How high can you count on your fingers? (Spoiler: much higher than 10) - James Tanton

Translator: dornaz kheibargir Reviewer: hassan qodusi

How high can you count on your fingers?

تا چند می‌تونید با انگشتان‌تون بشمارید؟

It seems like a question with an obvious answer.

مثل یک سوال با جوابی واضح به نظر می‌رسه

After all, most of us have ten fingers,

چون بیشتر ما ۱۰ تا انگشت داریم

or to be more precise,

و اگه بخوایم دقیق‌تر بگیم

eight fingers and two thumbs.

هشت تا انگشت و دو تا شست.

This gives us a total of ten digits on our two hands,

این امر ۱۰ رقم بر روی هر دو دست به ما می‌ده

which we use to count to ten.

که برای شمارش تا ۱۰ ازش استفاده می‌کنیم

It's no coincidence that the ten symbols we use in our modern numbering system

اتفاقی نیست که ۱۰ نشانه‌ای که در سیستم شمارشی نوین خود

are called digits as well.

ازش استفاده می‌کنیم هم انگشت (digit) نامیده می‌شود

But that's not the only way to count.

اما این تنها روش شمردن نیست

In some places, it's customary to go up to twelve on just one hand.

در بعضی جاها، عادت دارند تا ۱۲ رقم رو تنها با یک دست بشمارند،

How?

چطوری؟

Well, each finger is divided into three sections,

خب هر انگشت به سه بخش تقسیم شده

and we have a natural pointer to indicate each one, the thumb.

و ما یک اشاره‌گر طبیعی برای نشان‌دادن همه‌شون داریم، انگشت شست

That gives us an easy to way to count to twelve on one hand.

این انگشت به سادگی امکان شمردن تا ۱۲ با یک دست رو می‌ده

And if we want to count higher,

و اگه بخوایم بیشترم بشماریم

we can use the digits on our other hand to keep track of each time we get to twelve,

می‌توانیم از انگشتان دست دیگه استفاده کنیم تا هر زمان که به ۱۲ رسیدیم ادامه بدیم

up to five groups of twelve, or 60.

حداکثر ۵ گروه ۱۲ تایی یا ۶۰

Better yet, let's use the sections on the second hand

از این هم بهتر، بیایید از بندهای دست دوم استفاده کنیم

to count twelve groups of twelve, up to 144.

که ۱۲ گروه ۱۲ تایی بشماریم یعنی تا ۱۴۴

That's a pretty big improvement,

این بهبود بسیار بزرگیه،

but we can go higher by finding more countable parts on each hand.

اما ما با یافتن بخش‌های قابل شمارش بیشتر می‌توانیم بیشتر هم بشماریم

For example, each finger has three sections and three creases

برای مثال هر انگشت سه بند و ۳ خط داره

for a total of six things to count.

کلاً ۶ چیز برای شمارش

Now we're up to 24 on each hand,

حالا تا ۲۴ تا روی هر دست داریم

and using our other hand to mark groups of 24

و از دست دیگه برای علامت‌گذاری گروه‌های ۲۴ تایی استفاده می‌کنیم

gets us all the way to 576.

که ما رو تا ۵۷۶ می‌بره. (۲۴×۲۴)

Can we go any higher?

می‌تونیم بیشتر هم بشماریم؟

It looks like we've reached the limit of how many different finger parts

به نظر می‌آد ما به محدودیت بخش‌های مختلف انگشت رسیدیم

we can count with any precision.

که بتونیم با دقت بشماریم.

So let's think of something different.

پس بذارید به یک چیز متفاوت فکر کنیم

One of our greatest mathematical inventions

یکی از بزگترین ابداعات ریاضی

is the system of positional notation,

نشانه‌گذاری مرتبه‌ای است،

where the placement of symbols allows for different magnitudes of value,

که جایگاه نشانه‌ها مقدار ارزشی متفاوتی به ما می‌دهد

as in the number 999.

مثل عدد ۹۹۹.

Even though the same symbol is used three times,

حتی اگر یک نشانه یکسان سه مرتبه استفاده بشه

each position indicates a different order of magnitude.

هر جایگاه، نشان دهنده‌ی مرتبه‌ی ارزشی متفاوتی است

So we can use positional value on our fingers to beat our previous record.

پس می‌توانیم با استفاده از ارزش جایگاهی در انگشتان‌مون رکورد قبلی‌مون رو بشکنیم.

Let's forget about finger sections for a moment

بذارید یک لحظه بندهای انگشت رو فراموش کنیم

and look at the simplest case of having just two options per finger,

و به ساده‌ترین مورد یعنی داشتن تنها دو گزینه در هر انگشت نگاه کنید،

up and down.

باز و بسته.

This won't allow us to represent powers of ten,

این روش امکان نشان دادن توان‌های ۱۰ را به ما نمی‌دهد.

but it's perfect for the counting system that uses powers of two,

اما برای سیستم شمارشی‌ای که با توان‌های دو کار می‌کنه عالیه

otherwise known as binary.

نام دیگر آن دودویی است.

In binary, each position has double the value of the previous one,

در سیستم دودویی هر موقعیت ارزش دو برابر نسبت به قبلی داره،

so we can assign our fingers values of one,

پس ما می‌تونیم به انگشتان‌مون ارزش یک

two,

دو،

four,

eight,

چهار،

هشت،

all the way up to 512.

به هین ترتیب تا ۵۱۲ را بدهیم

And any positive integer, up to a certain limit,

و هر عدد صحیح مثبتی حداکثر تا یک حد مشخص

can be expressed as a sum of these numbers.

می‌تواند به شکل مجموع این اعداد بیان شود

For example, the number seven is 4+2+1.

برای مثال عدد ۷ برابر ۴+۲+۱ است.

so we can represent it by having just these three fingers raised.

پس می‌تونیم با باز کردن این سه انگشت عدد ۷ را نشان دهیم.

Meanwhile, 250 is 128+64+32+16+8+2.

در همین حال ۲۵۰ برابر با ۱۲۸+۶۴+۳۲+۱۶+۸+۲ است

How high an we go now?

حالا تا چند می‌توانیم بشماریم؟

That would be the number with all ten fingers raised, or 1,023.

عددی که می‌شه با بازکردن تمام انگشتان بهش رسید ۱/۰۲۳ است،

Is it possible to go even higher?

آیا از این بیشتر هم می‌شود شمرد؟

It depends on how dexterous you feel.

این بستگی به مهارت شما داره

If you can bend each finger just halfway, that gives us three different states -

اگه بتونین انگشتان‌تون رو نیمه‌بسته کنید، سه موقعیت متفاوت رو می‌ده

down,

بسته،

half bent,

نیمه‌بسته،

and raised.

و باز

Now, we can count using a base-three positional system,

حالا می‌تونیم با سیستمی بر مبنای سه بشماریم

up to 59,048.

حداکثر تا ۵۹٫۰۴۸

And if you can bend your fingers into four different states or more,

و اگه بتونین انگشتان‌تون رو به چهار موقعیت یا بیشتر خم کنید،

you can get even higher.

می‌تونین از این بیشتر هم بشمارید

That limit is up to you, and your own flexibility and ingenuity.

این محدودیت به شما و انعطاف و هوش‌تون بستگی داره،

Even with our fingers in just two possible states,

حتی اگه انگشتان‌مون تنها ۲ موقعیت ممکنه رو داشته باشن،

we're already working pretty efficiently.

ما همچنان خیلی کارآمد کار می‌کنیم.

In fact, our computers are based on the same principle.

در اصل کامپیوترهایمان بر پایه‌ی قاعده‌ای مشابه هستند

Each microchip consists of tiny electrical switches

هر میکروچیپ کلیدهای الکترونیکی ریزی داره

that can be either on or off,

که می‌تونه روشن یا خاموش باشه

meaning that base-two is the default way they represent numbers.

بدان معنا که مبنای دو، برای آن‌ها روش پیش‌فرض نمایش اعداد است.

And just as we can use this system to count past 1,000 using only our fingers,

و همان‌طور که ما می‌تونیم بیشتر از ۱٫۰۰۰ را تنها با انگشتان‌مون بشماریم.

computers can perform billions of operations

کامپیوترها تنها با شمارش یک‌ها و صفرها

just by counting off 1's and 0's.

می‌توانند میلیاردها کار را انجام دهند.