A clever way to estimate enormous numbers - Michael Mitchell

大きな数を推定する巧妙な方法 — マイケル・ミッチェル

翻訳: Tomoshige Ohno 校正: Yasushi Aoki

Whether you like it or not, we use numbers every day.

好むと好まざるとに関わらず 私たちは毎日 数を使います

Some numbers, such as the speed of sound,

音速のような数は小さくて 扱いやすいですが

are small and easy to work with.

Other numbers, such as the speed of light,

光速のような数は大き過ぎて 扱うのが厄介です

are much larger and cumbersome to work with.

We can use scientific notation to express these large numbers

そういう大きな数は 科学的表記法を用いると ずっと扱いやすく表現できます

in a much more manageable format.

So we can write 299,792,458 meters per second

たとえば「秒速299,792,458メートル」は 「秒速3.0×10の8乗メートル」と書けます

as 3.0 times 10 to the eighth meters per second.

Correct scientific notation

正しく科学的表記法を使うには 最初の項は 1以上10未満でなければなりません

requires that the first term range in value

so that it is greater than one but less than 10,

２番目の項は10の累乗 つまり桁数を表し 最初の項に掛け合わせます

and the second term represents the power of 10 or order of magnitude

by which we multiply the first term.

10の累乗は 厳密な数値を必要としないときや 気にしなくて良いときなどに便利です

We can use the power of 10 as a tool in making quick estimations

when we do not need or care for the exact value of a number.

For example, the diameter of an atom

例えば 原子の直径は およそ10のマイナス12乗メートルです

is approximately 10 to the power of negative 12 meters.

The height of a tree is approximately 10 to the power of one meter.

木の高さは およそ10の1乗メートルです

The diameter of the Earth is approximately 10 to the power of seven meters.

地球の直径は およそ10の7乗メートルです

10の累乗は 瓶の中にある マーブルチョコの数を予想するときなどに

The ability to use the power of 10 as an estimation tool

can come in handy every now and again,

like when you're trying to guess the number of M&M's in a jar,

見積もりの道具として 役立ちますが

数学や科学で不可欠なスキルでもあり いわゆるフェルミ推定するとき特に重要です

but is also an essential skill in math and science,

especially when dealing with what are known as Fermi problems.

フェルミ推定は ほんのわずかのデータから 桁レベルの粗い推定をすることで有名な

Fermi problems are named after the physicist Enrico Fermi,

who's famous for making rapid order-of-magnitude estimations,

物理学者エンリコ・フェルミにちなんで 名付けられました

or rapid estimations, with seemingly little available data.

Fermi worked on the Manhattan Project in developing the atomic bomb,

フェルミは原子爆弾を開発する マンハッタン計画に参加しましたが

and when it was tested at the Trinity site in 1945,

1945年にトリニティ実験場で核実験が行われた際には フェルミは爆発中に数枚の紙を落とし

Fermi dropped a few pieces of paper during the blast

落下までに吹き飛ばされた距離によって 爆発の規模を

and used the distance they traveled backwards as they fell

to estimate the strength of the explosion as 10 kilotons of TNT,

TNT火薬10キロトン相当と推定しました 実際には20キロトンで 桁は合っています

which is on the same order of magnitude as the actual value of 20 kilotons.

One example of the classic Fermi estimation problems

フェルミ推定問題の典型例として イリノイ州シカゴ市の ピアノ調律師の数を求めるというものがあります

is to determine how many piano tuners there are

in the city of Chicago, Illinois.

At first, there seem to be so many unknowns

最初は 未知の要素が多過ぎて 解けそうに思えませんが

that the problem appears to be unsolvable.

正確な答えは必要ないため 10の累乗による推定にぴったりです

That is the perfect application for a power-of-10 estimation,

as we don't need an exact answer -

an estimation will work.

うまく推定できるでしょう

We can start by determining how many people live in the city of Chicago.

シカゴ市の人口を求める ところから始めます

We know that it is a large city,

シカゴが大都市というのは分かっていても 正確な人口は覚えていないかもしれません

but we may be unsure about exactly how many people live in the city.

Are the one million people? Five million people?

100万人？ 500万人？

This is the point in the problem

多くの人はこの時点で 不確かなことに苛立ちますが

where many people become frustrated with the uncertainty,

10の累乗を用いることで 容易にこれを克服できます

but we can easily get through this by using the power of 10.

シカゴの人口の規模は 10の6乗と推測されます

We can estimate the magnitude of the population of Chicago

as 10 to the power of six.

While this doesn't tell us exactly how many people live there,

これはシカゴの正確な 人口ではありませんが

it serves an accurate estimation for the actual population

実際の300万人弱という人口を 正しく推定しています

of just under three million people.

So if there are approximately 10 to the sixth people in Chicago,

では シカゴにいる人は10の6乗だとすると ピアノは何台あるでしょう？

how many pianos are there?

If we want to continue dealing with orders of magnitude,

引き続き桁数だけ 気にすることにすると

we can either say that one out of 10

10人に1人か 100人に1人程度と 容易に予想がつきます

or one out of one hundred people own a piano.

Given that our estimate of the population includes children and adults,

推定された人口は子供も大人も 含むことを考えて後者を採用し

we'll go with the latter estimate,

シカゴにはおよそ10の4乗 つまり10,000台のピアノがあると推定されます

which estimates that there are approximately 10 to the fourth,

or 10,000 pianos, in Chicago.

それだけピアノがあるとき ピアノ調律師は何人いるでしょう？

With this many pianos, how many piano tuners are there?

We could begin the process of thinking about how often the pianos are tuned,

ピアノはどのくらいの頻度で調律するのか

毎日何台のピアノが調律されるのか 調律師は何日働くのかなどと考えるかもしれませんが

how many pianos are tuned in one day,

or how many days a piano tuner works,

but that's not the point of rapid estimation.

素早い推定には あまり重要ではありません

We instead think in orders of magnitude,

代わりに桁数で考え 1人の調律師が 1年に調律するピアノは

and say that a piano tuner tunes roughly 10 to the second pianos in a given year,

which is approximately a few hundred pianos.

ざっくり 10の2乗台 つまり 数百台としましょう

Given our previous estimate of 10 to the fourth pianos in Chicago,

シカゴにあるピアノの数は 10の4乗という先ほどの推定と

and the estimate that each piano tuner can tune 10 to the second pianos each year,

各調律師は1年に10の2乗台のピアノを 調律するという推定から

シカゴには およそ10の2乗人の ピアノ調律師がいる計算になります

we can say that there are approximately 10 to the second piano tuners in Chicago.

Now, I know what you must be thinking:

皆さんはこうお考えでしょう

How can all of these estimates produce a reasonable answer?

「そんな推定法で 妥当な答えが得られるのか？」と

Well, it's rather simple.

答えは簡単です — フェルミ推定では 過大評価と過小評価がお互いにバランスをとり

In any Fermi problem, it is assumed

that the overestimates and underestimates balance each other out,

実際の答えとせいぜい1桁しか違わない 推定結果が得られると考えます

and produce an estimation

that is usually within one order of magnitude of the actual answer.

このケースでは 電話帳に載っているシカゴの ピアノ調律士の数を見て確かめられます

In our case we can confirm this by looking in the phone book

for the number of piano tuners listed in Chicago.

何人だったでしょうか？ 81人です

What do we find? 81.

Pretty incredible, given our order-of-magnitude estimation.

ざっくりと桁数のみ見積もったにしては 実に驚くべき精度ですが

But, hey - that's the power of 10.

これこそ10のパワーなのです