A clever way to estimate enormous numbers - Michael Mitchell

תרגום: Yifat Adler עריכה: Nir Bibi

Whether you like it or not, we use numbers every day.

בין שאתם אוהבים זאת ובין שלא, אנחנו משתמשים במספרים בכל יום.

Some numbers, such as the speed of sound,

כמה מספרים, כמו מהירות הקול, הם קטנים וקל לעבוד איתם.

are small and easy to work with.

Other numbers, such as the speed of light,

מספרים אחרים, כמו מהירות האור, הרבה יותר גדולים ומסורבלים לעבודה.

are much larger and cumbersome to work with.

We can use scientific notation to express these large numbers

נוכל להשתמש בכתיב מדעי כדי לבטא מספרים גדולים בדרך הרבה יותר נוחה.

in a much more manageable format.

So we can write 299,792,458 meters per second

וכך נוכל לכתוב 299,782,458 מטרים לשנייה כ- 3.0 כפול 10 בחזקת 8 מטרים לשניה.

as 3.0 times 10 to the eighth meters per second.

Correct scientific notation

בכתיב מדעי נכון - ערך הביטוי הראשון גדול מ-1 אך קטן מ-10,

requires that the first term range in value

so that it is greater than one but less than 10,

והביטוי השני מייצג את החזקה של 10, או את סדר הגודל שבו מכפילים את הגורם הראשון.

and the second term represents the power of 10 or order of magnitude

by which we multiply the first term.

נוכל להשתמש בחזקה של 10 ככלי לביצוע הערכות מהירות כשאיננו זקוקים לערכו המדוייק של מספר.

We can use the power of 10 as a tool in making quick estimations

when we do not need or care for the exact value of a number.

For example, the diameter of an atom

לדוגמא, קוטרו של אטום הוא בקירוב 10 בחזקת 12- מטרים.

is approximately 10 to the power of negative 12 meters.

The height of a tree is approximately 10 to the power of one meter.

גובהו של עץ הוא בקירוב 10 בחזקת 1 מטרים.

The diameter of the Earth is approximately 10 to the power of seven meters.

וקוטרו של כדור הארץ הוא בקירוב 10 בחזקת 7 מטרים.

היכולת להשתמש בחזקות של 10 ככלי להערכה יכולה להיות שימושית בהזדמנויות שונות,

The ability to use the power of 10 as an estimation tool

can come in handy every now and again,

like when you're trying to guess the number of M&M's in a jar,

כמו למשל כשאתם מנסים לנחש כמה סוכריות M&M יש בצנצנת.

זוהי גם מיומנות חשובה במתמטיקה ובמדעים, במיוחד כשעוסקים בבעיות המוכרות כבעיות פרמי.

but is also an essential skill in math and science,

especially when dealing with what are known as Fermi problems.

בעיות פרמי קרויות על שמו של הפיזיקאי אנריקו פרמי, המפורסם בביצוע הערכות מהירות של סדר גודל,

Fermi problems are named after the physicist Enrico Fermi,

who's famous for making rapid order-of-magnitude estimations,

או הערכות מהירות המסתמכות על מידע מוגבל לכאורה.

or rapid estimations, with seemingly little available data.

Fermi worked on the Manhattan Project in developing the atomic bomb,

פרמי עבד בפרויקט מנהטן בפיתוח הפצצה האטומית,

and when it was tested at the Trinity site in 1945,

וכאשר בוצע ניסוי באתר טריניטי בשנת 1945, פרמי השליך מספר פיסות נייר בזמן הפיצוץ

Fermi dropped a few pieces of paper during the blast

והשתמש במרחק שבו הן עפו אחורנית בשעה שנפלו כדי להעריך את עוצמת הפיצוץ

and used the distance they traveled backwards as they fell

to estimate the strength of the explosion as 10 kilotons of TNT,

כ-10 קילוטון של טי.אן.טי., שהוא באותו סדר גודל של הערך האמיתי 20 קילוטון.

which is on the same order of magnitude as the actual value of 20 kilotons.

One example of the classic Fermi estimation problems

דוגמא לבעיות הערכת פרמי קלאסיות היא: כמה מכווני פסנתרים ישנם בשיקגו, אילינוי?

is to determine how many piano tuners there are

in the city of Chicago, Illinois.

At first, there seem to be so many unknowns

בתחילה נדמה שיש יותר מדי דברים לא ידועים ושהבעיה בלתי פתירה.

that the problem appears to be unsolvable.

זוהי דוגמא מושלמת ליישום הערכה באמצעות חזקות של 10, מכיוון שאיננו זקוקים לתשובה מדוייקת.

That is the perfect application for a power-of-10 estimation,

as we don't need an exact answer -

an estimation will work.

הערכה מספקת אותנו.

We can start by determining how many people live in the city of Chicago.

אנחנו יכולים להתחיל בקביעה כמה אנשים גרים בשיקגו.

We know that it is a large city,

אנחנו יודעים שזוהי עיר גדולה. אולי איננו בטוחים כמה אנשים בדיוק גרים בעיר.

but we may be unsure about exactly how many people live in the city.

Are the one million people? Five million people?

מיליון אנשים? חמישה מיליון?

This is the point in the problem

בנקודה הזו, אנשים רבים נעשים מתוסכלים ע"י חוסר הוודאות.

where many people become frustrated with the uncertainty,

אבל אנחנו יכולים בקלות להתגבר על כך באמצעות חזקות של 10.

but we can easily get through this by using the power of 10.

אנחנו יכולים להעריך את סדר הגודל של אוכלוסית שיקגו כ-10 בחזקת 6.

We can estimate the magnitude of the population of Chicago

as 10 to the power of six.

While this doesn't tell us exactly how many people live there,

הביטוי לא מציין כמה אנשים גרים שם בדיוק,

it serves an accurate estimation for the actual population

אך הוא הערכה מדויקת של גודל האוכלוסיה שהינו קצת פחות מ-3 מליון אנשים.

of just under three million people.

So if there are approximately 10 to the sixth people in Chicago,

וכך, אם ישנם כ-10 בחזקת 6 אנשים בשיקגו, כמה פסנתרים יש שם?

how many pianos are there?

If we want to continue dealing with orders of magnitude,

אם נרצה להמשיך להשתמש בסדרי גודל נוכל לומר

we can either say that one out of 10

של-1 מתוך 10 או ל-1 מתוך 100 אנשים יש פסנתר.

or one out of one hundred people own a piano.

Given that our estimate of the population includes children and adults,

מכיוון שההערכה של האוכלוסיה כוללת ילדים ומבוגרים, נשתמש בהערכה השניה

we'll go with the latter estimate,

שמעריכה שיש כ-10 בחזקת 4 או 10,000 פסנתרים בשיקגו.

which estimates that there are approximately 10 to the fourth,

or 10,000 pianos, in Chicago.

אם זוהי כמות הפסנתרים, כמה מכווני פסנתרים יש בשיקגו?

With this many pianos, how many piano tuners are there?

We could begin the process of thinking about how often the pianos are tuned,

היינו יכולים להתחיל את תהליך החשיבה בשאלה באיזו תדירות מכוונים פסנתרים,

כמה פסנתרים מכוונים בכל יום, או כמה ימי עבודה יש למכוון פסנתרים,

how many pianos are tuned in one day,

or how many days a piano tuner works,

but that's not the point of rapid estimation.

אך לא זוהי הנקודה בהערכה מהירה.

We instead think in orders of magnitude,

במקום זאת, נחשוב בסדרי גודל ונאמר שמכוון פסנתרים מכוון כ-10 בחזקת 2 פסנתרים בשנה.

and say that a piano tuner tunes roughly 10 to the second pianos in a given year,

which is approximately a few hundred pianos.

שהם בערך כמה מאות פסנתרים.

Given our previous estimate of 10 to the fourth pianos in Chicago,

בהנתן ההערכה הקודמת שלנו של 10 בחזקת 4 פסנתרים בשיקגו,

and the estimate that each piano tuner can tune 10 to the second pianos each year,

וההערכה שכל מכוון פסנתרים יכול לכוון 10 בחזקת 2 פסנתרים בשנה,

נוכל לומר שיש בערך 10 בחזקת 2 מכווני פסנתרים בשיקגו.

we can say that there are approximately 10 to the second piano tuners in Chicago.

Now, I know what you must be thinking:

אני יודע מה אתם חושבים כעת:

How can all of these estimates produce a reasonable answer?

איך כל ההערכות האלה יכולות להביא לתשובה הגיונית?

Well, it's rather simple.

ובכן, זה פשוט למדי: בכל בעית פרמי מניחים שהערכות יתר מתקזזות עם הערכות חסר

In any Fermi problem, it is assumed

that the overestimates and underestimates balance each other out,

ויוצרות הערכה שהיא בדרך כלל בטווח של סדר גודל אחד מהתשובה האמיתית.

and produce an estimation

that is usually within one order of magnitude of the actual answer.

במקרה שלנו, נוכל לאשר זאת אם נבדוק בספר הטלפונים כמה מכווני פסנתרים רשומים בשיקגו.

In our case we can confirm this by looking in the phone book

for the number of piano tuners listed in Chicago.

ומה נמצא שם? 81.

What do we find? 81.

Pretty incredible, given our order-of-magnitude estimation.

די מדהים, הנתחשב בהערכה בהערכה של סדר הגודל שלנו.

But, hey - that's the power of 10.

אבל, הי, זהו חוזקו של העשר.