A clever way to estimate enormous numbers - Michael Mitchell

المترجم: khalid marbou المدقّق: Anwar Dafa-Alla

Whether you like it or not, we use numbers every day.

سواء شئنا أم أبينا، فإننا نستخدم الأرقام يوميا.

Some numbers, such as the speed of sound,

بعض الأرقام، مثل سرعة الصوت، صغيرة ويسهل التعامل معها.

are small and easy to work with.

Other numbers, such as the speed of light,

الأرقام الأخرى، مثل سرعة الضوء، أكبر بكثير والتعامل معها متعب.

are much larger and cumbersome to work with.

We can use scientific notation to express these large numbers

يمكننا استخدام الكتابة العلمية للتعبير عن هذه الأعداد الكبيرة في شكل أكثر قابلية للإدارة.

in a much more manageable format.

So we can write 299,792,458 meters per second

لذا يمكن أن نكتب 299792458 متر في الثانية كـ 3 ضرب عشرة أس 8 أمتار في الثانية.

as 3.0 times 10 to the eighth meters per second.

Correct scientific notation

تتطلب الكتابة العلمية الصحيحة أن يكون العنصر الأول رقما في المجال ما بين 1 و10،

requires that the first term range in value

so that it is greater than one but less than 10,

والعنصر الثاني يمثل الأس العشري، أو رتبة المقدار، والذي نضربه في العنصر الأول،

and the second term represents the power of 10 or order of magnitude

by which we multiply the first term.

يمكننا استخدام الأس العشري كأداة لإجراء تقديرات سريعة حين لا نحتاج إلى القيمة الدقيقة للرقم.

We can use the power of 10 as a tool in making quick estimations

when we do not need or care for the exact value of a number.

For example, the diameter of an atom

على سبيل المثال، قُطر ذرة حوالي 10 أس سالب 12 متر.

is approximately 10 to the power of negative 12 meters.

The height of a tree is approximately 10 to the power of one meter.

ارتفاع الشجرة حوالي 10 أس 1 متر.

The diameter of the Earth is approximately 10 to the power of seven meters.

و قُطر الأرض ما يقارب 10 أس 7 مترا.

القدرة على استخدام الأس العشري كأداة تقدير قد تكون مفيدة من وقت لآخر

The ability to use the power of 10 as an estimation tool

can come in handy every now and again,

like when you're trying to guess the number of M&M's in a jar,

مثلا عندما تحاول تخمين عدد م آند م في جرة.

ولكنها كذلك مهارة أساسية في الرياضيات والعلوم، وخاصة عند التعامل مع مسائل فيرمي.

but is also an essential skill in math and science,

especially when dealing with what are known as Fermi problems.

مسائل فيرمي سميت بذلك نسبة للفيزيائي إنريكو فيرمي، والذي اشتهر بإجراء تخمينات رتبة قدر سريعة،

Fermi problems are named after the physicist Enrico Fermi,

who's famous for making rapid order-of-magnitude estimations,

أو تقديرات سريعة، ببيانات متاحة تبدو قليلة.

or rapid estimations, with seemingly little available data.

Fermi worked on the Manhattan Project in developing the atomic bomb,

فيرمي اشتغل على "مشروع مانهاتن" في تطوير القنبلة الذرية،

and when it was tested at the Trinity site in 1945,

وعندما اختبرت في موقع ترينيتي سنة 1945، أسقط فيرمي بضعة أوراق أثناء الانفجار

Fermi dropped a few pieces of paper during the blast

فاستخدم المسافة التي تراجعوا لها سقوطا لتقدير قوة الانفجار

and used the distance they traveled backwards as they fell

to estimate the strength of the explosion as 10 kilotons of TNT,

ك 10 كيلوطن من مادة تي أن تي، وهو في نفس رتبة قدر القيمة الفعلية والتي هي 20 كيلوطن.

which is on the same order of magnitude as the actual value of 20 kilotons.

One example of the classic Fermi estimation problems

مثال على مسائل التقديرات الكلاسيكية لفيرمي هو تحديد عدد موالفات البيانو الموجودة في مدينة شيكاغو، إلينوي.

is to determine how many piano tuners there are

in the city of Chicago, Illinois.

At first, there seem to be so many unknowns

لأول وهلة، يبدو أن هناك مجهولات كثيرة لدرجة أن المشكلة تبدو مستعصية الحل.

that the problem appears to be unsolvable.

وهذا هو التطبيق المثالي لإجراء تقدير بأس عشري، لأننا لسنا في حاجة إلى إجابة دقيقة.

That is the perfect application for a power-of-10 estimation,

as we don't need an exact answer -

an estimation will work.

التقدير كافٍ.

We can start by determining how many people live in the city of Chicago.

يمكننا البدء بتحديد عدد الأشخاص الذين يعيشون في مدينة شيكاغو.

We know that it is a large city,

نعلم أنها مدينة كبيرة، قد لا نكون متأكدين بالضبط حول عدد الناس الذين يعيشون في المدينة.

but we may be unsure about exactly how many people live in the city.

Are the one million people? Five million people?

هل هم مليون؟ 5 ملايين شخص؟

This is the point in the problem

وفي هذا الجزء من المسألة يصبح الناس محبطين بسبب الارتياب،

where many people become frustrated with the uncertainty,

ولكن يمكن أن نتجاوز هذا بسهولة باستخدام الأس العشري.

but we can easily get through this by using the power of 10.

يمكننا تقدير حجم قدر سكان شيكاغو كـ 10 أس 6.

We can estimate the magnitude of the population of Chicago

as 10 to the power of six.

While this doesn't tell us exactly how many people live there,

في حين أن هذا لا يخبرنا بالضبط بعدد الأشخاص الذين يعيشون هناك،

it serves an accurate estimation for the actual population

لكنه تقدير دقيق لعدد السكان الفعلي الذي هو أقل بقليل من 3 ملايين شخص.

of just under three million people.

So if there are approximately 10 to the sixth people in Chicago,

لذا، إذا كان هناك ما يقارب 10 أس 6 أشخاص في شيكاغو، كم من بيانو يوجد؟

how many pianos are there?

If we want to continue dealing with orders of magnitude,

وإذا كنا نريد الاستمرار في التعامل مع رتب قدر يمكننا دائما أن نقول أن

we can either say that one out of 10

شخصا واحد من أصل عشرة أو واحد من أصل مائة يملك بيانو.

or one out of one hundred people own a piano.

Given that our estimate of the population includes children and adults,

وبالنظر إلى أن تقديرات السكان تشمل الأطفال والبالغين، سوف نأخذ التقدير الأخير،

we'll go with the latter estimate,

الذي يقدر أن هناك حوالي 10 أس 4، أو 10.000 بيانو، في شيكاغو.

which estimates that there are approximately 10 to the fourth,

or 10,000 pianos, in Chicago.

مع هذا العدد من آلات البيانو، كم عدد موالفات البيانو الموجودة؟

With this many pianos, how many piano tuners are there?

We could begin the process of thinking about how often the pianos are tuned,

يمكن أن نبدأ عملية التفكير حول مدى حاجة البيانو للضبط،

كم عدد آلات البيانو التي يتم ضبطها كل يوم أو كم يوما يعمل موالف بيانو،

how many pianos are tuned in one day,

or how many days a piano tuner works,

but that's not the point of rapid estimation.

ولكن ذلك ليس الهدف من التقدير السريع.

We instead think in orders of magnitude,

ونفكر بدل ذلك في رتبة القدر ونقول أن موالف البيانو يضبط تقريبا 10 أس 2 بيانو خلال سنة واحدة،

and say that a piano tuner tunes roughly 10 to the second pianos in a given year,

which is approximately a few hundred pianos.

وهو تقريبا بضع مئات من الآلات.

Given our previous estimate of 10 to the fourth pianos in Chicago,

ونظرا لتقديراتنا السابقة بوجود 10 أس 4 بيانو في شيكاغو،

and the estimate that each piano tuner can tune 10 to the second pianos each year,

والتقدير أن كل موالف البيانو يمكنه ضبط عشرة أس 2 بيانو كل سنة،

يمكن أن نقول أن هناك ما يقارب عشرة أس 2 من موالفات البيانو في شيكاغو.

we can say that there are approximately 10 to the second piano tuners in Chicago.

Now, I know what you must be thinking:

الآن، أعلم ما قد تفكرون فيه:

How can all of these estimates produce a reasonable answer?

كيف يمكن أن تنتج كل من هذه التقديرات إجابة معقولة؟

Well, it's rather simple.

حسنا، إنها بسيطة نوعا ما: في أي مسألة لفيرمي، نفترض أن المقدر بإفراط والمقدر بتفريط يوازننا بعضهما البعض

In any Fermi problem, it is assumed

that the overestimates and underestimates balance each other out,

فينتجان تقديرا يكون عادة ضمن رتبة قدر واحدة من الجواب الفعلي.

and produce an estimation

that is usually within one order of magnitude of the actual answer.

وفي حالتنا يمكننا أن نؤكد هذا عن طريق البحث في دليل الهاتف عن عدد موالفات البيانو المدرجة في شيكاغو.

In our case we can confirm this by looking in the phone book

for the number of piano tuners listed in Chicago.

ماذا نجد؟ 81.

What do we find? 81.

Pretty incredible, given our order-of-magnitude estimation.

أمر لا يصدق، بالنظر إلى تقديرنا لرتبة القدر.

But, hey - that's the power of 10.

ولكن، مهلا، هذه هي قوة العشرة.