Can you solve the cheating royal riddle? - Dan Katz

譯者: Lilian Chiu 審譯者: Helen Chang

You’re the chief advisor to an eccentric king

你是一位古怪國王 身邊的首席顧問，

who needs to declare his successor.

國王需要宣佈他的繼承人。

He wants his heir to be good at arithmetic, lucky,

他希望繼承人的特質 要包括擅長算術、運氣好，

and above all else, honest.

以及最重要的，誠實。

So he’s devised a competition to test his children,

所以他設計了一項競賽 來測試他的孩子們，

and ordered you to choose the winner.

並命令你選出贏家。

Each potential heir will be given the same two six-sided dice.

每位可能的繼承人都會拿到 同樣的兩顆六面骰子。

The red die has the numbers 2, 7, 7, 12, 12, and 17.

紅骰子上的數字是 2、7、

7、12、12、17。

The blue one has 3, 8, 8, 13, 13, and 18.

藍骰子上的數字是 3、8、

8、13、13、18。

The dice are fair, so each side is equally likely to come up.

骰子是公平的，每一面 向上的機率都一樣。

Each contestant will be sent into a Royal Rolling Room,

每位參賽者都會被 送入一間皇家擲骰室，

where they’ll roll both dice 20 times.

在那裡，他們要將 兩顆骰子擲 20 次。

A contestant’s score starts at zero, and each turn,

參賽者一開始的分數 是 0，每一輪之後，

they should add the total of the two numbers rolled to their score.

他們要把兩個擲出的數字總和 加到他們的分數上。

After 20 turns, they should report their final score.

20 輪之後，他們要 回報他們的最終分數。

The rooms are secure, and no one observes the rolls.

這些房室很安全， 沒人能看到擲出的結果。

That means a contestant could add incorrectly, or worse, be dishonest

那就表示，參賽者可能會加錯，

更糟的是，還可能說謊，

and make up a score they didn’t achieve.

掰出一個他們沒有達到的分數。

This is where you come in.

這就是你派上用場的時候了。

The king has instructed you that if you’re at least 90% sure a contestant

國王指示你，如果你有 90% 以上的把握

認為某位參賽者加錯 或作弊，就要將他除名。

mis-added or cheated, you should disqualify them.

The highest-scoring player who remains will be the new heir to the throne.

得分最高的參賽者 就會是王位的新繼承人。

After you explain the rules, the children run to their rooms.

你解釋完規則之後，這些 孩子們衝進他們的房室中。

When they return, Alexa announces her score is 385.

他們回來時，艾麗莎 宣佈她的分數為 385。

Bertram says 840. Cassandra reports 700. And Draco declares 423.

柏特姆說 840。

卡珊卓回報 700。

卓克聲稱 423。

The future of the kingdom is in your hands.

王國的未來操在你的手中。

Whom do you proclaim to be the worthiest successor?

你會宣佈誰是最配得上的繼承人？

Pause now to figure it out for yourself.

如果你想自行解題，請在此暫停。

Upon inspection, most of these scores are concerning.

檢閱之後覺得 大部分的分數令人關切。

Let’s start with the highest.

咱們從最高分開始。

Bertram scored 840.

柏特姆得到 840 分。

That’s impressive… but is it even possible?

令人印象深刻……但有可能嗎？

The highest numbers on the two dice are 17 and 18.

兩顆骰子上最大的數字 是 17 和 18。

17 plus 18 is 35, so in 20 rolls,

17 加上 18 等於 35， 所以若擲 20 次，

the greatest possible total is 20 times 35, or 700.

可能得到的最高分數 是 20 乘以 35，

即 700。

Even if Bertram rolled all the highest numbers,

就算柏特姆擲出所有的最大數字，

he couldn’t have scored 840.

他也不可能得到 840 分。

So he’s disqualified.

所以他被除名了。

Cassandra, the next-highest roller, reported 700.

分數次高的是卡珊卓， 她回報 700 分。

That’s theoretically possible… but how hard is it to be that lucky?

理論上是可能的……

但要那麼幸運有多困難？

In order to get 700,

若要得到 700 分，

Cassandra would have to roll the highest number out of six

卡珊卓必須要在 40 個 分別的場合中

on 40 separate occasions.

都擲出六個數字中最大的。

The probability of this is 1 over 6 to the 40th power,

機率是 1 除以 6 的 40 次方，

or 1 in about 13 nonillion— that’s 13 followed by 30 zeros.

大約是 13 乘以 10 的 30 次方分之 1，

也就是分母是 13 後面 再加 30 個 0。

To put that in perspective, there are about 7.5 billion people in the world,

更清楚地說， 全世界大約有 75 億人，

and 7.5 billion squared is a lot less than 13 nonillion.

而 75 億的平方還是比 13 乘以 10 的 30 次方小很多。

Rolling the highest number all 40 times is much less likely

40 次全擲出最大數字的機率遠小於

than if you picked a completely random person on Earth,

你在地球上隨機挑選一個人

and it turned out to be actor Paul Rudd…

結果發現你挑到了 演員保羅 · 路德……

and then you randomly picked again, and got Paul Rudd again!

接著你再次隨機挑選， 又再挑到保羅 · 路德的機率！

You can’t be 100% sure that Cassandra’s score didn’t happen by chance…

你不能 100% 肯定 卡珊卓的分數不是巧合……

but you can certainly be 90% sure, so she should be disqualified.

但你有九成的把握，

所以她也應該被除名。

Next up is Draco, with 423.

下一位是卓克，423 分。

This score isn’t high enough to be suspicious.

這個分數沒有高到可疑。

But it’s impossible for a different reason.

但有另一個原因說明 它是不可能達到的。

Pick a number from each die, and add them up.

從每個骰子上挑 一個數字，通通加起來。

No matter which combination you choose, the result ends in a 0 or a 5.

不論你選到什麼樣的組合，

總分的尾數都會是 0 或 5。

That’s because every red number is 2 more than a multiple of 5,

那是因為每個紅色數字 都是 5 的倍數加 2，

and every blue number is 3 more than a multiple of 5.

每個藍色數字都是 5 的倍數加 3。

This means that when you add them together,

那就表示當你把兩個數字加總時，

you’ll always get an exact multiple of 5.

一定會得到 5 的倍數。

And when you add rolls that are multiples of 5,

每一輪的總分都是 5 的倍數，

the result will also be a multiple of 5.

通通加總也仍然會是 5 的倍數。

These sorts of relationships between integers are studied

有一個數學分支叫做「數論」

in a branch of math called number theory.

就是在研究整數之間的關係。

Here number theory shows us that Draco’s score,

數論告訴我們，卓克的分數

which is not a multiple of 5, cannot be achieved.

不是 5 的倍數，因此不可能辦到。

So he should be disqualified as well.

所以也應該把他除名。

This leaves Alexa, whose score is a multiple of 5

現在只剩下艾麗莎， 她的分數是 5 的倍數，

and is in the achievable range.

且是在可達到的範圍內。

In fact, the most likely score is 400, so she was a little bit unlucky.

事實上，最有可能 達成的分數是 400，

所以她的運氣不算太好。

But with everyone else disqualified, she’s the last heir standing.

但其他人都被除名了， 她是最後剩下的唯一繼承人。

All hail Queen Alexa, the worthiest successor!

艾麗莎女王萬歲， 她是最配得上的繼承人！

At least if you agree that the best way to organize your government

前提是如果你認同 組織政府最好的方式

is a roll of the dice...

就是擲骰子……