How high can you count on your fingers? (Spoiler: much higher than 10) - James Tanton

Translator: Batchansaa Batzorig Reviewer: Nomindari Bayaraa

How high can you count on your fingers?

Хуруунуудаа ашиглан хэд хүртэл тоолж болох вэ?

It seems like a question with an obvious answer.

Мэдээжийн хариулттай мэт санагдаж магадгүй.

After all, most of us have ten fingers,

Тэгээд ч бидний ихэнх нь 10 хуруутай,

or to be more precise,

илүү нарийвчилвал,

eight fingers and two thumbs.

8 хуруу болон 2 эрхий хуруу.

This gives us a total of ten digits on our two hands,

Энэ нь 2 гаранд нийт 10 цифр өгч,

which we use to count to ten.

бид 10 хүртэл тоолохдоо ашигладаг.

It's no coincidence that the ten symbols we use in our modern numbering system

Бидний тоон системдээ ашигладаг 10 дүрсүүдийг

are called digits as well.

цифр гэж нэрлэдэг нь тохиолдол биш.

But that's not the only way to count.

Гэхдээ энэ нь тоолох ганц арга биш.

In some places, it's customary to go up to twelve on just one hand.

Зарим газарт, нэг гараараа 12 хүртэл тоолдог заншилтай.

How?

Яаж?

Well, each finger is divided into three sections,

Нэг хуруугаа 3 хэсэгт хувааж,

and we have a natural pointer to indicate each one, the thumb.

тэднийгээ заахдаа эрхий хуруугаа ашиглана.

That gives us an easy to way to count to twelve on one hand.

Ингэснээр нэг гараараа 12 хүртэл тоолох амархан болно.

And if we want to count higher,

Нэмж тоолохыг хүсвэл,

we can use the digits on our other hand to keep track of each time we get to twelve,

нөгөө гараа ашиглан хэдэн удаа 12 хүртэл тоолсноо тэмдэглэж,

up to five groups of twelve, or 60.

5 багц 12 буюу, 60 хүртэл тоолно.

Better yet, let's use the sections on the second hand

Тэгвэл нөгөө гарын хэсгүүдээ ашиглан

to count twelve groups of twelve, up to 144.

12 багц 12 буюу нийт 144 хүртэл тоолно.

That's a pretty big improvement,

Үнэхээр том ахиц байлаа.

but we can go higher by finding more countable parts on each hand.

Гэвч гаран дээрх тоолж болох хэсгүүдийг олсноор илүү тоолж болно.

For example, each finger has three sections and three creases

Жишээлбэл, хуруу болгон 3 хэсэг болон 3 нугаралттай

for a total of six things to count.

нийт 6 тоолох юмтай болно.

Now we're up to 24 on each hand,

Одоо бид гар тус бүрт 24 хүртэл тоолон

and using our other hand to mark groups of 24

нөгөө гараа ашиглан хэдэн багц 24 тоолсноо тэмдэглэн

gets us all the way to 576.

576 хүртэл тоолно.

Can we go any higher?

Үүнээс дээш тоолж болох болов уу?

It looks like we've reached the limit of how many different finger parts

Бид хурууны хэсгүүд ашиглан нарийн тоолж болох

we can count with any precision.

дээд хязгаартаа хүрсэн бололтой.

So let's think of something different.

Өөр зүйл бодож үзье.

One of our greatest mathematical inventions

Математикийн томоохон нээлтүүдийн нэг болох

is the system of positional notation,

тооны оронгийн систем юм.

where the placement of symbols allows for different magnitudes of value,

Цифрийн байрлалаас хамаарч өөр өөр утгатай болдогийг

as in the number 999.

999 тооноос харж болно.

Even though the same symbol is used three times,

Хэдий ижил тэмдэг 3 удаа ашиглагдсан ч

each position indicates a different order of magnitude.

байрлал тус бүр өөр утгыг илэрхийлнэ.

So we can use positional value on our fingers to beat our previous record.

Тэгэхээр бид байрлалын арга ашиглан өмнөх

рекордоо эвдэж болно.

Let's forget about finger sections for a moment

Хурууны хэсгүүдийг түр мартаад

and look at the simplest case of having just two options per finger,

хуруу болгонд 2 энгийн сонголт байвал:

up and down.

дээшээ болон доошоо.

This won't allow us to represent powers of ten,

Үүгээр 10-ын зэрэгтыг илэрхийлж болохгүй ч

but it's perfect for the counting system that uses powers of two,

2-ын зэрэгтээр тоолдог

хоёртын тооллын системд төгс таарах арга юм.

otherwise known as binary.

In binary, each position has double the value of the previous one,

Хоёртын тоололд байрлал болгон өмнөхөөсөө 2 дахин илүү.

so we can assign our fingers values of one,

Тэгэхээр бид хуруундаа нэг,

two,

хоёр,

four,

eight,

дөрөв,

найм,

all the way up to 512.

512 хүртэлх утгуудыг оноож болно.

And any positive integer, up to a certain limit,

Тодорхой тоо хүртэлх бүх эерэг тоо

can be expressed as a sum of these numbers.

эдгээр тоонуудын нийлбэрээр илэрхийлэгдэж болно.

For example, the number seven is 4+2+1.

Жишээлбэл, 7 нь 4, 2, 1-ийн нийлбэр.

so we can represent it by having just these three fingers raised.

Зөвхөн эдгээр 3 хуруугаа тэнийлгээд илэрхийлж болно.

Meanwhile, 250 is 128+64+32+16+8+2.

250 нь 128, 64, 32, 16, 8 болон 2-ын нийлбэр.

Одоо бид хэд хүртэл тоолж чадах вэ?

How high an we go now?

That would be the number with all ten fingers raised, or 1,023.

Тэр хязгаар нь 10 хуруугаа өргөсөнтэй тэнцүү тоо буюу 1023 юм.

Is it possible to go even higher?

Үүнээс ч дээш тоолж болох болов уу?

It depends on how dexterous you feel.

Гараа хэр ашиглаж чадахаас хамаарна.

If you can bend each finger just halfway, that gives us three different states -

Хэрав хуруугаа голоор нь нугалж чадвал 3 сонголттой болно:

down,

доошоо,

half bent,

хагас нугалсан,

and raised.

мөн өргөсөн.

Now, we can count using a base-three positional system,

Одоо бид гуравтын тооллын системийг ашиглан

up to 59,048.

59,048 хүртэл тоолж чадна.

And if you can bend your fingers into four different states or more,

Хуруунуудаа 4 болон түүнээс дээш нугалж чадвал

you can get even higher.

үүнээс ч илүү тоолж чадна.

That limit is up to you, and your own flexibility and ingenuity.

Хязгаар нь уян хатан байдал болон ухаанаас тань хамаарна.

Even with our fingers in just two possible states,

Хурууны хоёрхон байрлалыг ашиглаад

we're already working pretty efficiently.

бид аль хэдийн маш үр дүнтэй ажиллаж байна.

In fact, our computers are based on the same principle.

Нэмж дурдахад бидний компьютерүүд ижил аргаар ажилладаг.

Each microchip consists of tiny electrical switches

Микрочип болгон унтарч эсвэл асдаг

that can be either on or off,

бяцхан электрон унтраалгатай.

meaning that base-two is the default way they represent numbers.

Ингэснээр тэдний тоо илэрхийлэх арга нь хоёртын тооллын систем юм.

And just as we can use this system to count past 1,000 using only our fingers,

Энэ системийг ашиглан бид хуруугаараа 1000 давуулан тоолж чадах шиг

computers can perform billions of operations

компьютер түм буман үйлдлүүдийг

just by counting off 1's and 0's.

нэг болон тэгийг тоолон гүйцэтгэдэг.