How high can you count on your fingers? (Spoiler: much higher than 10) - James Tanton

עד כמה אפשר לספור על האצבעות שלכם? (ספויילר: הרבה יותר מ 10) – ג'יימס טנטון

תרגום: Ido Dekkers עריכה: Sigal Tifferet

How high can you count on your fingers?

עד כמה אפשר לספור על האצבעות?

It seems like a question with an obvious answer.

נדמה שזו שאלה קלה.

After all, most of us have ten fingers,

אחרי הכל, לרובנו יש עשר אצבעות,

or to be more precise,

או ליתר דיוק,

eight fingers and two thumbs.

שמונה אצבעות ושני אגודלים.

This gives us a total of ten digits on our two hands,

זה נותן לנו סך של עשר ספרות על שתי ידיים,

which we use to count to ten.

בהן אנחנו משתמשים כדי לספור עד עשר.

It's no coincidence that the ten symbols we use in our modern numbering system

זה לא מקרה שעשרת הסימנים בהם אנחנו משתמשים במערכת המספרים המודרנית שלנו

are called digits as well.

נקראים באנגלית אצבעות.

But that's not the only way to count.

אבל זו לא הדרך היחידה לספור.

In some places, it's customary to go up to twelve on just one hand.

בכמה מקומות, נהוג לספור עד שתים עשרה על יד אחת.

How?

איך?

Well, each finger is divided into three sections,

ובכן, כל אצבע מחולקת לשלושה מקטעים,

and we have a natural pointer to indicate each one, the thumb.

ויש לנו מצביע טבעי כדי לסמן כל אחד, האגודל.

That gives us an easy to way to count to twelve on one hand.

זה נותן לנו דרך פשוטה לספור עד שתים עשרה על יד אחת.

And if we want to count higher,

ואם רוצים לספור גבוה יותר,

we can use the digits on our other hand to keep track of each time we get to twelve,

אפשר להשתמש באצבעות ידנו השניה לעקוב אחרי מספר הפעמים שהגענו לתריסר,

up to five groups of twelve, or 60.

עד לחמש קבוצות של תריסר, או 60.

Better yet, let's use the sections on the second hand

טוב מזה, בואו נשתמש במקטעים ביד השניה

to count twelve groups of twelve, up to 144.

כדי לספור שתים עשרה קבוצות של תרייסר, עד ל 144.

That's a pretty big improvement,

זה שיפור די גדול,

but we can go higher by finding more countable parts on each hand.

אבל אפשר להגיע גבוה יותר על ידי מציאת חלקים ספירים נוספים על היד.

For example, each finger has three sections and three creases

לדוגמה, לכל אצבע יש שלושה מקטעים ושלושה קפלים

for a total of six things to count.

לסך של שישה דברים לספור.

Now we're up to 24 on each hand,

עכשיו הגענו ל 24 בכל יד,

and using our other hand to mark groups of 24

ובשימוש ביד השניה כדי לסמן קבוצות של 24

gets us all the way to 576.

מביא אותנו עד 576.

Can we go any higher?

האם נוכל להגיע גבוה יותר?

It looks like we've reached the limit of how many different finger parts

נראה כאילו הגענו לגבול של כמה חלקי אצבעות שונים

we can count with any precision.

אנחנו יכולים לספור בדיוק כלשהו.

So let's think of something different.

אז בואו נחשוב על משהו שונה.

One of our greatest mathematical inventions

אחת ההמצאות המתמטיות הגדולות ביותר שלנו

is the system of positional notation,

היא מערכת הסימון המיקומי,

where the placement of symbols allows for different magnitudes of value,

בה מיקום הסימונים מאפשר שיעורים שונים של ערכים,

as in the number 999.

כמו המספר 999.

Even though the same symbol is used three times,

למרות שמשתמשים באותו סמל שלוש פעמים,

each position indicates a different order of magnitude.

כל מיקום מסמל סדר גודל שונה של שיעור.

So we can use positional value on our fingers to beat our previous record.

אז אנחנו יכולים להשתמש בערך מיקומי על האצבעות שלנו כדי לנצח את השיא הקודם.

Let's forget about finger sections for a moment

בואו נשכח בנוגע לחלקי האצבעות שלנו לרגע

and look at the simplest case of having just two options per finger,

ונביט במקרה הכי פשוט שיש לנו רק שתי אפשרויות לאצבע,

up and down.

למעלה ולמטה.

This won't allow us to represent powers of ten,

זה לא יאפשר לנו לייצג חזקות של עשר,

but it's perfect for the counting system that uses powers of two,

אבל זה מושלם למערכת הספירה שמשתמשת בחזקות של שתיים,

otherwise known as binary.

שידועה גם כבינארית.

In binary, each position has double the value of the previous one,

בבינארית, לכל מיקום יש ערך כפול מהקודם,

so we can assign our fingers values of one,

אז אנחנו יכולים לתת לאצבעות שלנו ערך של אחד,

two,

שתיים,

four,

eight,

ארבע,

שמונה,

all the way up to 512.

כל הדרך עד 512.

And any positive integer, up to a certain limit,

וכל מספר שלם חיובי, עד לטווח מסויים,

can be expressed as a sum of these numbers.

יכול להיות מובע כסכום של המספרים האלה.

For example, the number seven is 4+2+1.

לדוגמה, המספר שבע הוא 4+2+1.

so we can represent it by having just these three fingers raised.

אז אנחנו יכולים לייצג אותו על ידי שלוש אצבעות מורמות בלבד.

Meanwhile, 250 is 128+64+32+16+8+2.

בינתיים, 250 זה 128+64+32+16+8+2.

How high an we go now?

כמה גבוה נוכל להגיע?

That would be the number with all ten fingers raised, or 1,023.

זה יהיה המספר עם כל עשר האצבעות מורמות, או 1,023.

Is it possible to go even higher?

האם אפשר לעלות אף יותר?

It depends on how dexterous you feel.

זה תלוי בגמישות שלכם.

If you can bend each finger just halfway, that gives us three different states -

אם אתם יכולים לקפל כל אצבע רק בחצי האורך, זה נותן לכם שלושה מצבים שונים –

down,

למטה,

half bent,

חצי מקופלת,

and raised.

ומורמת.

Now, we can count using a base-three positional system,

עכשיו, אנחנו יכולים לספור בשימוש במערכת מיקום על בסיס שלוש,

up to 59,048.

עד ל-59,048.

And if you can bend your fingers into four different states or more,

ואם תצליחו לקפל את האצבעות לארבעה מקטעים שונים או יותר,

you can get even higher.

תוכלו להגיע אפילו גבוה יותר.

That limit is up to you, and your own flexibility and ingenuity.

הגבול הזה תלוי בכם, ובגמישות והיצירתיות שלכם.

Even with our fingers in just two possible states,

אפילו עם שני מצבים אפשריים לכל אצבע,

we're already working pretty efficiently.

אנחנו כבר עובדים די ביעילות.

In fact, our computers are based on the same principle.

למעשה, המחשבים שלנו מבוססים על אותו עיקרון.

Each microchip consists of tiny electrical switches

כל מעבד מכיל מתגים חשמלים זעירים

that can be either on or off,

שיכולים להיות דלוקים או כבויים,

meaning that base-two is the default way they represent numbers.

מה שאומר שבסיס שתיים הוא הדרך הבסיסית בהן הם מייצגים מספרים.

And just as we can use this system to count past 1,000 using only our fingers,

וכמו שנוכל להשתמש במערכת זו כדי לספור מעבר ל-1,000 בשימוש רק באצבעות,

computers can perform billions of operations

מחשבים יכולים לבצע מיליארדי פעולות

just by counting off 1's and 0's.

רק על ידי ספירה של 1ים ו 0ים.