A clever way to estimate enormous numbers - Michael Mitchell

Переводчик: Natalia Popova Редактор: Alina Siluyanova

Whether you like it or not, we use numbers every day.

Нравится вам или нет, мы пользуемся числами каждый день.

Some numbers, such as the speed of sound,

Такие числа, как скорость звука,

are small and easy to work with.

очень малы, и с ними легко работать.

Other numbers, such as the speed of light,

А, например, скорость света так велика,

are much larger and cumbersome to work with.

что вычисления с ней слишком громоздкие.

We can use scientific notation to express these large numbers

Можно использовать математическую систему записи

in a much more manageable format.

в более удобном для вычислений формате.

So we can write 299,792,458 meters per second

Так, 299 792 458 метров в секунду можно записать,

as 3.0 times 10 to the eighth meters per second.

как 3 умножить на 10 в восьмой степени метров в секунду.

В нормализованной научной записи

Correct scientific notation

необходимо, чтобы первое число

requires that the first term range in value

было больше единицы, но меньше десяти.

so that it is greater than one but less than 10,

Второе число — степень десяти, или порядок величины,

and the second term represents the power of 10 or order of magnitude

by which we multiply the first term.

показывающее, во сколько раз увеличивается первое число.

Такая запись удобна для быстрых вычислений,

We can use the power of 10 as a tool in making quick estimations

when we do not need or care for the exact value of a number.

когда точное значение не важно.

For example, the diameter of an atom

Например, диаметр атома

is approximately 10 to the power of negative 12 meters.

примерно равен 10 в минус 12-й степени метров.

The height of a tree is approximately 10 to the power of one meter.

Высота дерева приблизительно равна 10 в первой степени метров.

The diameter of the Earth is approximately 10 to the power of seven meters.

А диаметр Земли составляет 10 в седьмой степени метров.

Записывать числа таким образом

The ability to use the power of 10 as an estimation tool

can come in handy every now and again,

может пригодиться во многих случаях,

like when you're trying to guess the number of M&M's in a jar,

например, чтобы угадать, сколько драже M&M's в банке.

Это также необходимый навык в математике и науке,

but is also an essential skill in math and science,

особенно при решении задач, называемых задачами Ферми.

especially when dealing with what are known as Fermi problems.

Задачи Ферми были названы в честь физика Энрико Ферми,

Fermi problems are named after the physicist Enrico Fermi,

который был известен своей способностью мгновенно дать численный ответ,

who's famous for making rapid order-of-magnitude estimations,

or rapid estimations, with seemingly little available data.

или провести быструю оценку, по казалось бы скудным исходным данным.

Fermi worked on the Manhattan Project in developing the atomic bomb,

Ферми работал над Манхеттенским проектом по разработке атомной бомбы.

and when it was tested at the Trinity site in 1945,

Когда в 1945 году бомбу испытывали на полигоне Тринити,

Fermi dropped a few pieces of paper during the blast

Ферми в момент взрыва подбросил в воздух обрывки бумаги

и по расстояниям, на которые те отлетели,

and used the distance they traveled backwards as they fell

to estimate the strength of the explosion as 10 kilotons of TNT,

определил, что мощность взрыва соответствовала 10 килотоннам тротила,

which is on the same order of magnitude as the actual value of 20 kilotons.

что имеет тот же порядок величины, что и действительное значение 20 килотонн.

One example of the classic Fermi estimation problems

Одним из классических примеров применения метода оценки Ферми

is to determine how many piano tuners there are

является задачка о том, сколько настройщиков пианино

in the city of Chicago, Illinois.

работает в Чикаго, штат Иллинойс.

At first, there seem to be so many unknowns

Сначала кажется, что при таком количестве неизвестных

that the problem appears to be unsolvable.

у задачи нет решения.

Но она идеальна для применения экспоненциальной оценки:

That is the perfect application for a power-of-10 estimation,

раз точный ответ нам не важен,

as we don't need an exact answer -

an estimation will work.

оценка вполне подойдёт.

We can start by determining how many people live in the city of Chicago.

Для начала нужно определить, сколько всего человек живёт в Чикаго.

We know that it is a large city,

Мы знаем, что это большой город,

but we may be unsure about exactly how many people live in the city.

но точное количество человек в нём нам неизвестно.

Are the one million people? Five million people?

Сколько же там человек? 1 миллион? 5 миллионов?

This is the point in the problem

В этом месте задачи

многие теряются из-за неопределенности,

where many people become frustrated with the uncertainty,

но с этим легко разобраться с помощью экспоненциальной записи.

but we can easily get through this by using the power of 10.

Можно предположить, что население Чикаго

We can estimate the magnitude of the population of Chicago

as 10 to the power of six.

составляет 10 в шестой степени.

While this doesn't tell us exactly how many people live there,

Хотя это не точное число жителей,

это достаточно верная оценка реальной численности,

it serves an accurate estimation for the actual population

of just under three million people.

равной чуть менее трёх миллионов человек.

So if there are approximately 10 to the sixth people in Chicago,

Тогда, если население Чикаго равно 10 в шестой степени человек,

how many pianos are there?

сколько же там пианино?

If we want to continue dealing with orders of magnitude,

Если мы продолжим работать с порядками величины,

we can either say that one out of 10

то можно предположить,

что либо у одного из десяти, либо у одного из ста жителей есть пианино.

or one out of one hundred people own a piano.

Given that our estimate of the population includes children and adults,

Учитывая, что наша оценка населения включает и детей и взрослых,

we'll go with the latter estimate,

возьмём за основу второе предположение,

which estimates that there are approximately 10 to the fourth,

то есть что в Чикаго 10 в четвертой степени,

или 10 000, пианино.

or 10,000 pianos, in Chicago.

With this many pianos, how many piano tuners are there?

Сколько же тогда настройщиков нужно для такого количество пианино?

We could begin the process of thinking about how often the pianos are tuned,

Можно было бы начать расчёт с того, как часто нужно настраивать пианино,

сколько пианино настраивают за день,

how many pianos are tuned in one day,

или сколько дней работает настройщик.

or how many days a piano tuner works,

but that's not the point of rapid estimation.

Но не в этом суть метода быстрой оценки.

We instead think in orders of magnitude,

Вместо этого, используя порядок величины,

and say that a piano tuner tunes roughly 10 to the second pianos in a given year,

предположим, что один мастер настраивает 10 во второй степени пианино в год,

which is approximately a few hundred pianos.

а это приблизительно равно нескольким сотням пианино.

Given our previous estimate of 10 to the fourth pianos in Chicago,

Учитывая рассчитанное ранее 10 в четвёртой степени пианино в Чикаго

and the estimate that each piano tuner can tune 10 to the second pianos each year,

и то, что каждый мастер настраивает за год 10 во второй степени пианино,

можно сказать, что в Чикаго 10 во второй степени настройщиков пианино.

we can say that there are approximately 10 to the second piano tuners in Chicago.

Now, I know what you must be thinking:

Я знаю, о чём вы сейчас подумали.

How can all of these estimates produce a reasonable answer?

Как по таким приблизительным оценкам можно дать осмысленный ответ?

Well, it's rather simple.

Тут всё просто:

считается, что в любой задаче Ферми

In any Fermi problem, it is assumed

that the overestimates and underestimates balance each other out,

переоценка и недооценка уравновешивают друг друга,

а полученное значение обычно находится

and produce an estimation

that is usually within one order of magnitude of the actual answer.

в том же порядке величины, что и ответ.

В нашем случае это можно проверить,

In our case we can confirm this by looking in the phone book

посчитав номера чикагских настройщиков пианино в телефонной книге.

for the number of piano tuners listed in Chicago.

И что же мы обнаружим? 81.

What do we find? 81.

Pretty incredible, given our order-of-magnitude estimation.

Это просто нeвероятно, если сравнить с нашей оценкой.

But, hey - that's the power of 10.

Но ведь в этом и есть экспоненциальная сила десятки.