How high can you count on your fingers? (Spoiler: much higher than 10) - James Tanton

Bạn có thể đếm tới bao nhiêu trên những ngón tay của mình? (Gợi ý: lớn hơn 10 rất nhiều) - James Tan

Translator: Dzung Do Reviewer: Uyen Le

How high can you count on your fingers?

Bạn có thể đếm tới bao nhiêu trên các ngón tay?

It seems like a question with an obvious answer.

Dường như đây là câu hỏi đã có sẵn câu trả lời.

After all, most of us have ten fingers,

Hầu hết chúng ta đều có 10 ngón tay,

or to be more precise,

hay nói chính xác hơn,

eight fingers and two thumbs.

8 ngón tay và 2 ngón cái.

This gives us a total of ten digits on our two hands,

Vậy là chúng ta có tổng cộng 10 đơn vị trên hai bàn tay

which we use to count to ten.

giúp chúng ta có thể đếm tới mười.

It's no coincidence that the ten symbols we use in our modern numbering system

Không phải ngẫu nhiên mà 10 kí tự ta sử dụng trong hệ thống hiện đại ngày nay

are called digits as well.

lại được gọi là đơn vị.

But that's not the only way to count.

Nhưng đó không phải là cách đếm duy nhất.

In some places, it's customary to go up to twelve on just one hand.

Ở một số nơi, người ta có thể đếm lên tới 12 chỉ trên 1 bàn tay.

How?

Bằng cách nào?

Well, each finger is divided into three sections,

Mỗi ngón tay được chia làm 3 đốt,

and we have a natural pointer to indicate each one, the thumb.

và chúng ta có một ngón chỉ đến các ngón khác: ngón cái

That gives us an easy to way to count to twelve on one hand.

Điều đó giúp chúng ta có thể dễ dàng đếm tới 12 trên một bàn tay.

And if we want to count higher,

Và nếu ta muốn đếm nhiều hơn,

we can use the digits on our other hand to keep track of each time we get to twelve,

Chúng ta có thể bàn tay kia đếm số lần ta đạt tới 12

up to five groups of twelve, or 60.

có tới 5 lần 12, nghĩa là 60.

Better yet, let's use the sections on the second hand

Tốt hơn hết, hãy sử dụng các đốt của bàn tay thứ hai

to count twelve groups of twelve, up to 144.

để đếm 12 lần của 12, lên tới 144.

That's a pretty big improvement,

Đó là sự hoàn thiện khá lớn,

but we can go higher by finding more countable parts on each hand.

nhưng ta có thể tiếp tục bằng việc tìm thêm phần có thể đếm được ở mỗi bàn tay.

For example, each finger has three sections and three creases

Ví dụ, mỗi ngón tay có 3 phần và 3 nếp gấp tay

for a total of six things to count.

như vậy ta có tổng cộng 6 thứ có thể đếm được.

Now we're up to 24 on each hand,

Giờ ta có thể đếm tới 24 trên mỗi bàn tay,

and using our other hand to mark groups of 24

và sử dụng bàn tay kia để ghi nhớ các nhóm 24

gets us all the way to 576.

giúp ta có thể đếm tới 576.

Can we go any higher?

Ta có thể đếm nhiều hơn không?

It looks like we've reached the limit of how many different finger parts

Dường như đã chạm tới một giới hạn của việc đếm chính xác các số

we can count with any precision.

trên những phần ngón tay khác nhau

So let's think of something different.

Nên hãy nghĩ đến một cái gì đó khác.

One of our greatest mathematical inventions

Một trong những phát minh vĩ đại của toán học

is the system of positional notation,

đó là hệ thống ký hiệu định vị

where the placement of symbols allows for different magnitudes of value,

ở đó, vị trí của ký tự cho phép thể hiện độ lớn về giá trị của chính nó

as in the number 999.

như số 999.

Even though the same symbol is used three times,

Mặc dù một biểu tượng được sử dụng 3 lần,

each position indicates a different order of magnitude.

mỗi vị trí lại thể hiện một trật tự về độ lớn khác nhau.

So we can use positional value on our fingers to beat our previous record.

Nên ta có thể sử dụng giá trị định vị lên các ngón để đánh bại kỷ lục trước đó.

Let's forget about finger sections for a moment

Tạm thời quên đi những đốt tay

and look at the simplest case of having just two options per finger,

và nghĩ tới trường hợp đơn giản nhất chỉ có 2 sự lựa chọn trên mỗi ngón tay,

up and down.

lên và xuống.

This won't allow us to represent powers of ten,

Điều này không cho phép ta sử dụng cơ số 10

but it's perfect for the counting system that uses powers of two,

nhưng thật tuyệt vời cho hệ thống đếm cơ số hai

otherwise known as binary.

hay còn gọi là nhị phân.

In binary, each position has double the value of the previous one,

Trong hệ nhị phân, mỗi vị trí có giá trị gấp đôi giá trị trước đó,

so we can assign our fingers values of one,

vì vậy chúng ta có thể gán cho những ngón tay các giá trị một

two,

hai,

four,

eight,

bốn,

tám,

all the way up to 512.

và thậm chí lên đến 512.

And any positive integer, up to a certain limit,

Và với bất kỳ số nguyên dương nào, đến giới hạn nhất định,

can be expressed as a sum of these numbers.

cũng đều có thể được thể hiện bằng tổng của những số trên.

For example, the number seven is 4+2+1.

Ví dụ, 7 là tổng của 4, 2 và 1,

so we can represent it by having just these three fingers raised.

Vì vậy để thể hiện 7, ta chỉ cần dơ 3 ngón tay lên.

Meanwhile, 250 is 128+64+32+16+8+2.

Trong khi đó, 250 lại bằng 128+64+32+16+8+2

How high an we go now?

Vậy giờ ta có thể đếm lên tới bao nhiêu?

That would be the number with all ten fingers raised, or 1,023.

Đó sẽ là một số mà cả 10 ngón tay đều dơ lên, 1023.

Is it possible to go even higher?

Vậy liệu có thể đếm nhiều hơn được nữa không?

It depends on how dexterous you feel.

Điều đó còn phụ thuộc vào độ khéo léo của bạn.

If you can bend each finger just halfway, that gives us three different states -

Nếu như bạn uốn cong được từng ngón tay, nó sẽ cho ta ba trạng thái khác nhau.

down,

nắm tay

half bent,

gập nửa ngón tay,

and raised.

và mở rộng lòng tay,

Now, we can count using a base-three positional system,

Bây giờ, chúng ta có thể đếm dựa trên 3 trạng thái trên

up to 59,048.

lên tới 59,048,

And if you can bend your fingers into four different states or more,

Và nếu bạn có thể gập ngón tay thành 4 trạng thái khác nhau hoặc nhiều hơn,

you can get even higher.

bạn có thể đếm được nhiều hơn nữa.

That limit is up to you, and your own flexibility and ingenuity.

Giới hạn đó phụ thuộc vào bạn, sự linh hoạt và khéo léo của riêng bạn.

Even with our fingers in just two possible states,

Thậm chí chỉ với 2 trạng thái thôi,

we're already working pretty efficiently.

chúng ta cũng đã làm việc khá hiệu quả.

In fact, our computers are based on the same principle.

Sự thật, máy tính của chúng ta hiện nay cũng dựa trên nguyên lí tương tự thế này.

Each microchip consists of tiny electrical switches

Mỗi vi mạch bao gồm những công tắc điện nhỏ,

that can be either on or off,

có hai trạng thái là bật và tắt,

meaning that base-two is the default way they represent numbers.

nghĩa là, 2 trạng thái mặc định đó biểu diễn cho các số.

And just as we can use this system to count past 1,000 using only our fingers,

Và giống như ta chỉ sử dụng các ngón tay để có thể đếm trên 1,000,

computers can perform billions of operations

thì máy tính cũng sử dụng hệ thống này để thực hiện hàng tỉ hoạt động đó

just by counting off 1's and 0's.

chỉ bằng cách đếm trạng thái tắt của 1 và 0