How high can you count on your fingers? (Spoiler: much higher than 10) - James Tanton

Até quanto podemos contar pelos dedos das mãos? (Muito mais do que 10) — James Tanton

Tradutor: Margarida Ferreira Revisora: Isabel Vaz Belchior

How high can you count on your fingers?

Até quanto podemos contar pelos dedos das mãos?

It seems like a question with an obvious answer.

Parece ser uma pergunta com uma resposta óbvia.

After all, most of us have ten fingers,

Afinal, quase todos temos 10 dedos nas mãos

or to be more precise,

ou, para ser mais preciso,

eight fingers and two thumbs.

oito dedos e dois polegares.

This gives us a total of ten digits on our two hands,

Isso dá-nos um total de 10 dígitos nas duas mãos

which we use to count to ten.

que usamos para contar até 10.

It's no coincidence that the ten symbols we use in our modern numbering system

Não é por acaso que os 10 símbolos que usamos no nosso sistema numérico

are called digits as well.

também se chamam dígitos.

But that's not the only way to count.

Mas não é essa a única maneira de contar.

In some places, it's customary to go up to twelve on just one hand.

Nalguns locais, é habitual chegar a 12 apenas numa mão.

How?

Como assim?

Well, each finger is divided into three sections,

Cada dedo está dividido em três secções, com exceção dos polegares

and we have a natural pointer to indicate each one, the thumb.

que servem de apontador natural para cada um dos outros dedos.

That gives us an easy to way to count to twelve on one hand.

Isso dá-nos uma forma fácil de contra até 12, numa só mão.

And if we want to count higher,

Se quisermos continuar a contar,

we can use the digits on our other hand to keep track of each time we get to twelve,

podemos usar os dígitos da outra mão para registar cada vez que chegamos a 12,

up to five groups of twelve, or 60.

o que dá cinco grupos de 12, ou seja um total de 60.

Better yet, let's use the sections on the second hand

Melhor ainda, podemos usar as secções dos quatro dedos da segunda mão

to count twelve groups of twelve, up to 144.

para contar 12 grupos de 12, ou seja, até 144.

That's a pretty big improvement,

É uma melhoria considerável,

but we can go higher by finding more countable parts on each hand.

mas ainda podemos ir mais longe descobrindo outras partes em cada mão.

For example, each finger has three sections and three creases

Por exemplo, cada dedo que tem três secções, tem três dobras

for a total of six things to count.

num total de seis coisas que podemos contar.

Now we're up to 24 on each hand,

Agora, chegamos a 24 em cada mão.

and using our other hand to mark groups of 24

Usando a outra mão para registar grupos de 24,

gets us all the way to 576.

conseguimos contar até 576.

Can we go any higher?

Podemos ir ainda mais longe?

It looks like we've reached the limit of how many different finger parts

Parece que chegámos ao limite

da quantidade de partes diferentes dos dedos

we can count with any precision.

que podemos contar com rigor.

So let's think of something different.

Então, pensemos noutra coisa diferente.

One of our greatest mathematical inventions

Uma das maiores invenções matemáticas

is the system of positional notation,

é o sistema da notação posicional,

where the placement of symbols allows for different magnitudes of value,

em que a colocação de símbolos permite diferentes grandezas de valor,

as in the number 999.

como no número 999.

Even though the same symbol is used three times,

Embora seja usado três vezes o mesmo símbolo,

each position indicates a different order of magnitude.

cada posição indica uma ordem de grandeza diferente.

So we can use positional value on our fingers to beat our previous record.

Por isso, podemos usar o valor posicional dos dedos para bater o recorde anterior.

Let's forget about finger sections for a moment

Esqueçamos por instantes as secções dos dedos

and look at the simplest case of having just two options per finger,

e olhemos para o caso mais simples de ter apenas duas opções por dedo,

up and down.

esticado e dobrado.

This won't allow us to represent powers of ten,

Isto não nos permite representar potências de 10,

but it's perfect for the counting system that uses powers of two,

mas é perfeito para o sistema de contagem que usa potências de dois,

otherwise known as binary.

ou seja, o que é conhecido por sistema binário.

In binary, each position has double the value of the previous one,

No sistema binário, cada posição tem o dobro do valor do anterior,

so we can assign our fingers values of one,

portanto, podemos atribuir aos dedos um valor de um,

two,

dois, quarto,

four,

eight,

oito,

all the way up to 512.

e, sucessivamente, até 512.

And any positive integer, up to a certain limit,

Qualquer número inteiro positivo até um certo limite

can be expressed as a sum of these numbers.

pode ser expresso como a soma destes números.

For example, the number seven is 4+2+1.

Por exemplo, o número sete é 4+2+1,

so we can represent it by having just these three fingers raised.

por isso, podemos representá-lo esticando apenas estes três dedos.

Meanwhile, 250 is 128+64+32+16+8+2.

Entretanto, 250 é igual a 128+64+32+16+8+2.

How high an we go now?

Até onde é que podemos chegar?

That would be the number with all ten fingers raised, or 1,023.

Até ao número com os 10 dedos esticados, ou seja, 1023.

Is it possible to go even higher?

Será possível ir mais além?

It depends on how dexterous you feel.

Depende da habilidade de cada um.

If you can bend each finger just halfway, that gives us three different states -

Se conseguirem dobrar cada dedo só até metade,

isso dá-nos três estados diferentes:

down,

dobrado,

half bent,

meio dobrado

and raised.

e esticado.

Now, we can count using a base-three positional system,

Agora, podemos contar usando um sistema posicional de base três,

up to 59,048.

chegando até 59 048.

And if you can bend your fingers into four different states or more,

E, se conseguirem dobrar os dedos em quatro posições diferentes, ou mais,

you can get even higher.

ainda podem chegar mais longe.

That limit is up to you, and your own flexibility and ingenuity.

Esse limite depende de vós e da vossa flexibilidade e engenho.

Even with our fingers in just two possible states,

Mesmo com os dedos em apenas duas posições possíveis,

we're already working pretty efficiently.

já funcionamos muito eficazmente.

In fact, our computers are based on the same principle.

Na verdade, os computadores baseiam-se no mesmo princípio.

Each microchip consists of tiny electrical switches

Cada "microchip" é formado por delgados interruptores elétricos

that can be either on or off,

que podem estar ligados ou desligados,

meaning that base-two is the default way they represent numbers.

o que significa que é numa base dois que os números são representados.

And just as we can use this system to count past 1,000 using only our fingers,

Tal como podemos usar este sistema

para contar até mais de mil, apenas com os dedos,

computers can perform billions of operations

os computadores executam milhares de milhões de operações

just by counting off 1's and 0's.

apenas contando com uns e zeros.