How high can you count on your fingers? (Spoiler: much higher than 10) - James Tanton

Tłumaczenie: Aleksandra Karabula Korekta: Rysia Wand

How high can you count on your fingers?

Do ilu możesz liczyć na palcach?

It seems like a question with an obvious answer.

Odpowiedź na to pytanie wydaje się oczywista.

After all, most of us have ten fingers,

W końcu większość z nas ma 10 palców

or to be more precise,

lub, bardziej precyzyjnie,

eight fingers and two thumbs.

osiem palców i dwa kciuki.

This gives us a total of ten digits on our two hands,

Co daje nam razem

10 palców na obu dłoniach,

which we use to count to ten.

których używamy, licząc do 10.

It's no coincidence that the ten symbols we use in our modern numbering system

To nie przypadek, że 10 symboli współczesnego systemu liczbowego

are called digits as well.

nazywamy po angielsku "digits" (palce).

But that's not the only way to count.

To nie jedyny sposób na liczenie.

In some places, it's customary to go up to twelve on just one hand.

W niektórych miejscach

normą jest liczenie do 12 na jednej dłoni.

How?

Jak?

Well, each finger is divided into three sections,

Każdy palec dzieli się na 3 sekcje

and we have a natural pointer to indicate each one, the thumb.

plus mamy naturalny wskaźnik, kciuk, by wskazać każdą z sekcji.

That gives us an easy to way to count to twelve on one hand.

Dzięki czemu można łatwo liczyć do 12 na jednej dłoni.

And if we want to count higher,

A jeśli chcemy liczyć dalej,

we can use the digits on our other hand to keep track of each time we get to twelve,

można użyć drugiej dłoni za każdym razem, gdy dojdziemy do 12,

up to five groups of twelve, or 60.

aż do 5 grup po 12 czyli 60.

Better yet, let's use the sections on the second hand

Idąc dalej, można użyć drugiej dłoni,

to count twelve groups of twelve, up to 144.

żeby uzyskać 12 grup po 12, aż do 144.

That's a pretty big improvement,

To całkiem spory postęp,

but we can go higher by finding more countable parts on each hand.

ale można pójść dalej, odnajdując kolejne ruchome części dłoni.

For example, each finger has three sections and three creases

Na przykład, każdy palec ma 3 sekcje plus 3 dzielące je linie,

for a total of six things to count.

co daje nam razem 6 elementów do odliczania.

Now we're up to 24 on each hand,

Teraz mamy ich aż 24 na każdej dłoni,

and using our other hand to mark groups of 24

używając drugiej do oznaczania grup po 24

gets us all the way to 576.

dochodzimy do 576.

Can we go any higher?

Możemy pójść dalej?

It looks like we've reached the limit of how many different finger parts

Wygląda na to, że osiągnęliśmy limit części palców,

we can count with any precision.

które można precyzyjnie policzyć.

So let's think of something different.

Wymyślmy coś innego.

One of our greatest mathematical inventions

Jednym z największych matematycznych odkryć

is the system of positional notation,

są systemy pozycyjne,

where the placement of symbols allows for different magnitudes of value,

gdzie w zależności od miejsca symbol ma różną wartość,

as in the number 999.

jak w liczbie 999.

Even though the same symbol is used three times,

Chociaż tego samego symbolu użyto 3 razy,

each position indicates a different order of magnitude.

to każde miejsce wskazuje inną wartość.

So we can use positional value on our fingers to beat our previous record.

Można więc użyć pozycjonowania, żeby pobić nasz poprzedni rekord.

Let's forget about finger sections for a moment

Zapomnijmy na moment o sekcjach palców

and look at the simplest case of having just two options per finger,

i przyjrzyjmy się przypadkowi gdzie palec ma tylko dwie możliwości:

up and down.

w górę i w dół.

This won't allow us to represent powers of ten,

Nie pozwoli nam to przedstawić dziesiątek,

but it's perfect for the counting system that uses powers of two,

ale będzie idealne dla systemu dwójkowego,

otherwise known as binary.

zwanego inaczej binarnym.

In binary, each position has double the value of the previous one,

W systemie binarnym każde miejsce ma dwa razy większą wartość od poprzedniej,

so we can assign our fingers values of one,

Można więc nadać palcom wartości jeden,

two,

dwa,

four,

eight,

cztery,

osiem,

all the way up to 512.

aż do 512.

And any positive integer, up to a certain limit,

A każda liczba całkowita dodatnia, do pewnej granicy,

can be expressed as a sum of these numbers.

może być przedstawiona jako suma tych liczb.

For example, the number seven is 4+2+1.

Na przykład cyfra 7 to 4+2+1,

so we can represent it by having just these three fingers raised.

więc do jej przedstawienia wystarczą 3 palce.

Meanwhile, 250 is 128+64+32+16+8+2.

250 natomiast to 128+64+32+16+8+2.

How high an we go now?

Jak daleko możemy pójść tym razem?

That would be the number with all ten fingers raised, or 1,023.

Byłoby to 1023, liczba równa 10 podniesionym palcom.

Is it possible to go even higher?

Czy można pójść jeszcze dalej?

It depends on how dexterous you feel.

Zależy od twojej zręczności.

If you can bend each finger just halfway, that gives us three different states -

Jeśli możesz zgiąć każdy palec, to mamy już 3 możliwości:

down,

w dół,

half bent,

zgięty,

and raised.

i w górę.

Now, we can count using a base-three positional system,

Teraz używając naszego systemu opartego na trzech możliwościach,

możemy liczyć

up to 59,048.

do 59 048.

And if you can bend your fingers into four different states or more,

A jeśli możesz zgiąć palce na cztery lub więcej sposobów,

you can get even higher.

możesz dojść nawet wyżej.

That limit is up to you, and your own flexibility and ingenuity.

Wszystko zależy od twojej zręczności i pomysłowości.

Even with our fingers in just two possible states,

Nawet zginając palce jedynie góra-dół,

we're already working pretty efficiently.

działamy już całkiem efektywnie.

In fact, our computers are based on the same principle.

W rzeczywistości, nasze komputery są oparte na tej samej zasadzie.

Each microchip consists of tiny electrical switches

Każdy mikroprocesor składa się z malutkich elektrycznych przekaźników,

that can be either on or off,

które mogą być albo włączone, albo wyłączone,

meaning that base-two is the default way they represent numbers.

co oznacza, że system dwójkowy jest ich domyślnym sposobem przedstawiania liczb.

And just as we can use this system to count past 1,000 using only our fingers,

I tak jak my możemy tym systemem liczyć na palcach do ponad 1000,

computers can perform billions of operations

tak komputery mogą przeprowadzać miliardy operacji

just by counting off 1's and 0's.

odliczając jedynie 0 i 1.