A clever way to estimate enormous numbers - Michael Mitchell

Μετάφραση: Christos Selemeles Επιμέλεια: Lucas Kaimaras

Whether you like it or not, we use numbers every day.

Είτε σας αρέσει είτε όχι, χρησιμοποιούμε αριθμούς κάθε μέρα.

Some numbers, such as the speed of sound,

Κάποιοι αριθμοί, όπως η ταχύτητα του ήχου,

are small and easy to work with.

είναι μικροί και τους χειριζόμαστε εύκολα.

Other numbers, such as the speed of light,

Άλλοι, όπως η ταχύτητα του φωτός, είναι πολύ μεγαλύτεροι και δύσχρηστοι.

are much larger and cumbersome to work with.

We can use scientific notation to express these large numbers

Χρησιμοποιούμε την επιστημονική σημειογραφία

για να τους εκφράσουμε σε μια πολύ πιο εύχρηστη μορφή.

in a much more manageable format.

So we can write 299,792,458 meters per second

Έτσι, μπορούμε να γράψουμε τα 299.792.458 μέτρα ανά δευτερόλεπτο

as 3.0 times 10 to the eighth meters per second.

ως 3,0 × 10⁸ μέτρα ανά δευτερόλεπτο.

Correct scientific notation

Η σωστή επιστημονική σημειογραφία απαιτεί

requires that the first term range in value

ο πρώτος όρος να παίρνει τιμή μεγαλύτερη του 1 αλλά μικρότερη του 10

so that it is greater than one but less than 10,

και ο δεύτερος όρος αναπαριστά τη δύναμη του 10 ή τάξη μεγέθους

and the second term represents the power of 10 or order of magnitude

by which we multiply the first term.

με την οποία πολλαπλασιάζουμε τον πρώτο όρο.

We can use the power of 10 as a tool in making quick estimations

Χρησιμοποιούμε τη δύναμη του 10 σαν εργαλείο για γρήγορες εκτιμήσεις

when we do not need or care for the exact value of a number.

όταν δεν μας ενδιαφέρει η ακριβής τιμή ενός αριθμού.

For example, the diameter of an atom

Για παράδειγμα, η διάμετρος του ατόμου είναι περίπου 10⁻¹² μέτρα.

is approximately 10 to the power of negative 12 meters.

The height of a tree is approximately 10 to the power of one meter.

Το ύψος ενός δέντρου είναι περίπου 10¹ μέτρα.

The diameter of the Earth is approximately 10 to the power of seven meters.

Η διάμετρος της Γης είναι περίπου 10⁷ μέτρα.

The ability to use the power of 10 as an estimation tool

Η χρήση της δύναμης του 10 ως εργαλείο εκτίμησης ενίοτε μας διευκολύνει,

can come in handy every now and again,

like when you're trying to guess the number of M&M's in a jar,

όπως όταν θέλετε να μαντέψετε πόσα M&M έχει ένα βάζο,

αλλά είναι απαραίτητη δεξιότητα στα Μαθηματικά και τις Επιστήμες,

but is also an essential skill in math and science,

ειδικά με τα λεγόμενα προβλήματα Φέρμι.

especially when dealing with what are known as Fermi problems.

Πήραν το όνομά τους από τον φυσικό Ενρίκο Φέρμι

Fermi problems are named after the physicist Enrico Fermi,

που είναι διάσημος για τις γρήγορες εκτιμήσεις τάξης μεγέθους,

who's famous for making rapid order-of-magnitude estimations,

or rapid estimations, with seemingly little available data.

ή γρήγορες εκτιμήσεις με φαινομενικά πολύ λίγα δεδομένα.

Fermi worked on the Manhattan Project in developing the atomic bomb,

Ο Φέρμι εργάστηκε στο Σχέδιο Μανχάταν για την ανάπτυξη της ατομικής βόμβας

and when it was tested at the Trinity site in 1945,

και όταν αυτή δοκιμάστηκε στο πεδίο Τρίνιτι το 1945,

Fermi dropped a few pieces of paper during the blast

ο Φέρμι έριξε μερικά χαρτιά κατά την έκρηξη

και χρησιμοποίησε την απόσταση που οπισθοχώρησαν κατά την πτώση τους

and used the distance they traveled backwards as they fell

to estimate the strength of the explosion as 10 kilotons of TNT,

για να εκτιμήσει την ισχύ της έκρηξης σε 10.000 τόνους TNT,

which is on the same order of magnitude as the actual value of 20 kilotons.

που είναι ίδια τάξη μεγέθους με την πραγματική τιμή των 20.000 τόνων.

One example of the classic Fermi estimation problems

Ένα παράδειγμα εκτίμησης κλασικού προβλήματος Φέρμι

is to determine how many piano tuners there are

ήταν να υπολογίσει πόσοι κουρδιστές πιάνων υπάρχουν στην πόλη Σικάγο του Ιλινόις.

in the city of Chicago, Illinois.

At first, there seem to be so many unknowns

Αρχικά, το πρόβλημα φαίνεται αδύνατο να λυθεί

καθώς περιέχει πάρα πολλούς αγνώστους.

that the problem appears to be unsolvable.

That is the perfect application for a power-of-10 estimation,

Είναι τέλεια εφαρμογή για μια εκτίμηση με δυνάμεις του 10,

as we don't need an exact answer -

αφού δεν χρειαζόμαστε ακριβή απάντηση - μια εκτίμηση αρκεί.

an estimation will work.

We can start by determining how many people live in the city of Chicago.

Μπορούμε να ξεκινήσουμε προσδιορίζοντας τον πληθυσμό του Σικάγο.

We know that it is a large city,

Ξέρουμε ότι είναι μεγάλη πόλη,

but we may be unsure about exactly how many people live in the city.

αλλά δεν είμαστε σίγουροι για το πόσοι ζουν εκεί.

Are the one million people? Five million people?

Είναι ένα εκατομμύριο; Πέντε εκατομμύρια;

This is the point in the problem

Σε αυτό το σημείο του προβλήματος πολλοί απογοητεύονται με την αβεβαιότητα,

where many people become frustrated with the uncertainty,

αλλά το ξεπερνάμε εύκολα χρησιμοποιώντας τη δύναμη του 10.

but we can easily get through this by using the power of 10.

Μπορούμε να εκτιμήσουμε την τάξη μεγέθους του πληθυσμού του Σικάγου σε ως 10⁶.

We can estimate the magnitude of the population of Chicago

as 10 to the power of six.

While this doesn't tell us exactly how many people live there,

Αν και αυτό δεν μας λέει ακριβώς ποιος είναι ο πληθυσμός,

it serves an accurate estimation for the actual population

θεωρείται ως ακριβής εκτίμηση για τον ακριβή πληθυσμό,

of just under three million people.

που είναι κάτι λιγότερο από τρία εκατομμύρια.

So if there are approximately 10 to the sixth people in Chicago,

Αν, λοιπόν, ο πληθυσμός του Σικάγου είναι 10⁶,

how many pianos are there?

πόσα πιάνα υπάρχουν;

If we want to continue dealing with orders of magnitude,

Αν θέλουμε να συνεχίσουμε να χρησιμοποιούμε τάξεις μεγέθους,

we can either say that one out of 10

μπορούμε να πούμε ότι ένας στους 10 ή ένας στους 100 ανθρώπους έχει πιάνο.

or one out of one hundred people own a piano.

Given that our estimate of the population includes children and adults,

Καθώς η εκτίμηση του πληθυσμού περιλαμβάνει παιδιά και ενηλίκους,

we'll go with the latter estimate,

ας κρατήσουμε την τελευταία εκτίμηση,

που δίνει ότι υπάρχουν περίπου 10⁴ ή αλλιώς 10.000 πιάνα στο Σικάγο.

which estimates that there are approximately 10 to the fourth,

or 10,000 pianos, in Chicago.

With this many pianos, how many piano tuners are there?

Με τόσα πολλά πιάνα, πόσοι κουρδιστές υπάρχουν;

We could begin the process of thinking about how often the pianos are tuned,

Θα μπορούσαμε να ξεκινήσουμε σκεπτόμενοι πόσο συχνά κουρδίζονται τα πιάνα,

how many pianos are tuned in one day,

πόσα πιάνα κουρδίζονται σε μία ημέρα

or how many days a piano tuner works,

ή πόσες ημέρες δουλεύει ένας κουρδιστής πιάνων,

but that's not the point of rapid estimation.

αλλά αυτό δεν είναι γρήγορη εκτίμηση

We instead think in orders of magnitude,

Αντίθετα σκεφτόμαστε με τάξεις μεγέθους

and say that a piano tuner tunes roughly 10 to the second pianos in a given year,

και θα πούμε ότι ένας κουρδιστής πιάνων κουρδίζει περίπου 10² πιάνα κάθε χρόνο,

which is approximately a few hundred pianos.

που είναι περίπου μερικές εκατοντάδες πιάνα.

Given our previous estimate of 10 to the fourth pianos in Chicago,

Δεδομένης της προηγούμενης εκτίμησής μας για 10⁴ πιάνα στο Σικάγο

and the estimate that each piano tuner can tune 10 to the second pianos each year,

και της εκτίμησης ότι κάθε κουρδιστής μπορεί να κουρδίσει 10² πιάνα κάθε χρόνο,

we can say that there are approximately 10 to the second piano tuners in Chicago.

μπορούμε να πούμε ότι υπάρχουν περίπου 10² κουρδιστές πιάνων στο Σικάγο.

Now, I know what you must be thinking:

Ξέρω τι θα σκέφτεστε.

How can all of these estimates produce a reasonable answer?

Πώς γίνεται όλες αυτές οι εκτιμήσεις να δίνουν μία λογική απάντηση;

Well, it's rather simple.

Είναι αρκετά απλό.

In any Fermi problem, it is assumed

Σε κάθε πρόβλημα Φέρμι, γίνεται η υπόθεση

that the overestimates and underestimates balance each other out,

ότι οι εκτιμήσεις προς τα πάνω και προς τα κάτω αλληλοαναιρούνται

and produce an estimation

και η τελική εκτίμηση

that is usually within one order of magnitude of the actual answer.

είναι συνήθως στην ίδια τάξη μεγέθους με την πραγματική απάντηση.

In our case we can confirm this by looking in the phone book

Στην περίπτωσή μας το επιβεβαιώνουμε

ψάχνοντας στον κατάλογο τον αριθμό των κουρδιστών στο Σικάγο.

for the number of piano tuners listed in Chicago.

What do we find? 81.

Πόσους βρίσκουμε; 81.

Pretty incredible, given our order-of-magnitude estimation.

Αρκετά απίστευτο, αν σκεφτείτε την εκτίμηση που κάναμε.

But, hey - that's the power of 10.

Αλλά αυτή είναι η δύναμη του 10.