Pixar: The math behind the movies - Tony DeRose

พิกซาร์: คณิตศาสตร์เบื้องหลังภาพยนตร์ โดย โทนี เดอโรส

Translator: Thipnapa Huansuriya Reviewer: Kanawat Senanan

At Pixar, we're all about telling stories,

ที่พิกซาร์ (Pixar) งานที่เราทำทั้งหมดคือเล่าเรื่อง

but one story that hasn't been told very much

แต่เรื่องหนึ่งที่ไม่มีใครเล่าให้ฟังมากนัก

is the huge degree to which math is used

คือ เราใช้คณิตศาสตร์มากมายขนาดไหน

in the production of our films.

ในการสร้างภาพยนตร์ของเรา

The math that you're learning in

คณิตศาสตร์ที่พวกหนูเรียนกัน

middle school and high school

ตอนมัธยมต้นและปลายนี่แหละ

is used all the time at Pixar.

เราใช้มันตลอดเลยที่พิกซาร์

So, let's start with a very simple example.

เอาล่ะ เรามาเริ่มจากตัวอย่างง่ายๆ เลย

Anybody recognize this guy? (Cheers)

มีใครจำพ่อหนุ่มคนนี้ได้บ้าง (เสียงเฮ)

Yeah, so this is Woody from Toy Story,

ใช่ นี่คือวู้ดดี้ จากทอย สตอรี่

and let's ask Woody to, say, walk across the stage

เราลองบอกวู้ดดี้ให้เดินข้ามฝั่งเวที

from, say, left to right, just like that.

จากซ้ายไปขวาแล้วกัน

So, believe it or not, you just saw a ton of mathematics.

เชื่อไหม ว่าหนูเพิ่งเห็นการทำงานของคณิตศาสตร์ มากมายมหาศาลเลย

Where is it?

อยู่ตรงไหนน่ะเหรอ

Well, to explain that,

จะอธิบายเรื่องนี้ได้

it's important to understand

เราต้องเข้าใจก่อนนะว่า

that artists and designers think in terms of

ศิลปินและนักออกแบบ

คิดเป็นรูปทรงและรูปภาพ

shape and images

but computers think in terms of numbers and equations.

แต่คอมพิวเตอร์คิดเป็นตัวเลขและสมการ

So, to bridge those two worlds

การเชื่อมโลกทั้งสองนี้เข้าด้วยกัน

we use a mathematical concept called

เราต้องใช้หลักการทางคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า

coordinate geometry, right?

เรขาคณิตระบบพิกัด (coordinate geometry)

That is, we lay down a coordinate system

นั่นคือ เราวางระบบพิกัด (coordinate system)

with x describing how far something is to the right

ให้แกน x บอกว่าวัดถุอยู่ห่างออกมาทางขวาเท่าไหร่

and y describing how high something is.

และแกน y บอกว่าวัตถุอยู่สูงแค่ไหน

So, with these coordinates we can describe

ด้วยระบบพิกัดนี้ เราสามารถบรรยายได้

where Woody is at any instant in time.

ว่าวู้ดดี้อยู่ตรงไหนในแต่ละจุดของเวลา

For instance, if we know the coordinates of

เช่น ถ้าเรารู้พิกัดของ

the lower left corner of that image,

มุมซ้ายล่างของรูปนั้น

then we know where the rest of the image is.

เราก็รู้ว่าส่วนอื่นๆ ของรูปอยู่ไหน

And in that little sliding animation we saw a second ago,

และการเคลื่อนไหวด้วยการเลื่อนที่เราเห็นเมื่อกี้

that motion we call translation,

ในทางคณิตศาสตร์เราเรียกว่า การเลื่อนขนาน (translation)

the x coordinate started with a value of one,

เริ่มจากค่า 1 บนแกน x

and it ended with a value of about five.

ไปจบที่ค่าประมาณ 5

So, if we want to write that in mathematics,

ถ้าเราเขียนบรรยายในภาษาคณิตศาสตร์

we see that the x at the end is four bigger

เราจะเห็นว่า x ที่ตอนจบมีค่ามากกว่าตอนเริ่ม

than x at the start.

อยู่สี่หน่วย

So, in other words, the mathematics of translation

พูดอีกอย่างคือ คณิตศาสตร์ของการเลื่อนขนาน

is addition.

คือการบวก

Alright?

ใช่ไหมครับ

How about scaling?

แล้วการย่อขยายล่ะ (scaling)

That is making something bigger or smaller.

นั่นคือการทำให้วัตถุใหญ่ขึ้นหรือเล็กลง

Any guesses as to what the mathematics of scaling might be?

ลองทายไหมว่าเราใช้หลักคณิตศาสตร์อะไร

Dilation, multiplication, exactly.

การเปลี่ยนขนาด การคูณ ใช่เลย

If you're going to make something twice as big,

ถ้าคุณจะทำให้วัตถุใหญ่ขึ้นสองเท่า

you need to mulitply the x and the y coordinates

คุณต้องคูณพิกัดบนแกน x และ y

all by two.

ด้วย 2

So, this shows us that the mathematics of scaling

ดังนั้น เราเห็นแล้วว่า หลักคณิตสาสตร์ของการย่อขยาย

is mulitiplication.

คือการคูณ

Okay?

โอเคไหม

How about this one?

แล้วอันนี้ล่ะ

How about rotation? Alright, spinning around.

การหมุน เอาล่ะ หมุนไปรอบๆ

The mathematics of rotation is trigonometry.

หลักคณิตศาสตร์ของการหมุนคือ ตรีโกณมิติ (trigonometry)

So, here's an equation that expresses that.

นี่คือสมการที่บรรยายการเคลื่อนไหวเหล่านี้

It looks a little scary at first.

แรกๆ มันอาจจะดูน่ากลัว

You'll probably get this in eighth or ninth grade.

หนูคงเจอเลขพวกนี้ตอน ม. 2 หรือ ม. 3

If you find yourselves sitting in trigonometry class

ถ้าหนูนั่งอยู่ในชั้นเรียนวิชาตรีโกณมิติ

wondering when you're ever going to need this stuff,

แล้วสงสัยว่าชีวิตนี้หนูจะได้ใช้มันเหรอ

just remember that any time you see anything rotate

ขอให้จำไว้ว่า เมื่อไหร่ก็ตามที่หนูเห็นวัตถุหมุน

in one of our films,

ในหนังแอนิเมชั่นของเรา

there's trigonometry at work underneath.

นั่นคือการทำงานของตรีโกณมิติอยู่เบื้องหลัง

I first fell in love with mathematics in seventh grade.

ผมเองตกหลุมรักคณิตศาสตร์ตอน ม. 1

Any seventh graders? A few of you? Yeah.

ในที่นี้มีน้องๆ ม. 1 ไหมครับ มีบ้างเหมือนกันนะ

My seventh grade science teacher showed me

ครูวิทยาศาสตร์ ม. 1 ของผมแสดงให้ดูว่า

how to use trigonometry to compute

เราจะใช้ตรีโกณมิติเพื่อคำนวณ

how high the rockets that I was building was going.

ว่าจรวดที่ผมสร้างขึ้นจะพุ่งขึ้นไปได้สูงแค่ไหน

I just thought that was amazing,

ผมคิดว่ามันน่าทึ่งมาก

and I've been enamored with math ever since.

ผมก็เลยหลงใหลในคณิตศาสตร์ตั้งแต่นั้น

So, this is kind of old mathematics.

นั่นเป็นคณิตศาสตร์แบบเก่า

Mathematics that's been known and, you know,

คณิตศาสตร์ที่เรารู้จักกันมานาน

developed by the old dead Greek guys.

และสร้างขึ้นโดยชาวกรีกโบราณที่เสียชีวิตไปหมดแล้ว

And there's a myth out there that all the interesting

แล้วก็มีความเชื่อผิดๆ ว่า

mathematics has already been figured out,

โจทย์คณิตศาสตร์ที่น่าสนใจ มีคนแก้ไปหมดแล้ว

in fact all of mathematics has been figured out.

ที่จริงโจทย์คณิตศาสตร์ทั้งหมดก็ถูกแก้ไปหมดแล้วล่ะ

But the real story is that new mathematics

แต่จริงๆ คือ ยังมีคณิตศาสตร์ใหม่ๆ

is being created all the time.

ถูกสร้างขึ้นใหม่ตลอดเวลา

And some of it is being created at Pixar.

และบางอย่างก็เกิดขึ้นที่พิกซาร์

So, I'd like to give you an example of that.

ผมจะเล่าตัวอย่างให้ฟัง

So, here are some characters

นี่คือตัวละครบางส่วน

from some of our early films:

จากหนังเรื่องแรกๆ ของเรา

Finding Nemo, Monsters Inc. and Toy Story 2.

ไฟนดิ้ง นีโม, มอนสเตอร์ อิงค์, และทอย สตอรี่ 2

Anybody know who the blue character in the upper left is?

มีใครรู้บ้างว่าตัวการ์ตูนสีฟ้าตรงมุมซ้ายบนคืออะไร

It's Dory. Okay, that was easy.

นั่นคือ ดอรี่ โอเค อันนั้นง่าย

Here's a little harder one.

อันนี้ยากกว่าหน่อย

Anybody know who's the character in the lower right?

มีใครรู้บ้างว่าตัวการ์ตูนตรงมุมขวาล่างคืออะไร

Al McWhiggin from Al's Toy Barn, exactly.

อัล แม็กวิกกิน จากเรื่อง อัล'ส์ ทอย บาร์น ใช่เลย

The thing to notice about these characters

สิ่งที่น่าสังเกตเกี่ยวกับตัวการ์ตูนเหล่านี้

is they're really complicated.

คือมันซับซ้อนมาก

Those shapes are really complicated.

รูปทรงพวกนี้ซับซ้อนมาก

In fact, the toy cleaner, I have an example,

ตัวอย่างเช่น ตัวนักทำความสะอาดของเล่น

the toy cleaner there in the middle,

ที่อยู่ตรงกลางนั่น

here's his hand.

นี่คือมือของเขา

You can imagine how fun it was to bring this

หนูคงนึกออกนะว่ามันจะสนุกแค่ไหนเวลาเอาไอ้นี่

through airport security.

ผ่านด่านรักษาความปลอดภัยของสนามบิน

His hand is a really complicated shape.

มือของเขาเป็นรูปทรงที่มีความซับซ้อนมาก

It's not just a bunch of spheres and cylinders stuck together, right?

ไม่ใช่แค่รูปทรงกลมและกรวยมาปะติดปะต่อกัน

And not only is it complicated,

และไม่ใช่แค่มีรูปทรงซับซ้อนเท่านั้น

but it has to move in complicated ways.

มันยังเคลื่อนไหวอย่างซับซ้อนด้วย

So, I'd like to tell you how we do that,

ผมจะเล่าให้ฟังว่าทำยังไง

and to do that I need to tell you about midpoints.

ก่อนอื่นผมต้องอธิบายเรื่อง จุดกึ่งกลาง (midpoints) ก่อน

So, here's a couple of points, A and B,

เอาล่ะ นี่คือจุด A กับ B

and the line segment between them.

และเส้นที่เชื่อมระหว่างมัน

We're going to start out first in two dimensions.

เราจะเริ่มจากภาพสองมิติก่อน

The midpoint, M, is the point

จุดกึ่งกลาง คือ M

that splits that line segment in the middle, right?

คือจุดอยู่ตรงกลางเส้นนี้พอดี ใช่ไหมครับ

So, that's the geometry.

นั่นคือเรขาคณิต

To make equations and numbers,

เพื่อสร้างสมการและตัวเลข

we again introduce a coordinate system,

เราก็เอาระบบพิกัด (coordinate system) เข้ามาใช้

and if we know the coordinates of A and B,

ถ้าเรารู้พิกัดของ A และ B

we can easily compute the coordinates of M

เราก็คำนวณพิกัดของ M ได้ง่ายๆ

just by averaging.

เพียงแค่หาค่าเฉลี่ย

You now know enough to work at Pixar.

เอาล่ะ พวกหนูมีความรู้พอจะทำงานที่พิกซาร์แล้ว

Let me show you.

เดี๋ยวผมจะทำให้ดู

So, I'm going to do something slightly terrifying

ผมจะทำอะไรที่น่ากลัวขึ้นหน่อย

and move to a live demo here.

เรามาดูการสาธิตสดๆ กัน

So, what I have is a four-point polygon here,

เอาล่ะ นี่เรามีสี่เหลี่ยมอยู่รูปหนึ่ง

and it's going to be my job

ที่ผมจะทำคือ

to make a smooth curve out of this thing.

สร้างโค้งเรียบจากสี่เหลี่ยมรูปนี้

And I'm going to do it just using the idea of midpoints.

โดยใช้หลักการของจุดกึ่งกลางเท่านั้นเอง

So, the first thing I'm going to do

สิ่งแรกที่ผมจะทำ

is an operation I'll call split,

ผมเรียกว่าการแบ่งแยก

which adds midpoints to all those edges.

โดยเพิ่มจุดกึ่งกลางลงไปทุกด้าน

So, I went from four points to eight points,

จึงเปลี่ยนจากสี่จุดเป็นแปดจุด

but it's no smoother.

แต่มันก็ยังไม่เรียบขึ้น

I'm going to make it a little bit smoother

ผมจะทำให้มันเรียบขึ้นอีก

by moving all of these points from where they are now

โดยย้ายจุดเหล่านี้จากจุดเดิม

to the midpoint of their clockwise neighbor.

ตามเข็มนาฬิกาไปยังจุดกึ่งกลางถัดไป

So, let me animate that for you.

เดี๋ยวจะทำเป็นอนิเมชั่นให้ดูนะ

I'm going to call that the averaging step.

ผมจะเรียกขั้นตอนนี้ว่าการเฉลี่ย

So, now I've got eight points,

ทีนี้ผมก็มีจุดแปดจุด

they're a little bit smoother,

รูปก็เรียบขึ้นนิดหนึ่ง

my job is to make a smooth curve,

งานของผมคือทำให้เส้นโค้งเรียบ

so what do I do?

ผมต้องทำไงต่อ

Do it again. Split and average.

ก็ทำซ้ำ แบ่งแยกแล้วหาค่าเฉลี่ย

So, now I've got sixteen points.

ทีนี้ผมก็มีสิบหกจุดแล้ว

I'm going to put those two steps,

ผมจะเอาสองขั้นตอนนี้

split and average, together into something

คือการแบ่งแยกและหาค่าเฉลี่ย มารวมกัน

I'll call subdivide,

เป็นกระบวนการที่เรียกว่า แบ่งส่วนย่อย (subdivide)

which just means split and then average.

ซึ่งก็หมายถึงการแบ่งแยกและหาค่าเฉลี่ยนั่นแหละ

So, now I've got 32 points.

ทีนี้ผมก็มีจุด 32 จุดแล้ว

If that's not smooth enough, I'll do more.

ถ้าโค้งยังไม่เรียบพอ ผมก็ทำซ้ำอีก

I'll get 64 points.

ก็จะได้ 64 จุด

Do you see a smooth curve appearing here from

หนูเห็นเส้นโค้งเรียบเกิดขึ้นจาก

those original points?

จุดสี่จุดแรกไหม

And that's how we create the shapes

นั่นแหละ วิธีที่เราสร้างรูปทรงต่างๆ

of our charcters.

ของตัวการ์ตูนของเรา

But remember, I said a moment ago

แต่จำไว้นะว่า อย่างที่ผมพูดไปเมื่อกี้

it's not enough just to know the static shape,

การรู้วิธีสร้างรูปทรงเป็นภาพนิ่ง

the fixed shape.

ไม่เคลื่อนไหว แค่นั้นยังไม่พอ

We need to animate it.

เราต้องทำให้มันเคลื่อนไหวด้วย

And to animate these curves,

การทำให้เส้นโค้งเหล่านี้เคลื่อนไหว

the cool thing about subdivision.

คือความเจ๋งของการแบ่งส่วนย่อย

Did you see the aliens in Toy Story?

พวกหนูเคยเห็นมนุษย์ต่างดาวในทอย สตอรี่ไหม

You know that sound they make,

รู้ไหมมันทำเสียงยังไง

"Ooh"? Ready?

"อู้ววว" พร้อมไหม

So, the way we animate these curves

เอาล่ะ วิธีทำให้โค้งนี้เคลื่อนไหว

is simply by animating the original four points.

ก็แค่ทำให้จุดตั้งต้นสี่จุดนั้นเคลื่อนไหว

"Ooh."

"อู้ววว"

Alright, I think that's pretty cool,

เอาล่ะ เจ๋งใช่ไหม

and if you don't, the door is there,

ถ้าหนูว่ามันไม่เจ๋ง ประตูทางออกอยู่โน่นนะ

it doesn't get any better than that, so.

มันไม่มีอะไรน่าสนใจกว่านี้แล้วล่ะ

This idea of splitting and averaging

หลักการแบ่งแยกและเฉลี่ย

also holds for surfaces.

ยังใช้ได้กับพื้นผิวด้วย

So, I'll split, and I'll average.

ผมจะแบ่งแยก และจะหาค่าเฉลี่ย

I'll split, and I'll average.

แล้วแบ่งแยกอีก แล้วก็เฉลี่ยอีก

Put those together into subdivide,

เอาสองขั้นตอนนี้มารวมกัน เป็นการแบ่งส่วนย่อย

and this how we actually create the shapes

นี่แหละวิธีที่เราใช้สร้างรูปทรง

of all of our surface characters in three dimensions.

และพื้นผิวของตัวการ์ตูนสามมิติ

So, this idea of subdivision

วิธีการแบ่งส่วนย่อย (subdivision) นี้

was first used in a short film in 1997

เรานำมาใช้ครั้งแรกในการ์ตูนสั้น เมื่อปี ค.ศ. 1997

called Geri's Game.

เรื่อง เกมของเจรี่ (Geri's game)

And Geri actually made a cameo apperance

แล้วเจรี่ก็มาเป็นดารารับเชิญ

in Toy Story 2 as the toy cleaner.

ในเรื่อง ทอย สตอรี่ 2 ในบทคนทำความสะอาดของเล่น

Each of his hands

การวาดมือแต่ละข้างของเขา

was the first time we ever used subdivision.

เป็นครั้งแรกที่เราใช้เทคนิคการแบ่งส่วนย่อย

So, each hand was a subdivision surface,

มือแต่ละข้างของเขาเป็นพื้นผิว ที่สร้างด้วยการแบ่งส่วนย่อย

his face was a subdivision surface,

ใบหน้าของเขาก็สร้างด้วยการแบ่งส่วนย่อย

so was his jacket.

เสื้อแจ็กเก็ตของเขาก็เหมือนกัน

Here's Geri's hand before subdivision,

นี่คือมือของเจรี่ก่อนทำการแบ่งส่วนย่อย

and here's Geri's hand after subdivision,

และนี่คือมือของเจรี่หลังการแบ่งส่วนย่อย

so subdivision just goes in and smooths out

การแบ่งส่วนย่อยช่วยทำให้พื้นผิวเรียบขึ้น

all those facets,

ในทุกด้านทุกมุม

and creates the beautiful surfaces

และสร้างพื้นผิวที่สวยงาม

that you see on the screen and in the theaters.

ที่พวกหนูเห็นบนจอและในโรงหนัง

Since that time, we've built all of our characters this way.

ตั้งแต่นั้นมา เราก็สร้างตัวการ์ตูนของเราทุกตัวด้วยวิธีนี้

So, here's Merida, the lead character from Brave.

นี่คือเมริดา นางเอกในเรื่องเบรฟ

Her dress was a subdivision surface,

ชุดของเธอสร้างด้วยการแบ่งส่วนย่อย

her hands, her face.

มือของเธอ ใบหน้าของเธอ

The faces and hands of all the clansman

ใบหน้าและมือของคนในเผ่า

were subdivision surfaces.

ก็เป็นพี้นผิวที่สร้างด้วยการแบ่งส่วนย่อย

Today we've seen how addition, multiplication,

เอาล่ะ วันนี้เราได้เห็นว่าการบวก การคูณ

trigonometry and geometry play a roll in our films.

ตรีโกณมิติ และเรขาคณิต มีบทบาทในหนังของเราอย่างไร

Given a little more time,

ถ้ามีเวลามากกว่านี้

I could show you how linear algebra,

ผมจะบอกให้ด้วยว่าพีชคณิตเชิงเส้น (linear algebra)

differential calculus, integral calculus

แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ (differential calculus) แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ (integral calculus)

also play a roll.

มีบทบาทอย่างไรในงานของเรา

The main thing I want you to go away with today is

สิ่งที่ผมอยากให้พวกหนูเก็บกลับบ้านไปวันนี้

to just remember that all the math that you're learning

คือ ขอให้จำไว้ว่าคณิตศาสตร์ทั้งหมด ที่พวกหนูกำลังเรียนอยู่

in high school and actually up through sophomore college

ในโรงเรียนมัธยมไปจนถึงมหาวิทยาลัยปีสอง

we use all the time, everyday, at Pixar. Thanks.

เป็นสิ่งที่เราใช้กันที่พิกซาร์กันเสมอๆ และทุกๆ วัน ขอบคุณครับ