How high can you count on your fingers? (Spoiler: much higher than 10) - James Tanton

ما أعلى رقم يمكنك عدّه على أصابعك؟ (تلميح: أعلى بكثير من 10) - جايمس تانتون

المترجم: Azhar Kurdi المدقّق: Hani Eldalees

How high can you count on your fingers?

ما هو أعلى رقم يمكنك عدّه على أصابعك؟

It seems like a question with an obvious answer.

يبدو كسؤال ذي إجابة واضحة.

After all, most of us have ten fingers,

فمعظمنا لديه عشرة أصابع،

or to be more precise,

أو لنكون دقيقين أكثر،

eight fingers and two thumbs.

ثمانية أصابع وإبهامان.

This gives us a total of ten digits on our two hands,

يمنحنا هذا مجموع عشرة أرقام على يدينا الاثنتين،

which we use to count to ten.

اللتان نستخدمهما للعدّ إلى عشرة.

It's no coincidence that the ten symbols we use in our modern numbering system

ليس من المصادفة أن الرموز العشرة التي نستخدمها في في نظام الترقيم الحديث

are called digits as well.

تسمّى أرقاماَ أيضاً.

But that's not the only way to count.

لكن هذه ليست الطريقة الوحيدة للعدّ.

In some places, it's customary to go up to twelve on just one hand.

في بعض الأماكن، من المعتاد أن تعدّ إلى اثني عشر على يد واحدة فقط.

How?

كيف؟

Well, each finger is divided into three sections,

حسناً، يقسم كل إصبع إلى ثلاثة أقسام،

and we have a natural pointer to indicate each one, the thumb.

ولدينا مؤشر طبيعي للإشارة إلى كل قسم، وهو الإبهام.

That gives us an easy to way to count to twelve on one hand.

يعطينا ذلك طريقة سهلة للعدّ إلى اثني عشر على يد واحدة.

And if we want to count higher,

وإن أردنا العدّ إلى رقم أكبر،

we can use the digits on our other hand to keep track of each time we get to twelve,

يمكننا استخدام الأرقام على يدنا الأخرى لمتابعة المرات التي نصل فيها إلى اثني عشر،

up to five groups of twelve, or 60.

إلى حد أربع مجموعات من اثني عشر، أو 60.

Better yet, let's use the sections on the second hand

والأفضل من ذلك، دعنا نستخدم الأقسام على اليد الثانية

to count twelve groups of twelve, up to 144.

لنحسب اثني عشر مجموعة من اثني عشر، إلى حد 144.

That's a pretty big improvement,

هذا تحسّن كبير جداً،

but we can go higher by finding more countable parts on each hand.

لكن يمكننا أن نعدّ لعدد أكبر عن طريق إيجاد المزيد من الأجزاء القابلة للعدّ على كل يد.

For example, each finger has three sections and three creases

على سبيل المثال، كل إصبع له ثلاثة أقسام و ثلاث ثنيات

for a total of six things to count.

بما مجموعه ستة أمور لعدّها.

Now we're up to 24 on each hand,

الآن لدينا 24 على كل يد،

and using our other hand to mark groups of 24

واستخدام يدنا الأخرى للإشارة إلى مجموعات من 24

gets us all the way to 576.

يوصلنا إلى حد 576.

Can we go any higher?

هل يمكننا الوصول لعدد أكبر؟

It looks like we've reached the limit of how many different finger parts

يبدو أننا وصلنا إلى أقصى عدد من أجزاء الأصابع المختلفة

we can count with any precision.

التي يمكننا العدّ عليها بقدر من الدقة.

So let's think of something different.

لذلك دعنا نفكر بشيء مختلف.

One of our greatest mathematical inventions

أحد أعظم اختراعاتنا في مجال الرياضيات

is the system of positional notation,

هو نظام التدوين الموضعي،

where the placement of symbols allows for different magnitudes of value,

حيث تسمح مواقع الرموز بحجم أكبر من القيم،

as in the number 999.

كما في الرقم 999.

Even though the same symbol is used three times,

على الرغم من استخدام الرمز ذاته ثلاثة مرات،

each position indicates a different order of magnitude.

كل موقع يدل على ترتيب مختلف للحجم.

So we can use positional value on our fingers to beat our previous record.

لذلك يمكننا أن نستخدم القيمة الموضعية على أصابعنا لكسر رقمنا القياسي السابق.

Let's forget about finger sections for a moment

دعنا ننسى أقسام الأصابع للحظة

and look at the simplest case of having just two options per finger,

ونستخدم طريقة أبسط بأن يكون هناك خياران فقط لكل إصبع،

up and down.

أعلى وأسفل.

This won't allow us to represent powers of ten,

لن يسمح لنا هذا بتمثيل قوى العشرة،

but it's perfect for the counting system that uses powers of two,

لكنه مثالي لنظام العدّ الذي يستخدم قوى الرقم اثنين،

otherwise known as binary.

والمعروف بالنظام الثنائي.

In binary, each position has double the value of the previous one,

في النظام الثنائي، يحمل كل موقع ضعف قيمة الموقع السابق،

so we can assign our fingers values of one,

لذلك يمكننا أن نعيّن لأصابعنا قيمة واحد،

two,

اثنان،

four,

eight,

أربعة،

ثمانية،

all the way up to 512.

وحتى عدد 512.

And any positive integer, up to a certain limit,

وأي عدد صحيح إلى حد معيّن،

can be expressed as a sum of these numbers.

يمكن التعبير عنه كمجموع لهذه الأعداد.

For example, the number seven is 4+2+1.

على سبيل المثال، العدد سبعة هو 4 + 2 + 1.

so we can represent it by having just these three fingers raised.

فيمكننا التعبير عنه عن طريق رفع تلك الثلاثة أصابع فقط.

Meanwhile, 250 is 128+64+32+16+8+2.

في الوقت ذاته، 250 هو 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 2.

How high an we go now?

ما هو أعلى عدد يمكننا الوصول إليه الأن؟

That would be the number with all ten fingers raised, or 1,023.

سيكون هو العدد الذي يمثله رفع الأصابع العشرة، أو العدد 1,023.

Is it possible to go even higher?

هل من الممكن أن نعدّ لأعلى من ذلك؟

It depends on how dexterous you feel.

يعتمد الأمر على مدى براعتك.

If you can bend each finger just halfway, that gives us three different states -

إن كان باستطاعتك ثني كل إصبع إلى المنتصف، سيعطينا ذلك ثلاث حالات مختلفة،

down,

أسفل،

half bent,

ونصف مثني،

and raised.

ومرفوعة.

Now, we can count using a base-three positional system,

الأن، يمكننا العد باستخدام نظام موضعي ثلاثي،

up to 59,048.

حتى العدد 59,048.

And if you can bend your fingers into four different states or more,

وإن كان بإمكانك ثني أصابعك إلى أربع حالات مختلفة أو أكثر،

you can get even higher.

يمكنك الوصول إلى أعداد أكبر.

That limit is up to you, and your own flexibility and ingenuity.

الحد الأقصى يعود لك، و لمرونتك وإبداعك الخاص.

Even with our fingers in just two possible states,

وحتى بأصابعنا في حالتين ممكنتين فقط،

we're already working pretty efficiently.

نحن نعمل بكفاءة جيدة مسبقاً.

In fact, our computers are based on the same principle.

في الحقيقة، أجهزة الكومبيوتر الخاصة بنا مصممة على المبدأ ذاته.

Each microchip consists of tiny electrical switches

تتكون كل رقاقة إلكترونية من مفاتيح كهربية بالغة الصغر

that can be either on or off,

التي يمكن تشغيلها أو إيقافها،

meaning that base-two is the default way they represent numbers.

مما يعني أن النظام الثنائي هو الطريقة الافتراضية لتمثيل الأرقام.

And just as we can use this system to count past 1,000 using only our fingers,

وكما أنه يمكننا استخدام هذا النظام للعدّ لأعلى من 1,000 باستخدام أصابعنا فقط،

computers can perform billions of operations

تستطيع أجهزة الكومبيوتر تنفيذ بلايين العمليات

just by counting off 1's and 0's.

بمجرد العدّ من العدد 1 والصفر.