This won't allow us to represent powers of ten,

10의 지수를 표현할 순 없지만

but it's perfect for the counting system that uses powers of two,

2의 지수를 사용하는 수 체계에 매우 적합합니다.

otherwise known as binary.

이진법 말이죠.

In binary, each position has double the value of the previous one,

이진법에서는, 숫자들이 자리 별로 2배씩 다른 값을 가집니다.

so we can assign our fingers values of one,

각 손가락이 서로 다른 수, 1부터

two,

2

four,

eight,

4

8

all the way up to 512.

512까지를 나타낸다고 하면

And any positive integer, up to a certain limit,

특정 값보다 작은 어떠한 자연수도

can be expressed as a sum of these numbers.

이들의 합으로 표현될 수 있습니다.

For example, the number seven is 4+2+1.

예를 들어, 숫자 7은 4 더하기 2 더하기 1이죠.

so we can represent it by having just these three fingers raised.

각 수에 해당하는 손가락 세 개만 펴면 7을 표현할 수 있습니다.

Meanwhile, 250 is 128+64+32+16+8+2.

다른 예로 숫자 250은 128+64+32+16+8+2입니다.

How high an we go now?

이렇게 셀 수 있는 가장 큰 수는?

That would be the number with all ten fingers raised, or 1,023.

열 손가락을 전부 폈을 때의 수, 1023입니다.

Is it possible to go even higher?

그것보다도 큰 수를 셀 수 있을까요?

It depends on how dexterous you feel.

얼마나 손재주가 있느냐에 따라 다르죠.

If you can bend each finger just halfway, that gives us three different states -

손가락을 반만 접을 수도 있다면, 각 손가락은 세 가지 상태를 가집니다.

down,

접거나

half bent,

반만 접거나

and raised.

편 상태죠.

Now, we can count using a base-three positional system,

이제, 삼진법 체계를 이용해서

up to 59,048.

59,048까지 셀 수 있게 됩니다.

And if you can bend your fingers into four different states or more,

만약 손가락을 네 가지 이상의 다른 상태로 접을 수 있으면

you can get even higher.

더 큰 숫자를 셀 수 있습니다.

That limit is up to you, and your own flexibility and ingenuity.

그 한계는 여러분과 손가락의 창의적 능력에 달려있는 셈이죠.

Even with our fingers in just two possible states,

손가락이 두 가지 상태만 나타냈던 경우도

we're already working pretty efficiently.

충분히 효율적인 방법이긴 합니다.

In fact, our computers are based on the same principle.

사실 우리가 사용하는 컴퓨터가 같은 원리로 동작하고 있거든요.

Each microchip consists of tiny electrical switches

컴퓨터의 칩은 아주 작은 스위치들로 구성되어 있는데

that can be either on or off,

각자는 켜지거나 꺼질 수 있습니다.

meaning that base-two is the default way they represent numbers.

이것도 역시 이진법으로 숫자를 표현하기 때문에

And just as we can use this system to count past 1,000 using only our fingers,

우리가 단 열 개의 손가락으로 천이 넘는 숫자를 셀 수 있었듯이

computers can perform billions of operations

컴퓨터가 수 십억 개가 넘는 연산을

just by counting off 1's and 0's.

1과 0을 세는 것만으로 처리할 수 있는 것입니다.