How high can you count on your fingers? (Spoiler: much higher than 10) - James Tanton

เรานับด้วยนิ้วมือได้มากแค่ไหน (เฉลย: มากกว่าสิบ) - เจมส์ แทนตัน (James Tanton)

Translator: Kelwalin Dhanasarnsombut Reviewer: Rawee Ma

How high can you count on your fingers?

เรานับด้วยนิ้วมือได้มากแค่ไหน

It seems like a question with an obvious answer.

ดูเหมือนว่านี่จะเป็นคำถาม ที่มีคำตอบชัดเจนอยู่แล้ว

After all, most of us have ten fingers,

อย่างไรซะ พวกเราส่วนใหญ่มีนิ้วอยู่สิบนิ้ว

or to be more precise,

หรือเอาให้ชัด ๆ ก็คือ

eight fingers and two thumbs.

เรามีนิ้วแปดนิ้วและหัวแม่มืออีกสองนิ้ว

This gives us a total of ten digits on our two hands,

นั่นทำให้เรามีนิ้ว (digit) อยู่สิบนิ้วบนมือทั้งสองข้าง

which we use to count to ten.

ซึ่งเราใช้นับเลขได้ถึงสิบ

It's no coincidence that the ten symbols we use in our modern numbering system

นี่ไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่สัญลักษณ์สิบ ที่เราใช้ในการนับเลขในปัจจุบัน

are called digits as well.

จะถูกเรียกว่า หลักนับ (digit) เช่นกัน

But that's not the only way to count.

แต่นั่นไม่ใช่วิธีนับเพียงวิธีเดียว

In some places, it's customary to go up to twelve on just one hand.

ในบางแห่ง มันเป็นปกติที่เราจะนับได้ มากที่สุดถึงสิบสองด้วยมือเพียงข้างเดียว

How?

ทำอย่างไรน่ะหรือ

Well, each finger is divided into three sections,

ก็แต่ละนิ้วนั้นถูกแบ่งเป็นสามส่วน

and we have a natural pointer to indicate each one, the thumb.

และเรามีตัวชี้ตามธรรมชาติอยู่แล้ว ซึ่งก็คือหัวแม่มือ

That gives us an easy to way to count to twelve on one hand.

นั่นเป็นวิธีการนับง่าย ๆ ที่จะนับถึงสิบสองด้วยมือเพียงข้างเดียว

And if we want to count higher,

และถ้าเราต้องการนับให้ได้มากกว่านั้น

we can use the digits on our other hand to keep track of each time we get to twelve,

เราสามารถใช้นิ้วของมืออีกข้าง เพื่อติดตามว่าเรานับครบสิบสองแล้วกี่ครั้ง

up to five groups of twelve, or 60.

ซึ่งทำได้มากที่สุดห้าครั้ง ครั้งละสิบสอง นั่นคิดเป็น 60

Better yet, let's use the sections on the second hand

ยิ่งกว่านั้น ลองใช้ส่วนที่อยู่บนมือข้างที่สอง

to count twelve groups of twelve, up to 144.

เพื่อนับสิบสองครั้ง ของแต่ละกลุ่มที่มีอยู่สิบสอง ซึ่งนั่นก็มากถึง 144

That's a pretty big improvement,

นั่นดีกว่าเดิมมากเลยทีเดียว

but we can go higher by finding more countable parts on each hand.

แต่เรายังนับได้มากกว่านั้น โดยใช้ส่วนที่ใช้นับได้บนมือแต่ละข้าง

For example, each finger has three sections and three creases

ยกตัวอย่างเช่น แต่ละนิ้วมีสามส่วน และมีรอยพับสามแห่ง

for a total of six things to count.

ซึ่งคิดรวมกันเป็นหกสิ่งที่ใช้นับได้

Now we're up to 24 on each hand,

ทีนี้ เรามีสิ่งที่ใช้นับ 24 สิ่งในแต่ละมือ

and using our other hand to mark groups of 24

และด้วยการใช้มืออีกข้างนับกลุ่มของ 24

gets us all the way to 576.

เราจะนับได้มากถึง 576

Can we go any higher?

เรายังนับได้มากกว่านี้อีกไหม

It looks like we've reached the limit of how many different finger parts

ดูเหมือนว่าเรามาถึงจุดสิ้นสุด ของส่วนต่าง ๆ ของนิ้ว

we can count with any precision.

ที่เราจะสามารถใช้นับได้อย่างแม่นยำแล้ว

So let's think of something different.

ถ้าอย่างนั้น มาลองคิดให้ต่างออกไปจากเดิม

One of our greatest mathematical inventions

หนึ่งในการประดิษฐ์ทางคณิตศาสตร์ ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของเรา

is the system of positional notation,

คือระบบการให้กำหนดตำแหน่ง

where the placement of symbols allows for different magnitudes of value,

ซึ่งการจัดตำแหน่งของสัญลักษณ์ ทำให้เกิดขนาดที่แตกต่างกันของค่า

as in the number 999.

อย่างเช่น ตัวเลข 999

Even though the same symbol is used three times,

แม้ว่าสัญลักษณ์เดียวกันจะถูกใช้ถึงสามหน

each position indicates a different order of magnitude.

แต่ละตำแหน่งบ่งบอก ลำดับที่แตกต่างกันของขนาด

So we can use positional value on our fingers to beat our previous record.

ฉะนั้น เราสามารถใช้ค่าเชิงตำแหน่ง กับนิ้วของเราเพื่อเอาชนะสถิติเดิมของเรา

Let's forget about finger sections for a moment

ลืมเรื่องส่วนของนิ้วไปสักเดี๋ยว

and look at the simplest case of having just two options per finger,

และลองมาคิดดูง่าย ๆ ว่า เรามีเพียงสองตัวเลือกต่อนิ้ว

up and down.

คือขึ้นกับลง

This won't allow us to represent powers of ten,

นั่นไม่สามารถแทนที่ระบบเลขยกกำลังสิบได้

but it's perfect for the counting system that uses powers of two,

แต่มันเหมาะสมเป็นอย่างยิ่งกับระบบการนับ ที่ใช้เลขยกกำลังสอง

otherwise known as binary.

หรือที่เรียกกันว่า ฐานสอง

In binary, each position has double the value of the previous one,

ในระบบฐานสอง แต่ละตำแหน่งมีค่าเป็น สองเท่าของตำแหน่งที่อยู่ก่อนหน้ามัน

so we can assign our fingers values of one,

ฉะนั้นเราสามารถใช้นิ้วของเรากำหนดค่าหนึ่ง

two,

สอง

four,

eight,

สี่

แปด

all the way up to 512.

ไปเรื่อย ๆ จนถึง 512

And any positive integer, up to a certain limit,

และตำแหน่งจำนวนเต็มใด ๆ ถึงขอบเขตหนึ่ง ๆ

can be expressed as a sum of these numbers.

สามารถถูกแสดงออกมา เป็นผลรวมของจำนวนเหล่านี้

For example, the number seven is 4+2+1.

ยกตัวอย่างเช่น เจ็ด คือ 4+2+1

so we can represent it by having just these three fingers raised.

ฉะนั้น เราสามารถแทนมันได้ ด้วยสามนิ้วเหล่านี้ที่ถูกยกขึ้น

Meanwhile, 250 is 128+64+32+16+8+2.

ในขณะที่ 250 คือ 128+64+32+16+8+2

How high an we go now?

เรานับได้มากแค่ไหนล่ะตอนนี้

That would be the number with all ten fingers raised, or 1,023.

นั่นคือจำนวนที่นิ้วทั้งสิบถูกยกขึ้น หรือ 1,023

Is it possible to go even higher?

มันเป็นไปได้หรือไม่ ที่จะนับจำนวนที่มากกว่านั้น

It depends on how dexterous you feel.

มันขึ้นอยู่กับว่าคุณคล่องขนาดไหน

If you can bend each finger just halfway, that gives us three different states -

ถ้าคุณสามารถงอนิ้วแต่ละนิ้วเพียงครึ่งหนึ่ง นั่นจะทำให้เราได้สามแบบ

down,

ลง

half bent,

ครึ่ง

and raised.

และขึ้น

Now, we can count using a base-three positional system,

ทีนี้ เราสามารถนับโดยใช้ระบบ ที่พึ่งตำแหน่งทั้งสามนี้

up to 59,048.

ได้มากถึง 59,048

And if you can bend your fingers into four different states or more,

และถ้าคุณงอนิ้วเป็นสี่แบบ หรือมากกว่านั้น

you can get even higher.

คุณสามารถนับได้มากขึ้น

That limit is up to you, and your own flexibility and ingenuity.

ขอบเขตจึงขึ้นอยู่กับคุณ และความยืดหยุ่นและช่างคิดของคุณ

Even with our fingers in just two possible states,

แม้แต่การใช้นิ้วของเรา ในการนับที่มีความแตกต่างสองแบบ

we're already working pretty efficiently.

เราก็ค่อนข้างจะสามารถใช้งานมัน ได้อย่างมีประสิทธิภาพแล้ว

In fact, our computers are based on the same principle.

อันที่จริง คอมพิวเตอร์ของเรา ใช้หลักการเดียวกัน

Each microchip consists of tiny electrical switches

แต่ละไมโครชิพ ประกอบด้วยสวิตซ์ไฟฟ้าเล็ก ๆ

that can be either on or off,

ที่สามารถเปิดหรือปิดได้

meaning that base-two is the default way they represent numbers.

นั่นหมายถึงระบบฐานสอง คือวิธีการพื้นฐานที่ใช้แสดงตัวเลข

And just as we can use this system to count past 1,000 using only our fingers,

และเช่นเดียวกับที่เราสามารถใช้ระบบนี้ ในการนับด้วยนิ้วของเราได้มากกว่า 1,000

computers can perform billions of operations

คอมพิวเตอร์สามารถดำเนินการสิ่งต่าง ๆ ได้มากมายหลายพันล้านอย่าง

just by counting off 1's and 0's.

ด้วยการนับจาก 1 หรือ 0